有限元课程设计

前言

【有限元法】

有限元法是R. courant于1943年在解决圣维南扭转问题近似解时首先提出来的。其后，W. prager于1947年，J. L. syge于1953年提出了超椭圆法，促进了这方面工作的发展。有限元法在弹性力学平面问题中第一个成功的应用，首先是由美国学者M. J. turner和R. W. clough等人于1956年解决飞机结构强度是提出来的。并于1960年有R. W. clough首次将这种方法起名为有限元法（The Finite Element Method）。1965年由我国数学家冯康教授和西方科学家各自独立奠定了有限元法的数学基础。由于越来越多的数学家加入了发展有限元法的行列，这种方法便由工程局限性中解脱出来，代之以统一的观点和严密的数学描述，并确立了它的数学基础。

经过几十年的发展，有限元法已经成为现代结构分析的有效方法和主要手段。它的应用已经从弹性力学的平面问题扩展到空间问题和板壳问题，如：对拱坝、涡轮叶片、飞机和船体等复杂结构进行应力分析；由平衡问题扩展到稳定问题与动力问题，如：对结构在地震力与波浪力作用下的动力反应进行分析；由弹性力学问题扩展到弹塑性与黏弹性问题，如：土力学与岩石力学问题﹑疲劳力学与脆性断裂问题；由固体力学扩展到流体力学﹑渗流与固结理论，热传导与热应力问题（如：焊接残余应力﹑原子反应堆结构的热应力）﹑磁场问题（如：感应电动机的磁场分析）以及建筑声学与噪声问题。由工程力学扩展

到力学的其他领域，如：冰川与地质力学，血管与眼球力学等。由结构计算问题扩展到结构优化设计问题和可靠性问题。 有限元法具有以下优点：

1.物理概念清晰，易于初学者掌握。 2.有很强的适用性和通用性，应用范围广泛。

3.有限元法采用矩阵表达式，便于编程，易于计算机计算。

【优化设计】

人们在长期的生产和实践中，很早就已经应用微积分方法解决了诸如给定周长求所围圆面积最大问题；给定表面面积所围的球体容积最大问题等，实际上这些就是最优化问题。在第二次世界大战以前，处理优化问题主要是应用古典的微分法和变分法。在第二次世界大战期间，由于军事上的需要产生了运筹学，提供了许多用古典的微分法和变分法所不能解决的最优化方法。20世纪50年代发展起来的数学 规划理论为优化设计奠定了理论基础，20世纪60年代电子计算机和计算技术的发展为优化设计提供了强有力手段，是工程技术人员能够从大量的烦琐的计算工作中解放出来，从而，把主要精力转到优化方案选择的方向上来。近30年来优化方法已经在许多行业部门得到应用。在国外，优化方法在机械设计中应用是在20世纪60年代开始的。在国内，对机械优化设计的研究是从20世纪70年代后期开始的。虽然，机械优化设计历史较短，但是，发展很快。十多年来，在机构综合﹑机械零部件设计﹑专用机械设计和工艺设计方面都获得应用并

取得一定成果。

近年来，机械优化设计的应用愈来愈广，但还面临着许多问题需要解决。例如：机械产品设计中零部件的通用化，系列化和标准化，整机优化模型及方法的研究，机械设计中离散变量优化方法的研究，更为有效的优化设计方法的发掘等一系列问题，都需做较大的努力才能适应机械工业发展的需要。

近年来，在计算机辅助设计中，应用优化方法后，使得在设计过程中既能不断选择设计参数并选出最优设计方案，又能加快设计速度，缩短设计周期。把优化设计与计算机辅助设计结合起来，使设计过程完全自动化，已成为设计方法的一个发展趋势。

有限元法

【物理模型】

设已知图示各梁的载荷F，q，M，和尺寸a。（刘鸿文编《材料力学》Ⅰ第129页习题4.4（j）图） （1） 作剪力图和弯矩图； （2） 确定| Fs |max 及| M |max ；

F=20KN q=30KN/m q=30KN/m A 1m 1m 1m 1m 图1.1 解：

由静力平衡方程 ∑

F

=

0

FC+

FE

－

F

－

2q

·

a

=

0 （1.1）

∑MC=0 (q·a2／2) －F·a－q·a·(2a＋a／2)＋FE·2a=0 （1.2）

B

求得支反力为

FC=FE=40KN

（1.3） 如下图所示

| Fs |max =30KN， | M |max =15KN·m （1.4） 受力图

F=20KN q=30KN/m q=30KN/m A 1m 1m 1m 1m 40KN 40KN 图1.2

B

剪力图

30 10 O 10 30 X 图1.3

弯矩图

O 5 15 15 X 图1.4

【有限元模型】

把简支梁划分为24个单元25个节点，在单元1到单元6和单元19到单元24上分别受向下的q=30KN/m的均布载荷作用，在节点13处受向下的集中力F=20KN作用，在节点7和节点19处分别受向上的支反力F=40KN作用，用BEAM3来建立单元，进行静力学分析。

求解过程： 1.创建节点

1.1 创建梁的各个节点，节点号分别为1，2，3?25 1.2 显示各个节点 2.定义单元类型和材料特性

2.1 定义单元类型：梁单元（BEAM3）二维弹性(2D elastic)类型 2.2 定义材料特性：弹性模量E（2.1e11）和泊松比PR（0.3） 2.3 定义几何参数 3.创建单元

3.1 创建单元，将梁共划分为24个单元 3.2 显示单元资料 4.施加约束和载荷

4.1 节点自由度约束：节点7处分别受水平和竖直方向的约束；节点

19处受竖直方向的约束

4.2 施加载荷：在单元1到单元6和单元19到单元24上分别受向下

的q=30KN/m的均布载荷作用，在节点13处受向下的集中力F=20KN作用，在节点7和节点19处分别

受向上的支反力F=40KN作用

5.求解

5.1 定义分析类型 5.2 求解 6.后处理

6.1 显示梁变形结果 6.2 建立单元结果表：

6.2.1创建单元表，计算节点弯矩 6.2.2创建单元表，计算节点剪力 6.3 列出所有表格资料： 6.3.1 列出资料 6.3.2 画剪力图 6.3.3 画弯矩图

弯矩图及其数据如下：

图1.5

剪力图及其数据如下：

图1.6

7.退出程序

【结果对比与分析】

经过对比分析，材料力学中的弯矩图和ANSYS程序做出的弯矩图是相同的，但是剪力图却相反。

这是由于在材料力学中，当力使截面的左段对右段向上相对错动时，截面上的剪力为正，反之为负。而在进行有限元分析时，ANSYS软件规定向上为正，向下为负。所以，用ANSYS得出的剪力图和材料力学分析得出的剪力图是相反的，但实际上各个节点剪力的大小是一样的。

ANSYS操作过程中，在画剪力图时，将“Fact Optional scale factor”文本框内输入-1，剪力图即正负翻转，得到如下所示剪力图，便与材料力学分析中得到的结果相同了：

图1.7

材料力学结果与有限元结果分析：剪力（KN）与弯矩（KN﹡m）

材力结果 有限元结果 节点 剪力 弯矩 剪力 弯矩

1 0 0 0 0 7 左-30 右10 -15 左30 右-10 -15 13 左10 右-10 -5 左-10 右10 -5 19 左-10 右30 -15 左10 右-30 -15 25 0 0 0 0 【结论】

1. 根据变形与支撑情况，与规律相同，符合实际情况 2. 根据结果比较材料力学与有限元之间的误差为零，符合工程需求

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