东南大学概率统计与随机过程期末练习（附答案）

期末练习解答

?(x)??x12???e?t2/2dt表示标准正态分布的分布函数，

?(?1.645)?0.05； ?(0)?0.5； ?(1)?0.8413?(1.3)?0.9032； ?(1.96)?0.975； ?(2)?0.9772一、填充题

1) 已知P(B)=P(A)=0.2，A和B相互独立,则P(A-B)= 0.16 ;P(AUB)= 0.36 。 2) 一盒中有2个白球，3个黑球，每次抽取一球，从中不放回地抽取两次，则第二

次取到黑球的概率为 0.6 ，取到两个球颜色相同的概率为 2/5 。 3) 设随机变量X服从正态分布N(1,4),P(X?1)?_0.5___。 4) 设 W(t)是参数为?的Wiener过程，则随机过程X(t)?21?tW(t),t?0的一

维概率密度函数f(x；t)?_____12?exp{?x2/2}________。

5) 随机变量X，Y独立同分布，都服从正态分布N(1，4)，则P(X-Y>22)=0.1587__。 6) 随机变量X，Y的联合分布律为：P(X=0,Y=0)=0.2; P(X=0,Y=1)=0.3;

P(X=1,Y=0)=0.3;

P(X=1,Y=1)=0.2.

则

X+Y

分

布

律

为

p(X+Y=0)=0.2;P(X+Y=1)=0.6;P(X+Y=2)=0.2。E[XY]= 0.2 。

7) 随机变量X，Y的相关系数为0.5，则5-2X，和Y-1的相关系数为 -0.5 。 8) 设随机变量序列{Xn,n=1,2,…}独立同分布，EX1=2, DX1=2,则

1222p(X1?X2?...?Xn)??? 6 。 n9) 设总体X服从正态分布N(1,2),X1,X2,...,X10是来此该总体的样本，X,S分别

22表示样本均值和样本方差， 则EX? 1 ，E(XS)? 2 。

10) 随机变量X的分布律为P(X= -1)=P(X=1)=1/2,则其分布函数为 F(x)=0,x<-1;F(x)=0.5,-1<=x<1;F(x)=1,x>=1; 。

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自 觉 遵 守 考场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效

11) 随机变量X服从[0,1]上的均匀分布,则Y= -2X+1的密度函数为

U[-1,1],f(y)=0.5;-1

1(X22?X22X1?X241?X24)服从?(3)分布，若cX22~t(2)，则常数c?1 。

3?X413) 设某假设检验问题的水平?=0.1,根据样本得到的结论是拒绝原假设，则可能犯哪

一类错误 I (填I，II)，犯错误的概率为 0.1 (填数值或不能确定)。 14) 设总体X~f(x,a)，a为未知参数，若X1,X2,...,Xn是来自某总体的简单随

机样本，X,S2分别表示表示样本均值和样本方差。设X?aS~U[?2,2](均匀分布)，则a的置信度为80%的置信区间为X?1.6S。

二、(10’) 设有一个箱子中有红球4只，白球6只.从该箱中任取一球涂上红色后放回去,然后再从该箱中任取一球.（1）求第二次取出的球为红球的概率；（2）如果第二次取出的球为红球，则第一次取出的球是红球的概率是多少？

解：

A?第一次取得红球；B第二次取出红球；

P(A)?2/5;P(A)?3/5;P(B|A)?2/5;P(B|A)?1/2; 2’

(1)P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?25?25?31235?2?50?0.46’ (2)P(A|B)?P(A)P(B|A)4/258P(B)?23/50?23三、(15’) 设随机变量（X，Y）的联合密度为

?ae?(2x?y) f(x,y)??x?0,y?0?0其它.

求（1）常数a; (2)Y的边缘密度函数；（3）求条件概率P(Y<1|X=1)。(过程班不做该题)。

(1)??f(x,y)dxdy?1;????00ae?(2x?y)dxdy?1;a?2;

(2)f(y)???f(x,y)dx.???Y02e（?2x?y)??dx(1')?e?y;y?0;fY(y)?0;y?0.第 2 页 共 7 页

线

(3)易见X和Y相互独立，所以

自觉遵守考P(Y?1|X?1)?P(Y?1)??fY(y)dy??e?ydy(1')?1?e?1

??011 四、(10’)设随机变量X~U[1,2],Y~U[0,2],X和Y相互独立，令Z=Y+2X，求随机变量Z的概率密度函数fZ(z)。.

?1/21?x?2,0?y?2 场 纪律 如 考 试 作 弊 此 答卷 无 效解：因为X和Y相互独立，故(X,Y)~f(x,y)?fX(x)fY(y)???0FZ(z)?P(Z?z)?P(Y?2X?z).....(1')?xf(x,y)dydx.....(1')y???f(x,y)dxdy?2x?z??z?2?????f?Z(z)????f(x,z?2x)dx,.....(1')1?x?2;0?z?2x?2,f(x,z?2x)?0.5;z?2,fZ(z)?0;2?z?4;fZ(z)?????f(x,z?2x)dx??z/210.5dx?z/4?1/2;.......(3)4?z?6;f?Z(z)????f(x,z?2x)dx??2(z?2)/20.5dx?3/2?z/4;.....(3)z?6,fz(z)?0;?f?z/4?1/22?z?4z(z)??3/2?z/44?z?6? ……..(1’)

?0其他 或

(X,Y)~f(x,y)?f?1/21?x?2,0?y?2X(x)fY(y)???0其他(2')

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其他

FZ(z)?P(Z?z)?P(Y?2X?z)?y?2x?z??f(x,y)dxdy??z/2??????z?2xf(x,y)dydxz?2,FZ(z)?0;2?z?4;FZ(z)????z/211?z?2x00.5dydx?0.5(z?2x)dx?z2/8?z/2?1/2;........(3')224?z?6;FZ(z)?1???1??2(z?2)/2(z?2)/2z?2x?0.5dydx?0.5(2?z?2x)dx?1?1?(z2/4?3z?9)??z2/8?3z/2?7/2;......(4')211orFZ(z)?1??(3?z/2)(6?z).22

z?6,Fz(z)?1;求导得到密度函数

?z/4?1/22?z?4?fz(z)??3/2?z/44?z?6 (1’)

?0其他?

五、(10’)利用中心极限定理求大约至少需要重复投掷一枚硬币多少次才能使得正面出现的

频率和真实的概率之差的绝对值小于0.05的概率大于0.95?

解：设需投n次，正面出现的概率为p;正面出现的次数为k,则

k~b(n,p),Ek?np;Dk?np(1?p)...............2' P(|k?p|?0.05)?0.95. n

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P(|k|k?np|0.05nk?np?p|?0.05)?P(?);?N(0,1)......(2')nnp(1?p)np(1?p)np(1?p)0.05n)?1?0.95..............(2')np(1?p)

?2?(?(0.05n0.05n)?0.975;..................(2')?1.96np(1?p)np(1?p)n?39.2p(1?p)?39.2/2?19.6n?19.62?384.16,.....................(1')取n=385…………….(1’)

六、(10’)设总体X服从参数为 ?的泊松分布,其分布率为

P(X?k)??kk!e??,k?0,1,...;??0

?为的?, (2) 证明? X1,…Xn 为来自该总体的样本, (1)求参数?的最大似然估计量??无偏估计量.

解：

l(?)??i?1n?X1nX?n?1ne..........(1')???e.........(1'),(X??X）iXi!ni?1i?1Xi!i??n

lnl(?)?ln(?i?1n1)?nXln??n?........(1')Xi!

dlnl(?)nX??X;........(1')??n?0;.........(2')?d????EX..........(2')?EX.....(1')??.....(1')E?所以，?是?的无偏估计量.

七、 (7’)设总体X服从正态分布N ( u, 1), 现有来自该总体样本容量为25的样本, 其样本均值为2.4, 试检验H0: u=2.0 v.s. H1: u?2.0.(检验水平??0.05)

?解：检验统计量

U?X?2~N(0,1);u0.025?1.96...........(2'?1') 1/5第 5 页 共 7 页

拒绝域：D?{(X1,...,X25)||U|?1.96}..............(2') U的观测值，U=5（2.4-2）=2>1.96;……………(1’) 拒绝原假设。…………..(1’)

（以下两题过程班做）

八、(5’)设随机过程X(t)?Acos(t??), ???t???，其中A 是服从参数? 的指数

?? e?? a,a?0分布e(?)，其概率密度函数为 f(a)??

?0,a?0?是在 [0，?] 上服从均匀分布，即?~U(0,?)；且A与?独立，求：X(t) 的相关函

数RX(s,t)。

解：

RX(s,t)?EX(s)X(t)........................(1')?E(A2cos(s??)cos(t??))?EA2Ecos(s??)cos(t??)..........(1')2

其中EA2?DA?(EA)2??2..............(1')，

111Ecos(s??)cos(t??)??Ecos(s?t?2?)?cos(s?t)?cos(s?t)......(1')

2221所以RX(s,t)?2cos(s?t)……………….(1’)

?九、(15’)设质点在1,2,3,4上做随机游动，假设只能在时刻n=1,2， 移动，且只能停留

在1,2,3,4点上。当质点转移到2,3点时，它以1/3的概率向左，向右移动一个格或停留原处，当质点移动到1点时，以概率1向右移动一个格，当质点移动到4点时，以概率1向左移动一个格。以Xn表示时刻n质点所处的位置，X0表示初始时刻0质点所处位置，则

{Xn,n?0,1,2,}为齐次马氏链。

（1）写出一步转移概率矩阵；

（2）若初始时刻质点位于点1，求概率P(X2?3,X4?2,X5?1)；

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（3）证明{Xn,n?0,1,2,}具有遍历性，并求出极限分布。

解：

状态空间I?{1,2,3,4}

100??0??1/31/31/30?.........................(5') （1）P???01/31/31/3????0?010??（2）初始分布为：p(0)?(1,0,0,0)

?1/3?1/92?P(2)?P??1/9??01/35/92/91/31/30??2/91/9?………..(2’)

5/91/9??1/31/3?P(X2?3,X4?2,X5?1)?p13(2)p32(2)p21(1)…………(2’)

1212????…………….(1’) 39381（3）P(4)?P(2)2?(pij(4))，可以算的pij(4)?0对于任意的 i ,j,故马氏链

{Xn,n?0,1,2,}具有遍历性。………(2’)

????P??4? 解方程组??1??2??3??3?1…..(2’)

???0,i?1,2,3,4?i设平稳分布????1?2?3131331得?1??4?,?2??3?，所以极限分布为(,,,)….(1’)

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