概率统计试题库及答案 - 图文

概率论与数理统计试题库 一、填空题 （一）第一章 1、设A、B、C表示三个随机事件，试用A、B、C表示下列事件：①三个事件都发生________________；②A、B发生，C不发生_____________；③三个事件中至少有一个发生________________________。（ABC，ABC，A?B?C） 2、 设A、B、C为三个事件，则这三个事件都发生为 ；三个事件恰有一个发生为 。（ABC;ABC?ABC?ABC）。 3、 设A、B、C为三个事件，则这三个事件都不发生为 ；三个事件至少有一个发生为 。（ABC;A?B?C.） 4、 设A、B、C表示三个事件，则事件“A、B、C三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A、B、C都发生”可__。表示为 ，事件“A、B、C三事件中至少有两个发生”可表示为__________（A?B?C， ABC， AB?BC?AC） 5、 设A、B、C为三事件，则事件“A发生B与C都不发生”可表示为_____________;事件“A、B、C不都发生”可表示为_______________；事件“A、B、C都不发生”可表示为______________。（ABC,A?B?C;A?B?C） 6、 A?B?___________；A?B?_____________；A?B?____________。（B?A，A?B，A?B） 7、 设事件A、B、C，将下列事件用A、B、C间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为：_____________；（2）三个事件不都发生表示为：_____________；（3）三个事件中至少有一个事件发生表示为：___________。（ABC，A?B?C，A?B?C） 8、 用A、B、C分别表示三个事件，试用A、B、C表示下列事件：A、B出现、C不出现 ；至少有一个事件出现 ；至少有两个事件出现 。（ABC,A?B?C,ABC?ABC?ABC?ABC） 9、 当且仅当A发生、B不发生时，事件______________发生。（A?B） 10、以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A表示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、有R1,R2,R3 三个电子元件，用A1,A2,A3分别表示事件“元件Ri 正常工作”(i?1,2,3)，试用A1,A2,A3表示下列事件：三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 ；至少有一个元件正常工作 。(A1A2A3,A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3,A1?A2?A3) 12、若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B_________事件A。（包含） 13、若A为不可能事件，则P(A)= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、设Ａ、Ｂ为两个事件，P(A)＝０.5, P(A－B)=0.2，则P(A?B)? 。（0.7） 15、设P?A??0.4，P?A?B??0.7，若A,B互不相容，则P?B??__________；若A,B相互独立，则P?B??___________。（0.3，0.5） 16、设A,B为二事件，且P?A??0.4，P?BA??0.6，则P?AB??_______。（0.16） 17、已知P?A??0.4，P?B??0.3，A与B相互独立，则P?A?B?=_______。（0.58） 518、已知P?A??P?B??1/4，P?AB??1/8，则P?AB??___________。（） 819、已知P?B???，P(A?B)??，则P?A?B??____________.（???） 20、已知P?A??0.5,P?B??0.2,A与B相互独立,则PA?B? 。（0.6） 21、设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞P（B）＞0，则P（AB（1） ）＝ 。22、已知P（A）=4/15，P（B）=7/15，P（A|B）=1/15则P（AB）=____________。（7） 225??23、随机事件A、B满足?(A)?0.5,?(B)?0.6,?(BA)?0.8,则?(A?B)?_________。（0.7） 1

24、P???=_________;P?S??_______________;若A与B互不相容，则P?A?B??_______________。（0，1，P?A??P?B?） 25、A,B为两事件，如果?(A)?0,且?(BA)??(B)，则A与B______________。（相互独立） 26、若A?B?S且A?B??，则称事件A与事件B互为___________事件。（逆） 27、设A，B是两个随机事件，P(A∪B)=0.7,P(A)=0.4,当A,B互不相容时，P(B)= ;当A，B相互独立时，P(B)= 。（0.3，0.5） 28、已知P?A??0.45，P?B??0.15，AB??，则P?A?B??____________。（0．60） 29、计算下列算式：（1）A?(C?B)=_________；（2）A?BC= _________；（3）若A,B独立,P(A)=0.3, P(B)=0.2,则P(B-A)= _________。（ A?BC，ABC，0.14） 30、设Ａ、Ｂ是两个事件，若A?B，则有P?B?A??_______________。（P?B??P?A?） 31、设P?A??0.3，P?AB??0.15，且A与B相互独立，则P?A?B??____________。（0.65） 32、若A?B??，则称事件A与B是_____________的。(互斥) 33、设A、B为两事件，已知P(A)?0.4,P(B)?0.5，若当A、B互不相容时，P(A?B)? ；若当A、B相互独立时，P(A?B)? 。（0.9，0.7） 34、设A、B为两事件，已知P(A)?0.2,P(A?B)?0.6，则当A与B互不相容时，P(B)? ；当A与B独立时，P(B)? 。（0.4，0.5） 35、对于任意两个事件A与B有P?A?B??___________________________。(P?A??P?B??P?AB?) 36、100件产品中有两件次品，任取三件至少有一件正品的事件是 事件，其发生的概率是 。（ 必然，1） 37、 100件产品中有两件次品，任取三件均是次品的事件是 事件，其发生的概率是 。（不可能 ，0 ） 38、10件产品中有2件次品，从中任取3件，“至少有1件正品”是_________事件，其概率为_____________；“全是正品”是______ __事件，其概率为_________。（必然，1；不可能，0） 39、100件产品中有3件次品，任取5件全是次品是__________事件，其概率为________________。（不可能、0） 40、10件产品中有5件次品，从中随机抽取2件，一次一件，已知第一件是次品，则第二件也是次品的概率为4________________。（） 9141、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为 。（） 442、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是 。3（ ） 6432C10C9043、100件产品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率为________________（只写算式）。（5） C10044、某楼有供水龙头5个，调查表明每一龙头被打开的概率为1，则恰有3个水龙头同时被打开的概率为 ____________1031392()()） （只写算式）。（C5101045、古典概型的主要特点是：______________________________和______________________________。（样本空间中基本事件总数是有限的，每一基本事件发生是等可能的） 8C95C5246、100件产品中有5件次品，任取10件，恰有2件为次品的概率为_____________________（只写算式）。（47、12件产品中有2件次品，不放回地从中抽取2件，一次抽一件，则第二次取到次品的概率为____。（310C100） 1） 6348、某人射击时，中靶的概率为4，如果射击直到中靶为止，则射击次数为３的概率为_____________。64 49、一盒中装有5个白球，2个黑球，从中任取两个球，恰有一个黑球的概率是____________。（2

10） 21

3） 2851、在二级产品中任取一件，取到一级品是：__________事件；取到二级品是：__________事件，其概率为__________。（不可能，必然，1） 52、 53、某车间有5台相互独立运行的设备，开工率均为1/4，则有3台同时开工的概率为__________。（只写算式）50、在书架上任意放置8本不同的书，其中指定3本放在一起的概率为__________。（3?1??3?（C5????） ?4??4?32354、5人排成一排照相，其中a.,b两人不能相邻照相的概率为_________。（） 555、4.3个人选等可能地选择五条不同的道路，则至少有两人选择同一条道路的概率为：_________。（56、两人在1到10个号码中允许重复地各选取一个,则最大号码为5的概率为_________。（ 13） 259） 10057、甲乙两人赌博约定五局三胜,设两人每局的胜率相等.在甲已胜二场,乙已胜一场的情况下,乙最终获胜的概率为1_________。（） 458、设A，B是两个事件，且P?A??0，则P?BA??___________________。（P?AB?） P?A?59、当事件A，B，C两两独立时，则有P?ABC??________________。（P?A?P?B?P?C?） 60、设A，B为事件，且P?A??0，则有P?AB??________________。（P?A?P?BA?） 61、已知P?A??0.5，P?B??0.3，P?AB??0.15，则P?AB??____________。（0.5） 62、已知随机事件A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6，条件概率P(B|A)=0.8,则P(A∪B)= 。（0.7） 63、已知P（A）=0﹒6，P（B）=0﹒4，P（A︱B）=0﹒45，则P（A?B）= 。（0.82） 64、某车间有5台相互独立运行的设备，开工率均为p，若至少有3台设备同时开工生产才能正常进行,则生产能正常进行的概率为_________。（只写算式）（10p3?1?p??5p4?1?p??p5） 265、设试验E的样本空间为S，B为E的事件，A1,A2为S的一个划分，且P?A1??0,P?A2??0，则P?B??____________。（P?A1?P?BA1??P?A2?P?BA2?） 66、设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2为S的一个划分，且P?A??0，P?B1??0，P?B2??0，则P?B1A??________________________。( （二）第二章 P?B1?P?AB1??P?B2?P?AB2?P?B1?P?AB1?) 67、100件产品中有3件次品，任取5件，设X为5件中所含次品数，则X的可能取值为_________________。?0,1,2,3? 68、从装有5个白球和2个黑球的盒中，从中随机地取两个球的，其样本空间有_______个样本点; 若每次取一个，无放回地取两次，其样本空间S又有_______个样本点.。（C72,A72） 69、设随机变量X可取0,1,2三个值，且P?X?0??0.2，P?X?1??0.5，则P?X?2??_________。（0.3） 70、随机变量X的分布函数为F?x?，则F?b??F?a?=P?_____________?。?a?X?b? 71、设随机变量ξ可取0，1，2三个值，且P{ξ=1}=0.3,P{ξ=2}=0.2,则 P{ξ=0}=_____________。（0.5） ?0,x?0?72、已知连续型随机变量X的分布函数为F?x???x2,0?x?1则P{0.52/3}=______________。?1,x?1?5（0.75,） 93

73、设随机变量X的分布律为P?X?k??k?1（ 0.9） (k?0,2,5),则P?X?1??__________。1074、设X是一个随机变量，x是任意实数，则X的分布函数F?x??______________。(P?X?x?) ?1,a?x?b?75、设连续型随机变量X服从?a,b?上的均匀分布，则X的概率密度f?x??________________。(?b?a) ??0,其他243?1?76、设某随机变量X的分布律为????k??C??，k?1,2,3,4，则C=___________。() 112?3??1?1?上的概率为_________________。(0.5) 1?上均匀投点，点落在?，77、在?0，?2?k78、设f?x?为随机变量X的概率密度，则?????f?x?dx?__________________。(1) 79、若连续型随机变量X~N??,?2?，则Z?80、若连续型随机变量X~N?10,102?，则Z?X???，服从______________________分布。(N?0,1?) X?10，服从______________________分布。(N?0,1?) 10181、某车间有5台相互独立运行的设备，开工率均为，则恰有2台同时开工的概率为_____________（只写算式）。3?1??2?(C????) ?3??3?252382、10件产品中有3件次品，不放回地从中抽取2件，一次抽一件，已知第一次取到的是正品，则第二次取到次品的概3率为____。() 9k???e?83、设随机变量X服从参数为的泊松分布，则P?X?k??_____________。() k!84、设随机变量X的分布律为P?X?k??a?,2,3,?),??0为常数，则a?_____________。(e??) k!,(k?0,1k85、设随机变量X具有概率密度f?x??Ae?|x|1x??2e,x?0,???x??则A=___；F?X??____________。(1F(x)?，) ?1?x2??1?2e,x?0?0,x?0?86、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??cx,0?x?4，则c= ，密度函数f(x)= ,数学期望?1,x?4?1?4,0?x?4E?X??_________________。(1,f(x)?,2) ?4?0,其他?0,x?1?0.4,1?x?2?1.5?X?2.5?=__________。(0.1) 87、随机变量X的分布函数为F?x???，则P??0.5,2?x?3??1,x?388、连续型随机变量X的密度函数为f(x),则?????f(x)dx= 。(1) 89、设随机变量X~N（0,1），φ（x）为其分布函数，则φ（x）+φ（-x）= 。（ 1 ） ?0,x?1?0.4,1?x?2?90、.已知随机变量X的分布函数为F?x???，则P(X=1)=__ ，P(X=2)= _ _ ,P(X=3)=__ 。?0.5,2?x?3??1,x?3（P(X=1)=0.4, P(X=2)=0.1, P(X=3)=0.5） 91、设X~N?1,3?，则X的函数Y= ~ N(0,1)。（X?13） 4

92、设X~N?0,1?，且P?X????0.05，则P?X????=__________。（0.05） 93、X~U(a,b),F(b?a1（） )? 。2294、设随机变量X的分布函数为F?x?，则对于任意实数x1,x2?x1?x2?，有P?x1?X?x2??____________。（F?x2??F?x1?） ?0,x?a?x?a?95、设连续型随机变量X服从?a,b?区间上的均匀分布，则X的分布函数F?x??___________________。（? ,a?x?b）b?a???1,x?b?ke?3x,x?096、设随机变量X具有概率密度，f?x???，则常数k?_____________________。（3） ?0,x?097、设连续型随机变量X服从正态分布X~N??,?2?，则X的概率密度为f?x??__________________。（?x2?4x?b3212??e??x???22?2） 98、设正态随机变量X密度函数f(x)?ke，则k? ；b? 。（142?,4） x?1?0?99、设随机变量X的分布函数为F(x)??lnx,1?x?e,则随机变量X的概率密度函数为 。?1x?e??11?x?e?（f(x)??x,） other??0100、 已知随机变量X的概率密度为fX?x?，令Y??2X，则Y的概率密度fY?y?= 。（ 1?y?fX???.） 2?2?101、 设随机变量X~(?1,?2)，且P??3?X??1??0.4，则P?X?1??___________________。（0.1） 5102、 设X~N?10,82?，P?0?X?20?? （用?表示）。（2?()?1） 4103、 X~N(?1,22),Y??2X?1~N( , )。（N (3,42)） （三）第三章 104、 设二维随机变量?X,Y?的联合分布律为P?X?xi,Y?yj??1 3105、 设二维随机向量（X，Y）的联合分布列为 1，i?1,2,3;j?1,2,3,4，则P?X?x1??____________。12 则P{X＝0} Y X 0 1 2 0 1 2 122 12121211 0 1212212 1212125＝ 。（ ） 12106、 设（ξ，ζ）是二维随机变量，??x,y?,???x?,???y?分别表示(ξ,ζ)的联合概率密度及边缘概率密度，若ξ,ζ相互独立，则三者关系为_______________________。??x,y?????x?????y? 5

?2?P?A?B??P?A??P?B??P?A?P?B??0.8?0.7?0.8?0.7?0.94 7、 有两批相同的产品，第一批12件，第二批10件，在每批中各有一件次品，任意地从第一批中抽取一件混入第二秕中，然后，再从第二批中任意抽出一件产品。 （1） 试求从第二批产品中抽出次品的概率。 （2） 若从第二批产品中抽到的是次品，求从第一批产品中也抽到的是次品的概率。 解：设A,B分别表示人第一批产品和第二批产品中抽到次品,则 (1)P?B??P?A?P?BA??PAPBA =????1211113???=?0.9848. 1211121113212?P?A?P?BA?1211 (2)P?AB?? =13P?B?132=2?0.1538 138、 一个工人照看三台机床，在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要人照看的概率分别是0.8,0.9,0.85，求在一小时内没有一台机床需要照看的概率。 解：设A,B,C分别表示甲、乙、丙机床需要照看， 则没有一台机床需要照看的概率为： PABC?PAPBPC?0.2?0.1?0.15?0.003 ????????9、 将3个球随机地放入4个瓶中，求 （1）每瓶至多有1个球的概率。 （2）每瓶至多有2个球的概率。 解：设A=“每瓶至多有1个球”，B=“每瓶至多有两个球” 3A463?- (1)P?A??3?16841A4115? (2)P?B??1?P?B??1?3?1?1616410、电池A、B、C安装线路如图。A、B、C是独立的，损坏的概率分别为0.3，0.2，0.1。求电路发生短路的概率。 A C B 解：设A0,B0,C0分别表示电池A、B、C损坏、D表示电路断电，则 P?D??P?A0B0?C0??P?A0B0??P?C0??P?A0B0C0? ?P?A0?P?B0??P?C0??P?A0?P?B0?P?C0? =0.154 11、两台车床加工同样的零件，第一台加工的废品率为0.03，第二台加工的废品率为0.02，加工出来的零件不加标签混合放在一起，已知这批零件中，由第一台车床加工的占2/3，由第二台加工的占1/3，从这批零件中任取一件。 求： （1）取到合格品的概率。 （2）取到的合格品是由第二台车床加工的概率。 解：设Ai=“零件是第i台车床加工的”，i?1,2;B=“取到的是合格品”，则 (1)P?B??P?A1B??P?A2B??P?A1?P?B|A1??P?A2?P?B|A2??(2)P?A2|B??P?A2??P?B|A2?=49/146- P?B?21292?0.97??0.98? 3330012、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 11

解：设Ai=“第i次拨通电话”，B=“拨号不超过三次而拨通电话” 则B?A1?A1A2?A1A2A3 P（B）?P（A1）?P（A1A2）?P（A1A2A3）- ?P（A1）?P（A2A1）?P（A3A1A2）P（A2A1）P（A1）?1919813??????101091098101414313?????? 554543513、某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运过程中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？ 解：设A=“该顾客能按所定的颜色得到定货” 当最后一位为奇数时，同理可得：P(B)?43252C10?C4?C32 ?P?A??92431C17 14、已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率： （1)两只都是正品：（2)一只是正品，一只是次品。 解：设Ai?“第i次取到正品“?i?1,2? 则：1）P?A1A2??P?A1?P?A2A1? ?28 45822816 ??? ?1091094515、设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有a只白球、b只红球。今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问1)取到白球的概率是多少？2)若取到的是白球，则从甲袋中取出的也是白球的概率？ 解：设A?“从甲袋中取到白球”，B?“从乙袋中取到白球” 2)PA1A2?A1A2?P?A1??PA2A1?PA1?PA2A1 ?????????则：1）P?B??P?AB??PAB?P?A?P?BA??PAPBA ?2）P?AB??P?A??P?BA?P?B????????n?m?a?n na?1ma ???m?n??a?b?1?m?na?b?1m?na?b?1??n?m??a?b?1??n?a?1? n?a?1??n?m??a?b?1??n?m?a?n?n?m?a?n16、某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8，该运动员投篮4次，⑴求投中篮框不少于3次的概率；⑵求至少投中篮框1次的概率。 解:设Ai?{第i次投中}的事件，i?1,2,3,4，P(Ai)?0.8，P(Ai)?0.2相互独立 (1) 投中篮框不少于3次的事件可表为 A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4 其概率为 P(A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4) =P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) ?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) =(0.8)4?4?0.2?(0.8)3?0.8192 （2）投篮4次均未投中的概率为 P(A1A2A3A4)?(0.2)4?0.0016 至少投中篮框1次的概率为 1? P(A1A2A3A4)?1?0.0016?0.9984 17、一箱产品有100件，次品率为10%，出厂时作不放回抽样，开箱连续地抽验3件。若3件产品都合格，则准予该箱产品出厂。求一箱产品准予出厂的概率。 12

解：设Ai=“第i件产品合格” （i=1,2,3） , B=“一箱产品准予出厂”,则B?A1A2A3 88 98908988所以有 P(B)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)????0.7265 100999818、两个信号甲与乙传输到接收站，已知把信号甲错收为乙的概率为0.02，把信号乙错收为甲的概率为0.01，而甲发射的机会是乙的2倍，求 （1）收到信号乙的概率； （2）收到信号乙而发射的是信号甲的概率。 而P(A1)?90100P(A2A1)?8999P(A3A1A2)?解：设A1=“甲发出信号”，A2=“乙发出信号” ， B=“收到信号乙” 则有：P(A1)?于是有： P(B)?P(A1B)?P(A2B)?P(BA1)P(A1)?P(BA2)P(A2)?0.02?P（A1B）?P（A1B）P（BA1）P（A1）4?? P（B）P（B）10323P(A2)?13P(BA1)?0.02P(BA2)?0.99 21103?0.99??33300 19、将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设Ai?“杯子中球的最大个数为i”，i?1,2,3? 3A46 则1）P?A1??3? 416121C4C3C39?2）P?A2?? 431613C4C13）P?A3??33? 41620、有两箱同种类的零件，第一箱50只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任取一箱，然后再从该箱中任取一只，求：1）取到的是一等品的概率；2）若取到的是一等品，它是来自第一箱的概率。 解：设Ai?“取到第i箱产品”，i?1,2…… B=“取到一等品” 1101182???? 2502305110?P?A1?P?BA1?12502）P?A1B?? ? ? 1101184P?A1?P?BA1??P?A2?P?BA2????25023021、在一标准英语字典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词。若从26个英文字母中任取两个字母予以排列，求能排成上述单词的概率。 解：设A=“从26中任取2个能排列成所述单词” 则：1）P?B??P?A1?P?BA1??P?A2?P?BA2??则P?A??5511? 2A2613022、袋中装有m只正品硬币、n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。问这枚硬币是正品的概率是多少？ 解：设A=“任取一只掷r次，每次均为国徽”, B =“硬币为正品” m?1???P?B?P?AB?mm?n?2?则P?BA?? ? = rrn?n2m?1?nP?B?P?AB??PBPAB??1??m?n?2?m?nr????23、将n件展品随机地放入N（N≥n）个橱窗中去，试求（1）某指定n个橱窗中各有一件展品的概率；（2）每个橱窗中至多有一件展品的的概率（设橱窗的容量不限）。 解：设B=“某指定n个橱窗中各有一件展品”，C=“每个橱窗中至多有一件展品”， n! 则（1）P?B??n N13

nAN（2）P?C??n N24、A、B、C三人向一飞行物射击，A、B、C命中目标的概率分别为0.6、0.5、0.4，至少同时有两人击中时，飞行物才坠毁 .①求飞行物被击毁的概率；②已知飞行物被击毁，求被A击中的概率。 解：设D=“飞行物被击毁”。 P?D??P(ABC?ABC?ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?0.5 则：1） 2）P?AD??P?AD??P(D)P(ABC?ABC?ABC)P(D) ?0.42?0.84 0.525、一道选择题有5个备选答案，其中只有一个答案是正确的。据估计有80%的考生知道这题的正确答案；当考生不知道正确答案时，他就作随机选择。已知某考生答对了，问他知道该题正确答案的概率是多少？ 解：设A=“该考生知道正确答案”, B =“该考生答对了该选择题” 200.8?1则P?AB?? ? =21 0.8?1?0.2?0.2P?A?P?BA??P?A?PBAP?A?P?BA???1126、、张、王、赵三名同学各自独立地去解一道数学难题，他们能解出的概率分别为15,3,4， 试求（1）恰有一人解出难题的概率；（2）难题被解出的概率 。 解：设A，B，C分别表张、王、赵解出难题的事件，则 1）P(ABC?ABC?ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?32）P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?5 1330

27、若干门炮独立地向飞行物射击,命中率均为0.2,只有当飞行物同时被两门或以上的炮击中后才会坠落,求: ①当配备4门炮时,飞行物坠落的概率; ②至少配备多少门炮,才至少有90%的把握击中飞行物?(设lg2=0.3) .解：设A=“飞行物坠落”,B” 飞行物被击中”. ①X 表示击中飞行物的炮数. 01P(A)= P(X≥2)=1- P(X≤1)=1?C40.84?C40.2?0.83=0.1808; ②设配备n门炮,则 0P(B)=1- P(B)=1?Cn0.8n?90%,即0.8n?0.1.两边取常用对数,解得n?10, 至少配备10门炮,才有90%的把握击中飞行物. 28、A袋装有3个红球和2个白球, B袋装有2个红球和3个白球,今等可能地在A袋B袋中任选一袋,并在该袋中随机地取一球.①该球是白球的概率多少？②若已知取到的是白球，计算该球取自哪一袋的概率较大？ 解：设A=“在A袋取一球”，B=“在B袋取一球”， C=“取一球是白球” ①P?C??P?A?P?CA??P?B?P?CB? =????12P?A?P?CA?2?52②P?AC???? 1P?C?52122513251; 2显然P?BC??1?23?. 该球取自B袋的可能性较大。 55 29 、从装有5个白球和6个红球的袋中任取一球，不放回地取三次. 求：(1)取到两个红球和一个白球的概率； (2)取到三个红球的概率. 14

21C6C55解：(1)设A=“取到两个红球和一个白球”, 则有P?A???; 311C113C64(2)设B=“取到三红球”, 则有. P?B??3?. C1133 30、104、在10件产品中有4件次品，任取3件 (1)求恰有1件次品的概率； (2)求至少有2件正品的概率。 解：设A?“从10件中取3件恰有1件为次品” B?“从10件中取3件至少有2件正品” 12C4C1则：1）P?A??36? C1022120C6C4?C6C422）P?B??? 3C10331、已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人 （1）此人是色盲患者的概率； （2）若此人恰好是色盲患者，问此人是男性的概率？ 解：A?“挑选1人为男子” B?“挑选一人为色盲患者” 11则：1）P?B??P?A?P?BA??PAPBA??0.05??0.0025?0.02625 22????1P?A?P?BA?2?0.05 2）P?AB????0.95238 P?B?0.0262532、A,B,C三人在同一办公室工作，房间里有三部电话，据统计知，打给A,B,C的电话的概率分虽为2/5,2/5,1/5，他们常因工作外出，A,B,C三人外出的概率分别为1/2,1/4,1/4，设三人的行动相互独立，求： （1）无人接电话的概率； （2）被呼叫人在办公室的概率； 若某一时间段打进3个电话，求： （3）这3个电话打给同一个人的概率； （4）这3个电话打给不相同的人的概率： （5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。 解：设A,B,C分别表示A,B,C在办公室；Ai表示第i个电话找A，Bj表示第j个电话打给B，Ck表示第k部电话打给C 1111 ???24432(2) 被呼叫人在办公室有以下三种情况：三部电话找同一个人，该人在办公室；三部电话打给两个人，这两人在办公室；三部电话打给不同的三个人，这三人都在办公室。以上三种情况互不相容。 (1) P(ABC)?P?P(A1A2A3A)?P(B1B2B3B)?P(C1C2C3C)?3P(A1B2B3AB)? 3P(A1A2B3AB)?3P(A1C2C3AC)?3P(A1A2C3AC)?3P(B1C2C3BC) ?3P(B1B2C3BC)?P33P(A1B2C3ABC) 22117(3) P(A1A2A3?B1B2B3?C1C2C3)?()3?()3?()3? 55512522124(4) P?P33???? 555125(5) 三个电话都打给B的条件下，而B却不在的概率为： 1111P???? 44464 （二） 15

?cx?,1、设随机变量X的概率密度为f?x????0,0?x?1;其它. 且E?X??0.75， 求常数c和α。 c?1, ???0cxdx?1, ??11??cx??1dx?0.75,得c?0.75, 解：由??0???21?解得α＝2，c ＝3。 2、设离散型随机变量X的分布律为： 3、X 4、0 5、1 6、2 1117、p 8、3 9、6 10、 2 31P(X?)P(1?X?)2，2，P(1?X?3). 求：(1) X的分布函数F(x) ；(2) 21111111解：(1)先求F(x)在跳跃点0,1,2处的值：F(0)= ；F(1)= += ；F(2)=++=1. 3362362因为F(x)为非降、右连续的阶梯函数，故F(x)为： x?0?0?10?x?1??3F(x)??1 1?x?2??2?x?2?111331(2).P(X?)=P(X?0)=； P(1?X?)=0；P(1?X?)=P(X?1)=. 32262 3、 已知随机变量X的密度函数为 ?ax? f(x)??2?x?0?0?x?11?x?2 其他求 (1)常数a (2) P(解：(1) ???113

?3?0?4?012????所以 c?12. （2）fX?x???f?x,y?dy， ????当x?0时,fX?x??0; 当x?0时，fX?x???12e??3x?4y?dy 0?? =12e?3x???0e?4ydy 16

=3e?3x ?3e?3x,x?0所以 fX?x??? x?0.?0,?4e?4y,y?0类似可得：fY?y??? y?0.?0,?e?y,5、设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为f?x,y????0,0?x?y其它., （1）求（X，Y）分别关于X和Y的边缘概率密度fx(x),fy(y); （2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由。 解：（1）边缘概率密度为 ???? 0e-ydx?ye-y,y?0;?? xe-ydy?e-x,x?0;fx(x)??f(x,y)dy?? fx(y)?? -?f(x,y)dx?? -?0, x?0,0, y?0,??????y（2）由于f (x,ｙ)≠fx (x)·fY(y),故X与Y不独立。 ?Kx2,0?x?26、已知随机变量ξ的概率分布密度为?(x)?? ?0,其他 求： （1）K的值；（2）P{1/2<ξ<2}。 解：(1)由???x?dx??????20?323x83?x,0?x?22kx2dx?k|0?k?1得：k?，从而??x???8 338??0,其他23x3263?1?22(2)P????2?=?1??x?dx=?1xdx =|1= 8264?2?2287、二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为 ?Ay?1?y?,0?x?1,0?y?x f?x,y???0,其他?（1） 试确定常数A； （2） 求关于X和Y的边缘密度函数； （3） 判断X和Y是否相互独立。 解：(1)由??????????A?A?Af?x,y?dxdy??dx?Ay?1?y?dy???x2?x3?dx??1 得：A?12 0002312??1x1(2)fX?x??? f(y)????????x23???12y(1?y)dy0?x?1?6x?4x,0?x?1f?x,y?dy??0?? ?0其他?0,其他???12???12y(1?y)dx0?y?1?12y(1?y)f(x,y)dx??y??0?0其他??0?y?1 其他 (3)f?x,y??fX?x??fY?y? 所以X与Y不相互独立。 8、设X的分布律为 X P -1 1 2 1 1 1 326〈0X〈2? (1)求X的分布函数； (2)求??0?X?2?及??解：(1)由F(x)?P?X?x? ， 17

0,x??1??1,?1?x?1?3? 所以有：F(x)??115- ??,1?x?2?326?111x?2????1,?326(2) P?0?X?2??F(2)?F(0)?1?12211? P?0?X?2??P?0?X?2??P?X?2???? 333629、设随机变量X~N(0,1),求随机变量Y??X??(??0)的概率密度。 解： 设随机变量Y的分布函数为FY(y) ，则有 y?????y????? FY(y)?P?Y?y??P??X???y??P?X?? ?X????????y????y???1于是 FY?(y)???X????X??? ???????而?X(x)?12?e?x22，所以，Y的概率密度函数为 ?y?????????22PY(y)?FY?(y)?12?e?1??12??e??y???22?2 即Y~N(?,?2)。- 10、 二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为 ?Ay?1?y?,0?x?1,0?y?x f?x,y???其他?0,（1） 试确定常数A； （2）求关于X和Y的边缘密度函数； （3）判断X和Y是否相互独立。 解：(1)由??????????1x1?AA?Af?x,y?dxdy??dx?Ay?1?y?dy???x2?x3?dx??1 得：A?12 00023?12?(2)fX?x??? f(y)????????x23???12y(1?y)dy0?x?1?6x?4x,0?x?1f?x,y?dy??0?? ?0其他?0,其他???12???12y(1?y)dx0?y?1?12y(1?y)f(x,y)dx??y??0?0其他??0?y?1 其他 (3)f?x,y??fX?x??fY?y?,所以X与Y不相互独立。 11、 设随机变量X的分布律为 X Pk （ ?3P??x?（1）求X的分布函数；(2)求?25??2?；(3)求P?2?x?3? -1 1/4 2 1/2 3 1/4 解：1）X的分布函数 ?0,x??1?1?,?1?x?2?F?x???4 ?3,2?x?3?4?1,x?3??32）P??x??25??5??3?311??F???F????? 2??2??2?44218

P?2?x?3??F?3??F?2??P?X?2??1?12、 设二维随机变量?X,Y?的概率密度为 313?? 424?ky?2?x?,0?x?1,0?y?x,f?x,y????0,其他 （1）求常数k；（2）求边缘概率密度； 1x1152??fx,ydxdy?1????，则dxky2?xdy?kx2?xdx?k?1 ?0?0?02?????24所以：k?4.8 x??2.4x2?2?x?,0?x?1??04.8y?2?x?dy,0?x?12）fX?x??? ?? ?0,其他?0,其他1??4.8y?2?x?dx,0?y?1?7.6y?9.6y2?2.4y3,0?y?1??y fY?y??? ?? ?0,其他? ?0,其他解：1）由?????13、 ?Ae??x,f(x)???0,设X是连续型随机变量，已知X的密度函数为x?0x?0， 其中?为正常数。 试求 (1)常数A。 (2)X的分布函数F(x)。 解： （1）由?f(x)dx??0dx????????0??0Ae??xdx?A??1得A??- （2）F(x)??x??f(x)dx x?? 当 x?0时，F(x)??0dx?0 当x?0时，F(x)??f(x)dx??0dx???e??xdx?1?e??x ????0x0x?1?e??x所以F(x)???0 14、 x?0- x?0设二维随机变量(X,Y) 的联合密度为 ?2e?(2x?y),x?0,y?0f(x,y)??其他?0， (1) 求X，Y的边缘概率密度； (2)问X和Y是否相互独立？ 解： （1）fX(x)??????f(x,y)dy 当x?0时， fX(x)?0 当x?0时，fX(x)????02e?(2x?y)dy?2e?2x ?2e?2x所以 fX(x)???0?e?y 同理有fY(y)???0x?0 x?0 y?0y?0?2e?(2x?y)（2）由（1）知： fX(x)fY(Y)???0x?0,y?0- 其他 显然，在平面上都成立f(x,y)?fX(x)fY(y) 所以，X与Y是相互独立的。 15、 设随机变量X的分布律为 X -2 -1 0 1 3 Pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 19

1)求Y?X2的分布律；2）求P?Y?2? 解：1)Y?X2的分布律为 Y Pk (5) 0 1/5 1 7/30 4 1/5 9 11/30 2)P?Y?2??P?Y?0??P?Y?1?? 16、 1713?= 53030设随机变量X和Y具有联合概率密度 ?k,x2?y?x f?x,y????0,其他（1）试确定常数； （2）求边缘概率密度；fX?x?（3）判断X和Y的独立性。 解：1）由??????????f?x,y?dxdy?1得：?dx?2kdy??kx?x2dx?1 0x01x1??所以k?6 x??6?x?x2?,0?x?1??x26dy,0?x?12）fX?x??? ?? 0,其他???0,其他?y6dx,0?y?1? fY?y????y ??0,其他3）f?x,y??fX?x??fY?y?,所以X与Y不相互独立。 17、 设随机变量X的概率密度为 ??1??2?1?2?,1?x?2f?x???? x??0,其他??3?（1）求X的分布函数； （2）求P??X?3? ?2??0,x?1?2?解：1） F(x)??2x??4,1?x?2 x???1,x?2?3??3?2）P??x?3??F?3??F?? =2/3 ?2??2? 18、 设二维随机变量?X,Y?的概率密度为 ?Cx2y,x2?y?1f?x,y??? ?0,其他(1)试确定常数C;（2)求边缘概率密度fX?x?,fY?y?；（3)判断X与Y的独立性. 解：1）由??????????f?x,y?dxdy?1 1x得：?dx?2Cx2ydy??114C?1 21所以C?21 420

?212?12124??x2xydy,y?x?1?x1?x,?1?x?12）fX?x???4 ??8 ??0,其他?0,其他????75?y212?y2,0?y?1???yxydx,0?y?1 fY?y??? ??2 4?0,其他??0,其他?3）因fX?x?fY?y??f?x,y?， 所以X与Y不相互独立。 19、 设随机变量X的分布律为 X Pk -2 1/5 -1 1/6 0 1/5 1 1/15 3 c （1)求确定常数c；（2）求Y?X2的分布律；（3）求Y?X2的分布函数。 11解：1）由15?6?15?c?1，得 c?1130 2)Y?X2的分布律为 Y 0 1 4 9 Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 ?0,y?0?1?5,0?y?1?3)Y的分布函数为F(y)??1330,1?y?4 ?19,4?y?9?30??1,y?920、 设随机变量X和Y具有联合概率密度 ?ke?x?y,x?0,y?0f?x,y??? ?0,其他（1）试确定常数k；(2）求边缘概率密度；( 3）判断X和Y的独立性;4)求P{0

解：1）由??????????f?x,y?dxdy?1 得：C?xdx?2y2dy?1 0x11所以C?6 12??2x,0?x?1??06xydy,0?x?12）fX?x??? ?? 0,其他???0,其他12??3y2,0?y?1??06xydx,0?y?1 fY?y??? ?? ?0,其他??0,其他3）因为fX?x?fY?y??f?x,y?， 所以X与Y相互独立 4）因为X与Y相互独立，所以?XY=0 22、 设随机变量X的密度函数为 ?Alnx,x?(1,e) f?x??? ?0,其它e①求常数A；②求P(X>). 2解：①由?f?x?dx?1 得 ????eeeeA?lnxdx?Axlnx?A?xdlnx?Ae?A?dx?A?1 1111②P(X>e)=1??2e21eeeeeelnxdx?xlnx2??2xdlnx?ln??2dx?1?ln2 12212123、 已知X~U(0,?),Y?sinX,求Y的概率密度fY(y). 解：用分布函数法 当0?y?1时,?FX????FX???arcsiny??FX?arcsiny??FX(0)FY?y??P(sinX?y)?P(??arcsiny?X??)?P(0?X?arcsiny) 2?,0?y?1?2两边对y求导得 fY(y)???1?y. ?0,other?24、 设随机变量X具有概率密度 ?kx,0?x?3?x?f?x???2?,3?x?4 2???0,其他1?X?2? （1） 确定常数k；（2）求X的分布函数F?x?；（3）求P?解：1）由?????34?x?f?x?dx?1，得：?kxdx???2??dx?1 032?? 则：k?1 6?0,x?0?0,x?0?2?x1?x,0?x?3?tdt,0?x?3?12??06??Fx?2）F?x??? 所以， ?22?2x?x?3,3?x?4?2x?x?3,3?x?4??44?1,x?4???1,x?41?x?2??F?2??F?1? ?3）P?1 422

25、 设二维随机变量?X,Y?的概率密度为 ?e?y,0?x?y f?x,y????0,其他（1）求边缘概率密度fX?x?，fY?y?； （2）判定X与Y的独立性。 解：（1）边缘概率密度为 ???? 0e-ydx?ye-y,y?0;?? xe-ydy?e-x,x?0;fx(x)??f(x,y)dy?? fY(y)?? -?f(x,y)dx?? -??0, x?0,?0, y?0,????y（2） 由于f (x,ｙ)≠fx (x)·fY(y),故X与Y不独立。 26、 某校抽样调查结果表明，考生的概率论与数理统计成绩X近似地服从正态分布N(?,?2)，平均成绩??72分，96分 以上的占考生总数的2.3％，求考生的概率统计成绩在60分至84分之间的概率。 ?96?72?解: X~N(72,?2)，P(X?96)?1?P(X?96)?1?????2.3%， ????24?????0.977， ???查表得24??2，??12． 所求概率为: ?84?72??60?72?P(60?X?84)??????????(1)??(?1)?2?(1)?1?0.682 ?12??12?27、离散型随机变量X的分布律为： 0 1 121 1 62 1 33 1 124 2 95 1 9 求:：(1).Y?2X?1的分布律；(2)Z?(X?2)2分布律。 解： X P Y=2X+1 Z=(X?2)2 故有 Y P Z P 28、设随机变量X的概率密度为 0 1 31 1 44 11 369 1 91 1 123 1 65 1 37 1 129 2 911 1 90 1 121 4 1 1 63 1 2 1 35 0 3 1 127 1 4 2 99 4 5 1 911 9 ?e?x f(x)???0 求Y?X2的密度函数。 解:当y<0时，fY(y)?0 x?0x?0 当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(0?X?y) 23

=?y0yf(x)dx??e?xdx 0fY(y)?FY'(y)?e??1?e?所以 fY(y)??2y?0?y12y yy?0y?0 29、袋里有5个编号的球，其中1个球编号为1，有2个球编号均为2，有2个球编号均为3。每次从中任取两个球，以X和Y分别表示这两个球中编号最小的号码和最大的号码。求X和Y的联合分布律。 解： (X,Y)的全部可能取值为(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)，5个球从中任取2个，共有C52?10种取法。 样本空间样本点总数为10，因此 1111C1C2C1C222，P(X?1,Y?2)???0.2P(X?1,Y?3)???0.2， 221010C5C5211C2C2C214P(X?2,Y?2)?2??0.1，P(X?2,Y?3)???0.4 210C510C52C21P(X?3,Y?3)?2??0.1，联合分布律用表格表示为 C510 Y X 1 2 3 2 0.2 0.1 0 3 0.2 0.4 0.1 30、将两封信投入3个编号分别为1，2，3的信箱，用X,Y分别表示投入第1，2号信箱中的信的数目。（1）求(X,Y)的分布律；（2）问X,Y是否相互独立？（3）求Z?2X?Y的分布律.。 解：（1）X的所有可能取值为0，1，2；Y的所有可能取值为0，1，2， 1P(X?0,Y?0)? 911C2C2 P(X?1,Y?0)?P(X?0,Y?1)?11?1C3C392C22P(X?2,Y?0)?P(X?0,Y?2)?11? C3C3911C2C2 P(X?1,Y?1)?11?1C3C39P(X?1,Y?2)?P(X?2,Y?1)?P(X?2,Y?2)?0。 于是(X,Y)的分布律为 Y X 0 1 2 344（2）p1???p1j?，p?1??pi1?，显然p??p?1?p11， 99j?1i?130 1 2 1/9 2/9 1/9 2/9 2/9 0 1/9 0 0 所以X与Y不相互独立。 （3）Z?2X?Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6 12P(Z?0)?P(X?0,Y?0)?，P(Z?1)?P(X?0,Y?1)?， 9924

P(Z?2)?P(X?1,Y?0)?P(X?0,Y?2)?P(Z?3)?P(X?1,Y?1)?2， 9213??， 9991P(Z?4)?P(X?1,Y?2)?P(X?2,Y?0)?， 9P(Z?5)?P(Z?6)?0，于是Z?2X?Y的分布律为 Z pk 0 1 2 3 4 1 92 93 92 91 931、设随机变量X和Y的联合分布律为 Y 1 0.15 0.05 2 0.30 0.12 3 0.35 0.03 X 0 1 （1）求关于X的边缘分布；（2）求关于Y的边缘分布；（3）求P(Y?1)。 解：（1）P(X?0)?P(X?0,Y?1)?P(X?0,Y?2)?P(X?0,Y?3) ?0.15?0.30?0.35?0.80 P(X?0)?P(X?1,Y?1)?P(X?1,Y?2)?P(X?1,Y?3) ?0.05?0.12?0.03?0.20 即关于X的边缘分布为 X pi? 0 0.8 1 0.2 （2）P(Y?1)?P(X?0,Y?1)?P(X?1,Y?1)?0.15?0.05?0.20 P(Y?2)?P(X?0,Y?2)?P(X?1,Y?2)?0.30?0.12?0.42 P(Y?3)?P(X?0,Y?3)?P(X?1,Y?3)?0.35?0.03?0.38 即关于Y的边缘分布为 Y p?j 1 0.2 2 0.42 3 0.38 （3）P(Y?1)?P(Y?2)?P(Y?3)?0.42?0.38?0.80。 （三） 1、设随机变量X具有密度函数 0?x?1?x,? f?x???2?x,1?x?2 求EX及DX。 ?0,其它?131122 x0?x21?x31?10133121232132723 EX??xdx??x2?2?x?dx?x41?x1?x1? 0014346712DX?EX2??EX???1? 662、设离散型随机变量X的分布律是 X -2 -1 0 1 2 P 121116993 6 解：EX??x2dx??x?2?x?dx12? (1) 求Y=XD(X) 的分布律 (2) 求E(X)，25

解： （1）有题意可知：随机变量Y只可能取0，1，2三个值，且有 P?Y?0??1125111P?Y?1????P?Y?2???? 9399663所以随机变量Y的分布律为 Y 0 1 2 P 1 5 1 993----------------------------------4分 121111 （2）E（X）?（?2）??（?1）??0??1??2?? 69936912111722E（X2）?（?2）??（?1）??12??22?? 693691?152- ??17??D（X）?E（X）??E（X）???9?9?812223、 设随机变量X服从指数分布，其概率密度为 x?1???e,x?0 f?x?????0,x?0?其中??0，求E?X?，D?X?。 解：1）E?X???xf?x?dx ????????0xedx??xe?1?1?x???0???edx ???e?0???x?x???0?? 2）E?X2???x2f?x?dx??x2e?????x???0?2???0xe?dx??2?2e?x?x???0?2?2 D(X)??2 ?0,x?0?4、设随机变量X的分布函数为F(x)??Ax2,0?x?1 ?1,1?x?求 (1) 常数A ; (2) X落在[－1,0.5]内的概率；（3）E（X）；D（X）. 解：1） 由F(1)=F(1+0)得：A=1 ?0,x?0? F(x)??x2,0?x?1 ?1,x?1?2）P??1?x?0.5??F?0.5??F??1??0.25 ?2x,0?x?13）f(x)?F?(x)?? ?0,其他E(X)??xf(x)dx??x?2xdx?23 ??0214）D(X)??(x?)f(x)dx??(x?23)?2xdx?18 ??0?2231?1 ??k21?x?25、设随机变量X的密度函数f(x)??x ，求： 其他??044 （1）k；（2）P{?x?}；（3）E(X)。 53??2k?f(x)dx?1,?解：（１）??1x2dx?1,?k?2?3分 ?? 4421（2）P{?X?}??432dx??3分 532x526 4

2dx?2ln2,?4分 21x6、设随机变量X的分布律为： X 0 1 2 （3）E(X)??x2 求：（1）A；（2）X的分布函数F(x)；（3）D(X)。 P 1 4A 1 4111解：(１）??pk?1?2分，??A??1,?A??1分 442k0?1?x?0?40?x?1?113,（２）F(x)?P(X?x)???3分 ???4241?x?2?111x?2???1??424（3）E(X)?0? 111?1??2??1?1分 4241113 E(X2)?02??12??2?2??1分 424231 D(X)?E(X2)?[E(X)]2??12??2分 227、 随机变量X的分布律为 X -2 0 2 Pk 0．4 0．3 0．3 （1）求E?X?；（2）求E?X2?；（3）求D?X?。 解： 1）E?X????2??0.4?0?0.3?2?0.3??0.2 2）E?X2????2??0.4?02?0.3?22?0.3?2.8 23）D?X??E?X2???E?X???2.8???0.2??2.76 228、设随机变量X服从指数分布，其概率密度为 x?1???e,x?0 f?x?????0,x?0?其中??0，求E?X?，D?X?。 解：1）E?X???xf?x?dx ????????0xe?dx??xe1?1?x???0???e?dx ???e0???x?x???0?? 2）E?X2???????xf?x?dx??xe222?x???0?2???0xe?dx??2?e?x2?x???0?2?2 D?X??E?X2???E?X???2?2??2??2 9、对一批产品进行检查，每次取任意取一件产品，检查后放回，再取一件产品，如此继续进行，如果发现次品，则认为这批产品不合格而立即停止检查；如果任取5件产品都是合格品，则认为这批产品合格，也停止检查。设每批产品的次品率为0.2，问平均每批要抽查多少件产品？ 解: 设每批产品要抽查X件产品，则RX?{1,2,3,4,5} P{X?1}?0.2 P{X?2}?0.8?0.2，P{X?3}?0.82?0.2 P{X?4}?0.83?0.2，P{X?5}?0.84?0.2?0.85?0.84 于是 27

E(X)??kP{X?k}k?15 ?1?0.2?2?0.8?0.2?3?0.82?0.2?4?0.83?0.2?5?0.84?3.3616?kx2,?1?x?0???110、设X的概率密度为f(x)??cosx,0?x? 2?30,其它??（1）求k的值，（2）求E(X),D(X)。 ??111解：（1）?f(x)dx??kxdx??2cosxdx?k?，由?f(x)dx?1，得k?2 ?????10333??0?2?2x2,?1?x?0???1所以f(x)??cosx,0?x? 2?30,其它??（2）E(X)??xf(x)dx??2xdx??2???10??0?3x1cosxdx?(??5) 36x2?24cosxdx?? 31215E(X)??xf(x)dx??2xdx??2???102??20?4D(X)?E(X)??E(X)?2241?251732???(??5)???? 1215361818180?211、随机变量X的密度函数为 ?ax2?bx?c,f?x???0,?0?x?1,其它． 已知 E?X??0.5，D?X??0.15，求系数a，b，c. ????111解：?f(x)dx??(ax2?bx?c)dx?a?b?c由?f?x?dx?1 ，得 ????03211a?b?c?1 （1） 32??1111E(X)??xf(x)dx??(ax2?bx?c)dx?a?b?c，由 E?X??0.5，得 ??0432111a?b?c?0.5 （2） 432??1111E(X2)??x2f(x)dx??x2(ax2?bx?c)dx?a?b?c ??0543由E?X2??D?X???E?X???0.15?0.52?0.4，得 2111a?b?c?0.4 （3） 543由（1）（2）（3）解得a?12，b??12，c?3。 ?6e?(2x?3y),12、已知(X,Y)的概率密度为f(x,y)??0,?（1）求P{X?Y}，（2）E(XY)。 解：（1）P{X?Y}?（2）E(XY)??x?0,y?0其它 X?Y??f(x,y)dxdy??dx?6e?(2x?3y)dy?0x????2 51 6?????????xyf(x,y)dxdy????0???06xye?(2x?3y)dxdy?28

?e?y,0?x?1,y?013、设(X,Y)的概率密度为f(x,y)?? 0,?（1）问X,Y是否独立？ （2） 求D(X),D(Y) （3）求?XY 解：（1）fX(x)?????????e?ydy?1f(x,y)dy??0?0?,0?x?1,其它?? 同理fY(y)???????e?y,y?0 f(x,y)dx???0,y?0由于fX(x)fY(y)?f(x,y)，因此X,Y相互独立。 （2）E(X)??E(Y)??2?????????xf(x,y)dxdy??dx?01001??0xe?ydy?1 2?????????yf(x,y)dxdy??dx?210??ye?ydy?1 ??0E(X)??E(Y)??2?????????xf(x,y)dxdy??dx?x2e?ydy?21??001 3?????????yf(x,y)dxdy??dx?2y2e?ydy?2 D(X)?EX2??E?X???D(Y)?EY2??E?Y???????2111?? 341224???1 391??00（3）E(XY)??????????xyf(x,y)dxdy??xdx?ye?ydy?1 2Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?11??1?0 22??XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0 ?1?(x?y),0?x?2,0?y?214、设(X,Y)的概率密度为f(x,y)??8，求?XY。 ?0,其它?解：E(X)??1(x?y)xdxdy ?????0?08212227??dx?(x2?xy)dy??(x2?x)dx? 080806212212125E(X2)???x2(x?y)dxdy??dx?(x3?x2y)dy ??(x3?x2)dx? 0800804035711711。同理 E(Y)?，D(Y)? D(X)?E(X2)?[E(X)]2??()2?3636636????221E(XY)???xyf(x,y)dxdy???(x?y)xydxdy ????0082121284??dx?(x2y?xy2)dy??(2x2?x)dx? 0808033471Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)??()2??3636 ????xf(x,y)dxdy??22所以?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)??136?1 ?11361115、某车间有200台车床，每台车床有60%的时间在开动，每台车床开动期间的耗电量为E千瓦，问至少应供应给此车间多少电量才能以99.9%的概率保证此车间不因供电不足而影响生产？ 解：设至少需供给nE千瓦电量，设X为同时开动的车床数，则X~B(200,0.6) np?200?0.6?120,np(1?p)?200?0.6?0.4?48 29

由P{X?n}?0.999，得P{n?12048X?12048?n?12048}?0.999 即?()?0.999?n?12048?3.01，所以n?141。 16、设一个系统由100个互相独立起作用的部件组成，每个部件损坏的概率为0.1，必须有84个以上的部件正常工作才能使整个系统工作，求整个系统工作的概率。 解:设X为整个系统处于工作状态的部件个数，则X~B(100,0.9) P{X?85}?1?P{X?84}?1?P{X?100?0.9100?0.9?0.1?84?100?0.9100?0.9?0.1} ?1??(?2)??(2)?0.977 17、 有一批电子元件装箱运往外地，正品率为80%，若要以95%的概率使箱内正品数多于1000只，问箱内至少要装多少只元件？ 解:设至少需装n只元件，设X为n只元件中的正品数，则X~B(n,0.8) np?0.8n，np(1?p)?0.8?0.2?n?0.16n 1000?0.8n?1?n???()?0.95 P{100?X?n}?0.95，得 ??20.4n???1?n??1，于是 当n充分大时，???2?1000?0.8n1000?0.8n1??()?0.95???1.64，取n?1279 0.4n0.4n 18、一加法器同时收到100个噪声电压Vk(k?1,2,?,100)，设它们是相互独立的随机变量，且都在（0，10）上服从均匀分布，记V??Vk，求P{V?520}的近似值。 k?1100解： E(Vk)?5，D(Vk)?100，k?1,2,?,100 12V?100?5520?500P{V?520}?1?P{V?520}?1?P{?}100100100?100?1212 ?2012100???1???0.693??0.2451?1???????19、某厂知道自己产品的不合格率p较高，因此打算在每盒（100只）中多装几只产品，假定p?0.2，试求：（1）每盒（100只）中的次品数X的分布律；（2）每盒中至少应多装几只产品才能使顾客不吃亏的概率至少为97.72%？ k0.2k0.8100?k，解：(1)X~B(100,0.2)，P{X?k}?C100（k?0,1,2,?,100） (2)设每盒中至少应多装k只产品可达要求，则每盒次品数为X X~b(100?k,0.2)，近似地有k~N((100?k)0.2,(100?k)0.2?0.8) P{X?k}?FX(k)??((k?25)0.80.16(100?k)k?(100?k)0.2(100?k)0.2?0.8)??((k?25)0.80.16(100?k))?0.9772 查表得，即k2?51k?525?0，解得k?14.3或k?36.7 ?2（*）而k?14.3不满足（*）式舍去，所以取k?37只。 30

（四） 1、设是X1,X2,?,Xn来自参数为?的泊松分布总体的一个样本，试求?的最大似然估计量和矩估计量。 解：总体的分布律为：P?X?k???ke?xk!,k?0,1,? 样本X1,X2,?,Xn的似然函数为： L?????i?1n?xe??ixi!=??xii?1ne?n?xi!n?i?1n lnL?????xiln??n???lnxi! i?1i?1ndlnL????令 d??xi?1ni??n?0 ?1n解得?的极大似然估计 ???xi?x. ni?1又因为E?X???. 所以?的矩估计为：??x ???x??10?x?12、 设总体X的概率密度为f(x)??，其中??0为参数，X1，X2,?Xn是总体的一个样本，试求参数?的矩,其它?0估计值和极大似然估计值。 解：（1）矩估计法：u1?E(X)??x?x??1dx?01???1 ?用A1?X代替u1，即X????1，得矩估计量??X 1?X（2）极大似然估计法：似然函数L(?)??n(x1x2?xn)??1 (1x2?xn) lnL(?)?ln?n(x1x2?xn)??1?nln??(??1)lnx dnlnL(?)??lnx(1x2?xn)?0 d??? 解得极大似然估计值为????n ln(x1x2?xn)n ln(X1X2?Xn) 所以极大似然估计量为??? 3、设总体X具有分布律： X 1 2 pk ?2 2??1???3 ?1???2 其中??0???1?为未知参数。已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?3试求?的矩估计值和最大似然估计值。 解：（1）E?X??1??2?2?2??1????3??1??? =3?2? 2又 x?14??`1?2?1?? 3331

?45令 E?X??x,得:3?2?? 解得的?矩估计值为：?? 36（2）样本的似然函数为： L?????2??2?2??1??? =2?5?1??? 令 L?????10?4?12?5?0 得 ??0或??因0???1,所以?的最大似然估计值为：???5 65。 64、设X1,X2,?,Xn为总体的一个样本，总体X的概率密度函数为 ??1?,0?x?1??x f?x????其他?0,其中??0为未知参数。 求：（1）?的矩估计量； （2）?的极大似然估计量。 解：(1)E（X）??xf?x?dx???x?dx???0??1???1x??11|0????1 令E（X）????1?X- X2??解得?的矩估计量为：?n2?1?X?nii?12 (2)似然函数为：L?????nlnL????ln??2?x?i?1 ???1??lnx ni?1ndlnL???n1??令d?2?2??lnxi?1i?0 ??解得?的极大似然估计量为：?n2????lnxi??i?1?n 5、设X1,X2,?,Xn为总体的一个样本，总体X的概率密度函数为 ??x??1,0?x?1f?x???， 其中??0为未知参数。 其他?0,求：（1）?的矩估计量； （2）?的极大似然估计量。 ??x??1????E(X)??X ??xf?x?dx???xdx???解：(1)E（X）， 令???0??1???1?0??1??11??解得?的矩估计量为：?nX 1?Xn(2)似然函数为L(?)??f(xi) =?i?1?x?ii?1n?1 lnL????nln?????1??lnxi i?1n32

dlnL???nnn??????lnxi?0解得?的极大似然估计量为：?令 d??i?1?n???lnxi??i?1?6、设总体X服从参数为?的指数分布，其密度函数为 ??e??x,x?0f(x)??x?0 (??0), ?0, 求未知参数?的极大似然估计量。 解：似然函数为L(?)??f(xi) =?i?1nn?x?ii?1n?1 lnL????nln?????1??lnxi i?1ndlnL???nnn??????lnxi?0解得?的极大似然估计量为：?令 nd??i?1????lnxi??i?1? ?(??1)x?,0?x?1f(x)???，?n,其他，?1，?2，?07、 设总体X的概率密度函数为 为取自总体X的样本，求未知参数的极大似然估计量。 解：似然函数为 L(?)??(??1)?xi??(??1)n?(x1x2?xn)? i?1nndnLnL(?)???lnxi?0得???1?令d???1i?1n?lnxi?1n i???1?所以 ?n?lnXi?1n即为所求参数?的极大似然估计量。 i8、设X~b?1,P?，X1，X2，……，Xn是来自X的一个样本，试求 ： （1）参数P的矩估计量；（2）参数P的极大似然估计 解：1）E?X??p 1n??X 令E?X??p?X??Xi 得p的矩估计量为：pni?12）似然函数为 L?p???pxi?1?p?i?1nn1?xi ，xi?0,1? lnL?p???xilnp???1?xi?ln?1?p? i?1i?1ndlnL?p?1n1n??xi?令??1?xi??0 dppi?11?pi?11n???xi?X 解得：?的极大似然估计值为：pni?19、设X1，X2，……Xn是来自总体的样本，总体X的密度函数为 33

????1?x?,0?x?1 f?x????0,其他其中???1是未知参数，求： （1）参数?的矩估计量； （2）参数?的极大似然估计量。 解：1）E?X???xf?x?dx ???????1?x?xdx?01????1??21??1 x0=??2??2??11n?X??xi 令E?X????2ni?1??2X?1 解得?的矩估计量为： ?1?X2）似然函数为：L????????1?xi ????1??i?1nn?x? ii?1nlnL????nln???1????lnxi i?1ndlnL???n???lnxi?0 令d???1i?1n???得?的极大似然估计为：??lnxi?1ni?1ni?n i?lnx??C?x????1?,x?c f?x????0,其他10、设X1，X2，… ，Xn为总体的一个样本，总体X的密度函数为 其中C>0为已知，θ>1，θ为未知参数。 求：（1）θ的矩估计量； （2）θ的极大似然估计量。 解：1）??CxC???????1?xdx??C????C?C?1??xdx ?x1??????C?C? ??11nC?令x??xi? ni?1??1得?的矩估计值为；???x x?Cn2）似然函数为：L??????Cx?i?1????1?i??Cnn??x???ii?1n?1? lnL????nln??n?lnC????1??lnxi i?1nd?lnL????n??nlnC??lnxi?0 令d??i?1n??解得?的极大似然估计值为?n?lnxi?1n i?nlnC34

??e??x,x?011、设总体X的密度函数为f(x;?)??(??R?) ,?X1,X2,?,Xn?是一样本. ,x?0?0 求：①参数λ的矩估计量；②参数λ的极大似然估计量. ??1??11解：①E?X???xf?x?dx??(?x)e??xd(?x)??(2)?; ???0??令E(X)?X，即λ矩估计量为：??n?1; X??xin?nx???L???e??e?②似然函数为：i?1 lnL????nln??nx?,[lnL???]'??n??nx?0, ?11λ的极大似然估计量为：??,估计值为??. Xx12、为了解灯泡使用时数的均值?及标准差?，测量10个灯泡，得x?1500h,S?20h．如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求?和?的95%的置信区间． 解:(1)这是一个未知方差求?的置信度为0.95的置信区间的问题．由已知n=10,x?1500,S?20.查表得t1??2． (n?1)?t0.97(59)?2.262因此，?的95%置信区间为 ???x?t1??(n?1)?S/n,x?t1??(n?1)?S/n?22?? ?2020???1500?2.262?,1500?2.262????1485.69,1514.31?1010??22(n?1)??0(2)这是一个求?的置信度为0.95的置信区间的问题．查表得??.025(9)?2.700，2?2?(n?1)??02.975(9)?19.023．?2的95%置信区间为 1?2??22(n?1)S??9?2029?202??(n?1)S??2(n?1),?2(n?1)???19.023,2.700??[189.24,1333.33]． ???1????2?2?开方后得到?的置信区间为［13.8，36.5］。 13、为了比较甲、乙两组生产的灯泡的使用寿命，现从甲组生产的灯泡中任取5只，测得平均寿命x1?1000(h)，标准差s1?28(h)，从乙组生产的灯泡中任取7只，测得平均寿命x2?980(h)，标准差s2?32(h)，设这两总体都近似服从正态分布，且方差相等，求这两总体均值差?1??2的置信度为0.95的置信区间． 2??2,但?2未知，1???0.95,??0.05，查表t解:由题设?12??21??2(n1?n2?2) ＝t0.975(5?7?2)?2.2281， 2(n1?1)S12?(n2?1)S24?282?6?322S????928，S??30.46 n1?n2?2102?则?1??2的置信度为0.95的置信区间为??(x1?x2)?t1??(n1?n2?2)S?2??11??即?(1000?980)?2.2281?30.46?????(?19.74,59.74)。 57??11?? ?n1n2?? 222Y~N(?2,?2)，?63.96,s2?49.05，X~N(?1,?12)，14、两总体X，Y相互独立，分别取n1?25,n2?16 的简单随机样本，算出s135

2试求两总体方差比?12?2的98%的置信区间． 解: ??S12S1211?2,?2由估计区间公式??F1??(n1?1,n2?1)S2F?(n1?1,n2?1)S22?2??? ??这里1???0.98,??0.02，n1?1?24,n2?1?15． F0.99(24,15)?3.29，F0.01(24,15)?1/2.89 2所以方差比?12?2的98%的置信区间为 163.96?63.96??,?2.89??(0.396,3.768)。 ??49.053.2949.05?15、已知某种木材横纹抗压力的实验值X~N(?,?2)，对10个试件做横纹抗压力的试验数据如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,496(单位：公斤/平方厘米)，试以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力:(1)?2未知； (2) ?2?302。 解：①样本平均数 1x?(482?493?457?471?510?446?435?418?394?496)?457.5 10标准差s?1n12(x?x)??11162.5?35.22 ?in?1i?19由于所给置信度1???0.95，查表t1??2(n?1)?t0.975(9)?2.2622 ??s?即以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间为?，即?X?t(n?1)?57.5?2.26221??2???4n???故置信区间为(432.30,482.70)． ②若??30，u1??2?u0.975?1.96， ?35.22? ??，10?????30?以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间为?，即??X?u?457.5?1.96?1??2????，故置信区n?10???间为(438.91,476.09)。 16、已知总体X~N(?,82)，抽取n=100的简单随机样本．现确定的估计区间为(43.88,46.52),试问这个估计区间的置信度是多少？ 解：对?已知的正态总体，?的估计区间，形式为 ?????2?，区间长度为，这里区间长度为46.52-43.88=2.64,由于?=8,n?10。 ?X??,X???1??21??21??2??nnn??所以1.32?u1??2?81.32?,u1??2??1.65，反查表1??0.95，??0.10，1???0.90，所以估计区间的置信度是100.820.90。 17、某厂生产的瓶装运动饮料的体积假定服从正态分布，抽取10瓶，测得体积（毫升）为595,602,610,585,618,615,605,620,600,606。求出方差的置信度为0.90的置信区间。 解：1???0.90，??0.10,1?2?2?0.975，n?10,S2?116.71, 2222查表得?12??(n?1)??0.95(9)?16.919,??(n?1)??0.05(9)?3.325 所以方差的置信度为0.90的置信区间为(62.08,315.91)。 18、研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，两样本容量为n1?n2?20,得燃烧率的样本均值分别为x1?18cm/s, x2?24cm/s，求两燃烧率总体均值差?1??2的置信度为36

0.99的置信区间。 解：1???0.99，??0.1，查表u1??2?u0.995?2.575。 将x1?18,x2?24，?1??2?0.05及n1?n2?20代入得?1??2的置信度为0.99的置信区间为 22????1?(x?x)?u?2??(?6?0.04)?(?6.04,?5.96)。 121??2?n1n2???2?0.5419，19、设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为sA22222,?BsB?0.6065，设?A?B分别为A,B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的，求方差比?A的置信度为0.95的置信区间。 解：1???0.95，1??2?0.975，nA?nB?10， 2sA0.541922?B查表得F0.975(9,9)?4.03，2?的置信度为0.95的置信区间为（0.222,3.601） ?0.8935,于是得方差比?A0.6065sB（四） 2?，且X与Y相互独立，设?X1,X2,?,X6?，?Y1,Y2,?,Y6?分别是来自X，Y的样本，已知1、设X~N??1,?12?，Y~N??2,?222?0.07100，试检验H0：?12??2上述样本的一组观测值，且x?0.1410，y?0.1385，S12?0.07866，S2。 （??0.05，F0.025?5,5??7.15，F0.05?5,5??5.05，t0.025?8??3.060，t0.025?10??2.2281）。 2、、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位学生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15分。问在显著水平??0.05下，是否可以认为这次全体考生的平均成绩为70分？ 解：设该次考试考生的成绩为X，则X服从正态分布N??,?2?分布，?,?2均为未知参数： ??0.05,n?36,检验假设对 H0:??70,H1:??70选统计量 T? 拒绝域：t?t?2X?70～t?n?1? Sn?n?1?， 66.5?70?36??1.4 15由n?36,x?66.5,s2?15,计算得t?因为t?1.4?2.031?t0.025?35?， 故接受假设H0:??70，即认为这次考生的平均成绩为70分。 3、 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位学生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15分。问在显著水平??0.05下，是否可以认为这次考试考生成绩的方差为162？?t0.05?35??1.6896,t0.025?35??2.031,?02.025?35??53.15,?02.975?35??20.06? ??0.05,n?36,检验假设H0:?2?162,2解：设该次考试考生的成绩为X，则X服从正态分布N??,?2?分布，?,?2均为未知参数： 对 ?2?162选统计量 ?n2?n?1?S2～??n?1? ?2?0222拒绝域：?n????n?1? 或?n??21???n?1? 237

经计算得 ?n235?152??30.7617， 162因?20.025?35??53.15,?20.975?35??20.06,而20.06??2n?530.15, 故接受H0:?2?162,即认为这次考试考生成绩的方差为162。 4、某棉纺织厂在正常生产情况下，每台布机每小时经纱断头根数ξ～N（9.73,1.622）,为节约淀粉，对经纱进行轻桨试验，在200台布机上测试，测得每小时平均断头根数为9.89,新的上桨法是否造成断头根数显著增加? 解：检验H0：???0；H1：???0 选统计量：Z?X??0? nZ=9.88?9.73=1.3965

4.28，4.40，4.42，4.35，4.37 如果标准差不变，铁水含碳量的均值是否显著降低（取显著性水平??0.05）? (已知z0.05?1.645,t0.025(4)?2.7764) 解：H0:u?4.55,H1:u?4.55（2分） 检验统计量Z? 而z?X?u?（2分） 拒绝域z??z0.05??1.645 （2分） 4.464?4.55，落在拒绝域内， ??3.78??1.645（2分）0.115故拒绝原假设而接受备择假设。所以认为该日铁水含碳量的均值显著降低了 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？ （取??0.05，Z0.05?1.645，t0.05?15??1.7531） 8、一种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态分布，?,?2均未知。现测得16只元件的寿命如下： 解：检验H0：???0?225；H1：???0 选取统计量：t?X??0Sn 由题意条件得：n?16，X?241.5，S?98.7259 从而t?X??0Sn?0.6685t0.05?18??1.734 故拒绝H0，即认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70。 39

、 11、某校进行教学改革，一学科学生成绩X服从正态分布，?,?2均未知。现抽测19人的成绩如下： 70 80 67 86 61 96 92 87 62 51 81 99 76 86 93 79 81 62 47 问是否有理由认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70？ （取??0.05，Z0.05?1.645，t0.05?18??1.734） 解：检验H0：???0?70；H1：???0 选取统计量：t?X??0Sn 由题意条件得：n?19，X?76.6316，S=15.023 从而t?X??0Sn?1.9241>t0.05?18??1.734 故拒绝H0，即认为该科的平均成绩大于对照组的平均成绩70。 12、某厂生产的化纤强度服从正态分布N??,0.042?，某天测得25根纤维的强度的均值x?1.39，问与原设计的标准值1.40有无显著差异？（取??0.05，z?2?z0.025?1.96）。 解：检验H0：??1.40，H1：??1.40 取统计量z?x?1.40?n 由已知条件得：z?1.39?1.40??0.0125 ， z?0.0125?z?2?z0.025?1.96 0.045故接受H0，即认为x与?0?1.40的差异是不显著的。 （10 13、某种电子元件的寿命X（以小时计）服从正态分布，?,?2均未知.现测得16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 已知s=98.7259.问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？ （取??0.05，Z0.05?1.645，t0.05?15??1.7531） 解：检验H0：???0?225；H1：???0 选取统计量：t?X??0Sn 由题意条件得：n?16，X?241.5， 从而t?X??0Sn?0.6685

22,H1：?12??2解：检验H0：?12??2 S12采用F检验，选用统计量为 F?2~F?5,5?… S2S12由已知条件得F?2?S266?166?1?0.07866?1.1079 ?0.0710011??0.1399 F??5,5?7.152临界值为F??5,5??F0.025?5,5??7.15, F1???5,5??22显然F1???5,5??F?F??5,5?，故接受H0 2215、有一种新安眠药，据说在一定剂量下能比某种旧安眠药平均增加睡眠时间3小时。根据资料用某种旧安眠药的平均睡眠时间为20.8小时，样本标准差为1.8小时，为了检验新安眠药的这种说法是否正确，收集到一组使用新安眠药的睡眠时间（以小时为单位）为： 26.7, 22.0, 24.1, 21.0, 27.2, 25.0, 23.4 假设新旧安眠药的睡眠时间都服从正态分布，试问这组数据能否说明新安眠药已达到新的疗效？（取显著性水平?=0.1） 解：（1）H0:???0?23.8，H1:??23.8 样本平均值X?24.2，样本方差S2?5.27，因此 t?X??0S2n?24.2?23.85.277?0.461 取?=0.1，自由度n-1=6，查t分布表得 t1???n?1??t0.9?6??1.4398 因为t??t1???6?，所以接受H0，即认为新安眠药已达到了新的疗效。 （2）先检验新旧安眠药的睡眠时间的方差是否一致，即检验假设 22H0:?2??0?1.82，H1:?2??0 用?2检验 ?2?n?1?S2??2?6?5.27?9.76 21.8取?=0.1，自由度n-1=6，查?2分布表得 ?02.05?6??1.635，?02.95?6??12.592 2222??0因为?0.05?6???.95?6?，所以接受H0，即认为Y方差亦为1.8。 接下来就可采用u检验法检验（1）中的假设 24.2?23.8u?7?0.588 1.8取?=0.1，查标准正态分布表得u0.99?2.33， 因为u??u0.99，所以接受H0，即认为新安眠药已达到了新的疗效。 2?5000（小时2）的正态分布，现又生产一批这种电池，从生产情况看，其寿命的16、某厂生产的电池，其寿命服从方差?0波动性有所改变，为检验这个问题，随机抽取26只电池，测得样本方差为S2?9000（小时2），试推断这批电池的寿命波动性是否比以往明显增大？(取显著性水平?=0.01) 22?5000，H1:?2??0解:H0:?2??0 ?n?1?S2??22?0??26?1??9000?45 500041

取?=0.01，自由度n-1=25，查?2分布表得 ?12???n?1???02.99?25??44.314 2因为?2?46??0.99?25?，所以拒绝H0，接受H1，即认为电池寿命波动性明显增大。 17、有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品的直径为（单位：mm）： 甲 20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.6 19.9 乙 19.7 20.8 20.5 19.8 19.4 20.6 19.2 试比较甲乙两台机床的加工精度有无显著差异？(取显著性水平?=0.05) 2? 解:设甲产品的直径X~N??1,?12?，乙产品的直径Y~N??2,?222H0:?12??2， H1:?12??2 经计算 1617x??xi?20，y??yi?20 6i?17i?11716222S???xi?x??0.1029，S2???yi?y??0.3967 5i?16i?121F?S12S22?0.2594，取?=0.05，查F分布表得 1F1?F??7,6??F0.975?7,6??5.7，F??7,6??1?22?2?6,7??0.1953， 因为F0.025?7,6??F?F0.975?7,6?，所以接受H0，即认为两台机床的加工精度无显著差异。 18、由累计资料知，甲、乙两煤矿的含灰率分别服从N??1,7.5?及N??2,2.6?，现从两矿各抽取几个试件，分析其含灰率为 甲矿： 24.3 20.8 23.7 21.3 17.4 （%） 乙矿： 18.2 16.9 20.2 16.7 （%） 问甲、以两矿所采煤的含灰率的数学期望?1、?2有无显著差异？（取显著性水平?=0.1） 解:H0:?1??2，H1:?1??2 经计算 1514X??xi?21.5，Y??yi?18 5i?14i?1u?X?Y???n1n22122?21.5?187.52.6?54?2.39， 取?=0.10，查标准正态分布表得，u1??2?u0.95?1.64 因为u?2.39?u0.95，所以拒绝H0，即认为?1和?2有显著差异。 三．证明题 1、设随机变量X分布函数是P(X?x)?FX(x)，试证明X的函数Y?FX(X)服从均匀分布U(0,1)。 证：FY(y)?P(Y?y)?P(FX(X)?y)，由于分布函数y?FX(x)是x的单调非减函数，且满足0?FX(x)?1，因此当y<0时{FX(X)?y}??，故P(FX(X)?y)?0；当y>1时{FX(X)?y}?S，故P(FX(X)?y)?1；当0≤y≤1时，由于单调性有P(FX(X)?y)?P(X?FX?1(y))?FX(FX?1(y))?y。于是Y?FX(X)的分布函数为： 42

y?0?0?FY(y)??y0?y?1 ?1y?1? 对y求导得： ?10?y?1 fY(y)??其它?0因此Y?FX(X)服从均匀分布U(0,1)。 2、设F1(x)、F2(x)都是分布函数，又a?0,b?0是两个常数，且a?b?1，证明F(x)?aF1(x)?bF2(x)是分布函数。 证：①0?F(x)?aF1(x)?bF2(x)?a?b?1 x???limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?a?0?b?0?0 x???x???limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?a?1?b?1?1 x???②?x1?x2时,因为F1(x1)?F1(x2)，F2(x1)?F2(x2)，故有F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2) ③由于F1(x)、F2(x)都是右连续，所以F(x)?aF1(x)?bF2(x)也是右连续。 所以F(x)?aF1(x)?bF2(x)是分布函数。 3、设X1,X2,?为独立同分布序列，且Xi(i?1,2,?)服从参数为?的指数分布，证明对任意实数x,limP{n???X?ni?1ni?n?x}??(x)。 证：E(Xi)?1??,D(Xi)?1?2,(i?1,2,?) limP{n??X?ni?1ni?n?x}?limP{n????Xi?ni?1nnni?x} ?limP{i?1n???Xnni?1n??x}?limP{i?1n???Xn?E(?Xi)i?1n?x}??(x) ?2D(?Xi)i?12Xn?1?X1n1n22Y?(X?X)4、设X1,X2,?,Xn,Xn?1是来自正态总体N(?,?)的样本，X??Xi，S?，则统计量?iSni?1n?1i?1n n?1服从t(n-1)分布。 证：Xn?1?X~N(0,Xn?1?Xn?12?)，~N(0,1)， n?(n?1)/n(n?1)S22~?(n?1) 又2?Xn?1?X由t分布定义得?(n?1)/n(n?1)S?22~t(n?1)， (n?1)即 Xn?1?XSn~t(n?1) n?143

5、设X1,X2,?,Xm和Y1,Y2,?,Yn分别是来自正态总体N??1,?2?和N??2,?2?的样本，?和?是两个实数，证明随机变量Z???X??1????Y??2?2mS12?nS2m?n?2?2?2?mn1m1n1m22的概率分布为Z~t?m?n?2?，其中X??Xi，Y??Yi，S1???Xi?X?，ni?1mi?1mi?11n2S???Yi?Y?。 ni?122证：由正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理知 2??nS2?2??2?mS1222X~N???2,n??，?2~??m?1?，?2~??n?1? ??1,m??，Y~N?????2??2?2?2?2?mS12?nS22??m?n?2? ~?得??X??1????Y??2?~N?，0,?2???mn??由t分布的定义知，Z~t?m?n?2? 6、设X1,X2,?,Xn是来自总体X~N(?,?2)的样本，证明 ?22?42E(XS)?(??)(??4) nn?1?22? 证：X,S2独立??X?,S2独立，故 22??E(XS2)2?E(X)2E(S2)2?D(X)?[E(X)]2D(S2)?[E(S2)]2 ???????????22?42?(??)(??4) nn?11n21n2???Xi，??2?(Xi?X)2 7、已知(X1,X2,?,Xn)是来自正态总体N(0,?)的一个样本，其中?未知．设??ni?1n?1i?122212?12和??2（1）证明?都是?2的无偏估计； 2?12比??2（2）证明?有效。 证明：（1）因为样本X1,X2,?,Xn相互独立，且与总体N(0,?2)同分布，所以2XX1X2,,?,n也相互独立，且都服从标准正???态分布．由?分布的定义，知 1?2n?Xi?1n2i~?2(n) 1n2?2?1?)?E(?Xi)?则E(?E?ni?1n??2211n??22222?1是?的无偏估计．另外??2?(Xi?X)2X???n??，所以???n?1i?1i?1?n2i就是样本方差，它也是总体方差?2的无偏估计。 （2）比较两个无偏估计的有效性，要计算它们的方差，有 ??211n2?)?D(?Xi)?D?D(??n?2ni?1?21??4?42?42X????n2D[?(n)]?n2?2n?n i?1?n2i??2(n?1)S2??1n2?2?)?D?D(?(Xi?X)??D(S)?D???? 2n?1n?1?i?1????222?4 ?D?(n?1)??2(n?1)?22n?1(n?1)(n?1)?4?2??4比较大小，有 44

2?42?42?)??2D(???D(?) nn?1212?12比??2故?有效 1n8、设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?)的一个样本，其中?已知．证明：估计量S??(Xi??)2是?2的无偏估计量。 ni?122n证: 1n1n1n22ES?E(?(Xi??)?E(?(Xi??)?E(?(Xi2?2Xi???2)ni?1ni?1ni?12n?1(EXi2??2)??2?ni?12nn 1n所以估计量S??(Xi??)2是?2的无偏估计量。 ni?1 9、设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本，记?为总体均值，?i(i?1,2,?,n)是常数，且??i?1。 i?1n① 证明：??iXi是?的无偏估计； i?1n证明在?的所有形如??iXi的线性无偏估计中，以X为最有效。 i?1nn?n?n证：①因为E???iXi????iE(Xi)????i?? i?1?i?1?i?1n所以??iXi是?的无偏估计。 i?1又因为E(X)??，故X也是?的无偏估计。 nn?n?2②由柯西－许瓦兹不等式??xiyi???xi?yi2， i?1i?1?i?1?n?n?得1????i??n??i2， i?1?i?1?221?n2??n?因此 D(X)?D(X)????i?D(X)?D???iXi?。 n?i?1??i?1?所以在?的形如??iXi的线性无偏估计中，X为最有效。 i?1n 45

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