2017-2017概率论与数理统计期末复习试题

概率论与数理统计期末复习题一

一、填空题（每空2分，共20分）

1、设X为连续型随机变量，则P{X=1}=( ).

2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为( ). 3、若随机变量X的分布律为P{X=k}=C(2/3),k=1,2,3,4,则C=( ). 4、设X服从N（1，4）分布，Y服从P(1)分布，且X与Y独立，则 E（XY+1-Y）=（ ） ，D（2Y-X+1）=（ ）.

5、已知随机变量X～N(μ,σ),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( );σ=( ). 6、已知随机变量(X,Y)的分布律为：

X Y 1 3 4 0.15 A 2 0.15 B 2

k

且X与Y相互独立。

则A=( ),B=( ).

7、设X1,X2,?,Xn是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,x1,x2,...,xn是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( ). 二、计算题（每题12分，共48分）

1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率. 2、已知随机变量X的概率密度为

其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X＜1/λ)}; (3)F(1). 3、设随机变量X的分布律为

X P 2?A?2e??x?f(x)???0?x?0x?0 -1 0 1 2 0.1 0.2 0.3 0.4 且Y?X?2X，求(1)E(X); (2)E(Y); (3)D(X). 4、若X～N(μ,σ),求μ, σ的矩估计.

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2

2

三、解答题（12分）

设某次考试的考生的成绩X服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分?

四、综合题（每小题4分，共20分） 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：

?ce3xy2,0?x?1,0?y?1f(x,y)??

?0,其它试求: (1) 常数C ；(2) fX(x) , fY(y) ；(3) X与Y是否相互独立？ (4) E(X),E(Y),E(XY)； (5) D(X),D(Y). 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772

t0.05(9)= 1.8331 ; t0.025(9)=2.262 ; t0.05(8)?1.8595， t0.025(8)?2.306 t0.05(36)= 1.6883 ; t0.025(36)=2.0281 ; t0.05(35)?1.6896， t0.025(35)?2.0301

概率论与数理统计期末复习试题一参考答案

一、填空题（每空2分，共20分）

1、0 ； 2、14/50 或7/25 ；3、81/130 ；4、1，17 ； 5、5，4 ；6、0.35，0.35 ；7、X(n) 二、计算题（每题12分，共48分）

1、解：(1)以A1,A2,A3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B记找到钥匙.则

P(A1)=0.4,P(A2)=0.35,P(A3)=0.25, P(B| A1)=0.9 ,P(B| A2)=0.3,P(B| A3)=0.1 所以,P(B)??P(A)P(B|A)?0.4?0.9?0.35?0.3?0.25?0.1?0.49.....6

iii?13(2)P(A2|B)?(0.35?0.3)/0.49?0.21 ????????????12 2、解：（1）由归一性：1?????????f(x)dx??A?e??xdx??A?e??x|0?A?,所以A?1/?

0??2 ?????????4 （2）P{?1?X?1/?}?（3）F(1)?1/?0?e??xdx?1?1/e?0.36?????????8

?10?e??xdx?1?e?? ?????????12

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3、解：（1）E(X)??1?0.1?0?0.2?1?0.3?2?0.4?1?????????4 （2）E(X2)?1?0.1?0?0.2?1?0.3?4?0.4?2

E(Y)?E(X2?2X)?E(X2)?2E(X)?2?2?4?????????8

（3）

D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?1?1?????????12

?4、解：（1）E(X)=μ 令μ=X 所以μ的矩估计为??X?????????6

??1n2（2）D(X)=E(X)-[E(X)] 又E(X)=?Xi

ni?12

2

2

?1n2?1nXD(X)= ?Xi-=?(Xi?X)2??2

ni?1ni?1所以σ的矩估计为?2

?2?1n??(Xi?X)2?????????12 ni?1三、解答题（12分）

解：提出假设检验问题：H0: μ=70, H1 ：μ≠70,

t?X?70S/n?～t(n-1),其中n=36,x=66.5,s=15,α=0.05,tα/2(n-1)=t0.025(35)=2.03?6

?|t|?|66.5?70|15/36?1.4?2.03?????????12

所以,接受H0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分. 四、综合题（每小题4分，共20分） 解：(1)1?1113x1131c33x23x2ceydxdy?cedx?ydy?c?e|0?y|0?(e?1) ?0?0?0?0339113

所以,c=9/(e-1) ?????????4

93x233xeydy?e0e3?1(2)e3?1

当x为其它情况时，fX(x)?0当0?x?1,fX(x)??1所以,

?33x?3e,0?x?1fX(x)??e?1 ?????????2

??0,其它?3y2,0?y?1fY(y)?? ?????????4

?0,其它同理,

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(3)因为:

?33x2e?3y,0?x?1,0?y?1?3fX(x)fY(y)??e?1?f(x,y)

??0,其它所以,X与Y相互独立. ?????????4 (4)

33x11EX??x?3edx?3xde3x?0e?1e?10113x1?3(y?e|0??e3xdx)?????????2

0e?12e3?1?3(e3?1)133EY??y?3y2dx?y4|1?00441????3

2e3?1 ?????????4 E(XY)?EX?EY?34(e?1) (5) DX?EX2?(EX)2

33x1?23x113xEX??x?3edy?3x?e|0??e?2xdx??00??e?1e?1?11?2?3x?????????2 ?3?e3?(xe3x|1?edx)0??0e?1?3?2125e3?2?9(e3?1) ?

5e3?2132DX??(2e?1)9(e3?1)9(e3?1)2?e?11e?19(e3?1)263 ?????????3

DY?EY2?(EY)2

13503222EY?y?3ydy?y|1? ?055333? DY??()2? ?????????4

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概率论与数理统计期末复习题二

一、计算题（每题10分，共70分）

1、设P（A）=1/3，P（B）=1/4，P（A∪B）=1/2.求P（AB）、P（A-B）.

2、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？ 3、已知随机变量X的密度函数为

?x?p(x)??2?Ax?0?0?x?11?x?2 其它(1)求A.（2）X的分布函数F(x).

4、若X，Y为相互独立的分别服从[0，1]上均匀分布的随机变量，试求Z?X?Y的分布密度函数.

5、某镇年满18岁的居民中20%受过高等教育.今从中有放回地抽取1600人的随机样本，求样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率.

6、某单位职工每天的医疗费服从正态分布N(?,?)，现抽查了25天，得元，求职工每天医疗费均值?的双侧0.95置信区间. 7、设总体X的密度函数为

2S?30元，??x??1,0?x?1 f(x)???0,other其中?是未知参数，且??0。求?的矩估计与极大的似然估计量。 二、解答题（9分）

某校数学教学从初一开始实行了某项改革。三年后在初中毕业数学考试中，全市平均成绩为80分，从该校抽取的49名学生成绩的平均数为85分。已知该校这次考试分数服从

N(?,142)分布。问该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异如何？（??0.05）

三、综合题（15分）

设随机变量(X,Y)具有下列概率密度

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