2013年湖北省 高考理科数学试题（真题与答案解析）

2013年湖北省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2013?湖北）在复平面内，复数 A．第一象限 B． 第二象限 （i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）

C． 第三象限 D． 第四象限 2．（5分）（2013?湖北）已知全集为R，集合

，则A∩?RB=（ ）

{x|x≤0} {x|2≤x≤4} A．B． C． {x|0≤x＜2或x＞4} D． {x|0＜x≤2或x≥4} 3．（5分）（2013?湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） ?????p∨q A．B． C． D． （p）∨（q） p∨（q） （p）∧（q） 4．（5分）（2013?湖北）将函数

图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ） A．B． 5．（5分）（2013?湖北）已知

，则双曲线

的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的C． D． 的（ ）

A．实轴长相等 B． 虚轴长相等 C． 焦距相等 D． 离心率相等 6．（5分）（2013?湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量影为（ ） A． 7．（5分）（2013?湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度

在方向上的投

B． C． D． 的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（ ） 1+25ln5 4+25ln5 4+50ln2 A．B． C． D． 8+25ln 8．（5分）（2013?湖北）一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）

A．B． C． D． V1＜V2＜V4＜V3 V1＜V3＜V2＜V4 V2＜V1＜V3＜V4 V2＜V3＜V1＜V4 9．（5分）（2013?湖北）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（ ）

A． 10．（5分）（2013?湖北）已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（ ） A．B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 11．（5分）（2013?湖北）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示： （Ⅰ）直方图中x的值为 _________ ； （Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为 _________ ．

B． C． D．

12．（5分）（2013?湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i= _________ ．

13．（5分）（2013?湖北）设x，y，z∈R，且满足：

，则x+y+z= _________ ．

14．（5分）（2013?湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为数的表达式： 三角形数

正方形数N（n，4）=n， 五边形数

六边形数N（n，6）=2n﹣n， …

可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）= _________ ． 15．（5分）（2013?湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）

如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则_________ ．

的值为

22

．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个

，

，

16．（2013?湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为

为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy

取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为

为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心

率为 _________ ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）（2013?湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积

，求sinBsinC的值．

18．（12分）（2013?湖北）已知等比数列{an}满足：|a2﹣a3|=10，a1a2a3=125． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m，使得

？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．

19．（12分）（2013?湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点． （Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足

．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，

异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．

20．（12分）（2013?湖北）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，50）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0． （Ⅰ）求p0的值；

2

（参考数据：若X～N（μ，?），有P（μ﹣?＜X≤μ+?）=0.6826，P（μ﹣2?＜X≤μ+2?）=0.9544，P（μ﹣3?＜X≤μ+3?）=0.9974．） （Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

21．（13分）（2013?湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记

，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．

2

（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值； （Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．

22．（14分）（2013?湖北）设n是正整数，r为正有理数．

r+1

（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；

（Ⅱ）证明：

（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如

的值．

；

．令

（参考数据：

．

列， 从而故． 综上，对任何正整数m，总有故不存在正整数m，使得． 成立． 点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用，还考查了一定的逻辑推理与运算的能力 19．（12分）（2013?湖北）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点． （Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足

．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，

异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．

考用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及点： 求法． 专空间位置关系与距离；空间角． 题： 分（I）直线l∥平面PAC．连接EF，利用三角形的中位线定理可得，EF∥AC；利用线面平行的判定定理即可得到析： ∥EF平面ABC．由线面平行的性质定理可得EF∥l．再利用线面平行的判定定理即可证明直线l∥平面PAC． （II）综合法：利用线面垂直的判定定理可证明l⊥平面PBC．连接BE，BF，因为BF?平面PBC，所以l⊥BC．故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β． 已知PC⊥平面ABC，可知CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．由BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，分别利用三个直角三角形的边角关系即可证明结论； 向量法：以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角． 解解：（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下： 答： 连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC， 又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC． 而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l． 因为l?平面PAC，EF?平面PAC，所以直线l∥平面PAC． （Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC． 因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC． 已知PC⊥平面ABC，而l?平面ABC，所以PC⊥l． 而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC． 连接BE，BF，因为BF?平面PBC，所以l⊥BF． 故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．

由，作DQ∥CP，且． 连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF， 从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD． 连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影， 故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ． 又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α， 于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得从而（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且． ． ， 连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD． 以点C为原点，向量CB=b，CP=2c，则有所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA=a，． 于是， ∴=，从而， 又取平面ABC的一个法向量为，可得， 设平面BEF的一个法向量为， 所以由可得． 于是，从而． 故，即sinθ=sinαsinβ． 点本题综合考查了线面平行的判定定理和性质定理、线面垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、评： 线面角、二面角、异面直线所成的角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角等基础知识与方法，

需要较强的空间想象能力、推理能力和计算能力． 20．（12分）（2013?湖北）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，50）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0． （Ⅰ）求p0的值；

2

（参考数据：若X～N（μ，?），有P（μ﹣?＜X≤μ+?）=0.6826，P（μ﹣2?＜X≤μ+2?）=0.9544，P（μ﹣3?＜X≤μ+3?）=0.9974．） （Ⅱ）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？ 考点： 简单线性规划；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题： 不等式的解法及应用；概率与统计． 2分析： （I）变量服从正态分布N（800，50），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2?，μ+2?）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0． （II）设每天应派出A型x辆、B型车y辆，根据条件列出不等式组，即得线性约束条件，列出目标函数，画出可行域求解． 2解答： 解：（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N（800，50），故有μ=800，?=50，P（700＜X≤900）=0.9544． 2

由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=（Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1600x+2400y． 依题意，x，y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p0． 由（Ⅰ）知，p0=P（X≤900），故P（X≤360x+60y）≥p0等价于36x+60y≥900． 于是问题等价于求满足约束条件 且使目标函数z=1600x+2400y达到最小值的x，y． 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P（5，12），Q（7，14），R（15，6）． 由图可知，当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时，直线z=1600x+2400y在y轴上截距z取得最小值． 故应配备A型车5辆，B型车12辆． 最小，即 点评： 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查简单线性规划．本题解题的关键是列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．

21．（13分）（2013?湖北）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记

，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．

（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值； （Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；点到直线的距离公式． 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM和△ABN的面积S1和S2，直接由面积比=λ列式求λ的值； （Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到解答： 解：以题意可设椭圆C1和C2的方程分别为 ，．其中a＞m＞n＞0， ，换元后利用非零的k值存在讨论λ的取值范围． ． （Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则 ， ， 所以． 在C1和C2的方程中分别令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=﹣m， 于是． 若，则，化简得λ﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得2． 故当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，则． （Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性， 不妨设直线l：y=kx（k＞0）， 点M（﹣a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1，d2，则

，所以d1=d2． 又，所以，即|BD|=λ|AB|． 由对称性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|， |AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是将l的方程分别与C1和C2的方程联立，可求得 根据对称性可知xC=﹣xB，xD=﹣xA，于是 ② 从而由①和②可得 ③ ． 令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得． 因为k≠0，所以k＞0．于是③关于k有解，当且仅当等价于即当当，由λ＞1，解得，由λ＞1，解得，所以 ， 2， 时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2； 时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．

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