高考数学微专题---外接球(教师版)

1

培优点十四 外接球

1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心

例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π

C ．24π

D ．32π

【答案】C

【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ．

2．补形法（补成长方体）

图2

图3

例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ．

【答案】9π

【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==．

3．依据垂直关系找球心

例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足

BA BC ==π

2

ABC ∠

=

，若该三棱锥体积的最大值为3，

则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32

π3

【答案】D

【解析】因为

ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是1

2r ==的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1

632ABC S =?=△，BD =11

6336

ABC V S h h ==?=△，

2 最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2

233R R =-+，解之得2R =， 所以外接球的体积是3

432ππ33R =，故答案为D ．

一、单选题

1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（ ）

A ．4π

B ．12π

C ．24π

D ．48π 【答案】B

【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()(22222235R =++，则：23R =，该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==?=．本题选择B 选项．

2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23面积为（ ）

A ．12π

B ．28π

C ．44π

D ．60π 【答案】B

【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：232r =2r =， 设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径2

22327R =+=， 对点增分集训

3 外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项．

3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接

球的表面积为（ ）

A ．32π

B ．27π

C ．18π

D ．9π

【答案】C

【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ， 则三棱锥D ABC -的外接球直径为

32AC

=，外接球的表面积为24π18πR =，故选C ．

4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ）

A ．2πa

B ．22πa

C ．23πa

D ．24πa

【答案】C

【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示：

该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对

4 角线，所以222323R a a a a

R a =++=?=，所以该几何体外接球面积22234π4π3πS R a a ??==?= ? ???，故选C ．

5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==，243AB CD ==，则球O 的表面积为（ ）

A ．16π

B ．32π

C ．60π

D ．64π

【答案】D

【解析】因为2BC BD ==，23CD =，所以()22222231cos 2222CBD +-∠=

=-??，2π3

CBD ∴∠=， 因此三角形BCD 外接圆半径为122sin CD CBD

=∠， 设外接球半径为R ，则222

=2+412162AB R ??=+= ???，2=4π64πS R ∴=，故选D ． 6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ，1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A ．9π16

B ．25π16

C ．49π16

D ．81π16

【答案】D

【解析】如图所示，连结11A C ，11B D ，交点为M ，连结SM ，

5

易知球心O 在直线SM 上，设球的半径R OS x ==，在1Rt OMB △中，由勾股定理有：22211OM B M B O +=，即：()

222222x x ??-+= ? ???，解得：98x =，则该球的表面积22

9814π4ππ816S R ??==?= ???．本题选择D 选项．

7．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12

R ，2AB AC ==，120BAC ∠=?，则球O 的表面积为（ ）

A ．16π9

B ．16π3

C ．64π9

D ．64π3

【答案】D

【解析】由余弦定理得：44222cos12023BC =+-???=，

设三角ABC 外接圆半径为r ，由正弦定理可得：

232r =，则2r =， 又22144R R =+，解得：2163R =，则球的表面积2644ππ3S R ==．本题选择D 选项． 8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，10若该正四棱锥的体积为503

，则此球的体积为（ ）

A ．18π

B ．86

C ．36π

D ．323π 【答案】C

【解析】

6

如图，设正方形ABCD 的中点为E ，正四棱锥P ABCD -的外接球心为O ， Q 底面正方形的边长为10，5EA

∴=，

Q 正四棱锥的体积为503，()21501033P ABCD V PE -∴=??=， 则5PE =，5OE R ∴=-，

在AOE △中由勾股定理可得：()2255R R -+=，解得3R =，34π36π3

V R ∴==球，故选C ． 9．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=?，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，

则该球的表面积是（ ）

A ．7π

B ．5π

C ．3π

D ．π

【答案】A

【解析】由题意得该三棱锥的面PCD 3BD ⊥平面PCD ， 设三棱锥P BDC -外接球的球心为O ， PCD △外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥面PCD ，∴四边形1OO DB 为直角梯形， 由3BD 11O D =，及OB OD =，得7OB =

7R = ∴该球的表面积274π4π7π4

S R ==?=．故选A ． 10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=?，3AB =，2CB DB ==，则此四面

7 体外接球的表面积为（ ）

A ．19

π2 B ．1938π C ．17π D ．1717π 【答案】A

【解析】

由题意，BCD △中，2CB DB ==，60CBD ∠=?，可知BCD △是等边三角形，3BF =， ∴BCD △的外接圆半径23r BE ==，3FE ∵60ABC ABD ∠=∠=?，可得7AD AC ==可得6AF =∴AF FB ⊥，∴AF BCD ⊥， ∴四面体A BCD -高为6AF =

设外接球R ，O 为球心，OE m =，可得：222r m R +=……①， )2226πEF R +=……②

由①②解得：19R =2194ππ2

S R ==．故选A ． 11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=?，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）

A ．7π2

B ．7π

C ．13π2

D ．13π3

【答案】B

【解析】BCD △中，1BD =，1CD =，120BDC ∠=?， 底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到3BC =321r r =?=， 见图示：

8

AD 是球的弦，3DA =，将底面的圆心M 平行于AD 竖直向上提起，提起到AD 的高度的一半，即为球心的位置O

，∴3OM =，在直角三角形OMD 中，应用勾股定理得到OD ，OD 即为球的半径．

∴球的半径3714OD =+=．该球的表面积为24π7πOD ?=；故选B ． 12．在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A ．4343π

B ．4343π

C ．43π2

D ．43π

【答案】D

【解析】分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接相应的线段CE ，ED ，EF ， 由条件，4AB CD ==，5BC AC AD BD ====，可知，ABC △与ADB △，都是等腰三角形，

AB ⊥平面ECD ，∴AB EF ⊥，同理CD EF ⊥，∴EF 是AB 与CD 的公垂线， 球心G 在EF 上，推导出AGB CGD △≌△，可以证明G 为EF 中点， 2594DE =-=，3DF =，1697EF =-=， ∴7GF =，球半径74394DG =+=，∴外接球的表面积为24π43πS DG =?=． 故选D ．

二、填空题

13．棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_________．【答案】84π

【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为161

23 2sin6023

r=?=?=

?

，

则外接球的半径()2

2

32391221

R=+=+=，

则外接球的表面积为2

4π4π2184π

S R

==?=．

14．已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为163，则该正四棱锥内切球的表面积为________．【答案】()

32163π

-

【解析】设正四棱锥的棱长为a，则2

3

4163

a

??

=

?

?

??

，解得4

a=．

于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN

△的内切圆，

其中4

MN=，23

PM PN

==22

PE=．

设内切圆的半径为r，由PFO PEN

?

△△，得

FO PO

EN PN

=，即

22

223

r r

-

=，

解得

22

62

31

r==

+

∴内切球的表面积为(2

2

4π4π6232163π

S r

===-．

15．已知三棱柱

111

ABC A B C

-的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积32

AB=，1

AC=，60

BAC

∠=?，则此球的表面积等于______．

【答案】8π

【解析】∵三棱柱

111

ABC A B C

-32

AB=，1

AC=，

9

10 60BAC ∠=?，1121sin 6032AA ∴

?????=，12AA ∴=， 2222cos60412BC AB AC AB AC =+-??=+-Q ，3BC ∴=， 设ABC △外接圆的半径为R ，则2sin 60BC R ?

＝，1R ∴=， ∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于()24π28π?=．故答案为8π．

16．在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为_____．

【答案】82π3

【解析】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，

设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-，AB BD ⊥，所以22AD AB DB =+积的最小值即为

AD 最小，()2

24AD x x =+-2x =时，AD 的最小值为222 故体积的最小值为82π3．

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