考研数学中的不等式证明

考研数学中的不等式证明

陈玉发

郑州职业技术学院基础教育处 450121

摘要：在研究生入学考试中，中值定理是一项必考的内容，几乎每年都有与中值定理相关的证明题．不等式的证明就是其中一项．在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可使一些不等式的证明简化． 关键词：考研数学 不等式 中值定理 幂级数

（作者简介：陈玉发，男，汉族，出生于1969年5月工作单位：郑州职业技术学院，副教授，硕士，从事数学教育研究．邮编：450121）

微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，在研究生入学考试中，几乎每年都会有与中值定理相关的证明题．不等式就是其中一项。下面就考研数学中的不等式证明谈一下中值定理的应用．

在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可以使一些不等式的证明过程得到简化．下面就历年考研数学中的不等式证明题谈一下．

例1 （1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）

(2)设b?a?e，证明a?b

xaba对此不等式的证明，一般我们会想到构造辅助函数， f(x)?a?x，f(a)?0，然后证明在x?a时，f?(x)?0．这个想法看似简单，而实际过程非常繁琐，有兴趣的读者可以试着证明一下．下面笔者给出几个简便的证明．

证：Ⅰ 利用拉格朗日中值定理：

ab?ba?b?alogab?b?alnb lnalnb?lna

lnalnb?lnalna ? ?b?aa1???ln ?lna，其中e?a???b

a ?b?a?a ?1??1lna，其中e?a???b． a原命题得证．

证：Ⅱ 利用微分中值定理，

ab??e?blna?alnb

blnb ?alnablnb?lna ??1?alnab1b??1?ln

alnaab1b??1?(ln?ln1)

alnaabln?ln1?a?lna（微分中值定理）

b?1a??1??lna，（1???b） a原命题得证．

证明Ⅲ 利用幂级数展开： 设b?a?x，原不等式等价于 aa?x?(a?x)a?aa?ax?(a?) xax ?a?(1?而

xa)， aln2a2a?1?lna?x?x?2!xlnnan?x?n!，

xxa?(a?1)x2a?(a?1)(a?n?1)xn(1?)a?1?a??()??()?．

aa2!an!aa?(a?1)(a?n?1)n由于x?0，a?e，所以lna?1，lna?．通过比较以上两个级数可知原na不等式成立．

对于不等式a?(1?)的证明仍可以利用拉格朗日中值定理证明，有兴趣的读者可以自己证一下．

例2 （1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）

xxaa设f??(x)?0，f(0)?0，证明对任何x1?0,x2?0，有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)． 证： 不妨设x1?x2，

f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)?f(x2)?f(x1)

?f(x1?x2)?f(x2)f(x1)?f(0)?

(x1?x2)?(x2)x1?0?f?(?1)?f?(?2)，x2??1?x1?x2，0??2?x1?x2，

显然?2??1，而f??(x)?0，所以f?(x)单调递减．原不等式得证． 例3 （1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题） 论证：当x?0时, (x?1)lnx?(x?1) ．

22(x2?1)lnx证：(x?1)lnx?(x?1)?(x?1)2?1

22(x?1)lnx?1

x?1(x?1)lnx?(1?1)ln1??1，（柯西中值定理） x?1??ln??(??1)??1，（?介于1与x之间）

1ln???0． 当??1时，上式显然成立；当0???1时，我们可以证明，?命题得证．

例4（2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第三题） (15) 设e?a?b?e2，证明lnb?lna?22224(b?a)． 2e4ln2b?ln2a4?2 证：lnb?lna?2(b?a)?e(b?a)e14?2ln??2，(e?a???b?e2)

?e?1?ln??22， 2e因为e?a???b?e，所以，

1?ln??eln?e2?2?2． e?ee所以，原不等式成立．

例5 （2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（17）题） 证明：当0?a?b??时， bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a． 证：令f(x)?xsinx?2cosx??x

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a

?f(b)?f(a)? 0 ?f(b)?f(a)?0

b?a?f?(?)??cos??sin????0，0?a???b??

令f?(x)?xcosx?sinx??，f?(?)?0，f??(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0，

0?a?x?b??，所以在(0,?)内，f?(x)单调减少，即f?(x)?0．

原命题得证．

例6（2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第(17)题 (1)比较

?10lnt[ln(1?t)]ndt与?tnlntdt的大小,说明理由。

01解：因为

lnt[ln(1?t)]ntnlnt[ln(1?t)]n?

tn ?[ln(1?t)nln(1?t)?ln(1?0)n]?[]（拉格朗日中值定理） tt?01n ?()?1，0???t?1，

?所以lnt[ln(1?t)]?tlnt。即

nn?10lnt[ln(1?t)]dt?n?t01nlntdt。

例7（2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（18）题）

1?xx2?cosx?1?，(?1?x?1)． 证明：xln1?x2证：原不等式等价于：

x2 x[ln(1?x)?ln(1?x)]?1?cosx?

2xx2?（仅当x?0时取等号） ?x[ln(1?x)?ln(1?x)]?2sin222?[ln(1?x)?ln(1?x)]1?（当x?0时） 2xxx2sin2?2211?1??1??1??，（柯西中值定理，其中0???x?1），

sin???x?21?，0???x?1 2(sin???)(1??)x2因为(sin???)(1??)?2??2x，所以不等式成立． 利用同样的方法可以证明当?1?x?0时，不等式成立． 综上所述，原不等式成立．

例8 证明：当x?0时，x?e?1?xe． 证：当x?0时，

xxex?1xx?e?1?xe?1??e

xxxex?e0?1??ex，（利用柯西中值定理）

x?0?1?e??ex，其中0???x．

原不等式成立． 例9 证明：当0?x??2时，sinx?tanx?2x．

证明：sinx?tanx?2x?sinx?tanx?2

x ?sinx?tanx?(sin0?tan0)?2

x?0cos??sec2??2（柯西中值定理） ?1 ?cos??sec??2， 因为 cos??sec2??2cos??sec2??2所以，原不等式成立．

中值定理是证明不等式时常用的一个非常有效的工具．我们习惯于构造辅助函数，利用单调性来证明不等式．而函数的单调性还是通过拉格朗日中值定理进行证明的．因此，利用单调性证明不等式的基础还是微分中值定理．以上几例体现了中值定理在证明不等式时的效果．

21?2， cos?

?sinx?tanx?(sin0?tan0)?2

x?0cos??sec2??2（柯西中值定理） ?1 ?cos??sec??2， 因为 cos??sec2??2cos??sec2??2所以，原不等式成立．

中值定理是证明不等式时常用的一个非常有效的工具．我们习惯于构造辅助函数，利用单调性来证明不等式．而函数的单调性还是通过拉格朗日中值定理进行证明的．因此，利用单调性证明不等式的基础还是微分中值定理．以上几例体现了中值定理在证明不等式时的效果．

21?2， cos?

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