广东省2012届高三全真模拟卷数学理15
更新时间:2023-05-03 17:01:01 阅读量:3 实用文档 文档下载
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.. .. .. ..
. 学习参考 . 广东省2012届高三全真模拟卷数学理科15
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若将复数i i
-+11表示为a + bi (a ,b ∈R ,i 是虚数单位)的形式,则a + b=
A .0
B .1
C .-1
D .2 2.已知p :14x +≤,q :256x x <-,则p 是q 成立的
A .必要不充分条件
B .充分不必要条件
C .充要条件
D .既不充分又不必要条件
3.已知{}n a 是等差数列,154=a ,555=S ,则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率
A .4
B .41
C .-4
D .-14 4.已知()x f x a b =+的图象如图所示,则()3f =
A
.2 B
3-
C
.3 D
.3-
或3-
5.已知直线、m ,平面βα、,则下列命题中假命题是
A .若βα//,α?l ,则β//l
B .若βα//,α⊥l ,则β⊥l
C .若α//l ,α?m ,则m l //
D .若βα⊥,l =?βα,α?m ,l m ⊥,则β⊥m
6.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,
若其中小张和小赵只能从事前两项工
.. .. .. ..
. 学习参考 . 作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有
A.36种 B .12种 C .18种 D .48种
7.设向量a 与b 的夹角为θ,定义a 与b 的“向量积”:a b ?是一个向量,它的模sin a b a b θ?=??,若()()3,1,1,3a b =--=,则
a b ?=
A
B .2
C .
D .4
8.已知函数:
c bx x x f ++=2)(,其中:40,40≤≤≤≤c b ,记函数)(x f 满足条件:(2)12(2)4f f ≤??-≤?为事件为A ,则事件A 发生的概率为
A . 14
B . 58
C .38
D .1
2
二、填空题:本大题共7小题,其中9~13题是必做题,14~15题是选做题,每小题5分,满分30分.
9.52)1)(1(x x -+展开式中x3的系数为_________.
10.两曲线
x x y y x 2,02-==-所围成的图形的面积是_________. 11.以点)5,0(A 为圆心、双曲线19162
2=-y x 的渐近线为切线的圆的标准方程是
_________.
12.已知函数)8(,)0)(3()0(2)(-???≤+>=f x x f x x
f x 则=_________.
13
.
已知
===
,…若=,(,a t 均为正实数),则类比以上等式,可推测,a t 的值,a t += .
▲选做题:在下面两道小题中选做一题,两题都选的只计算前两题的得分.
.. .. .. ..
. 学习参考 . 14.(坐标系与参数方程选做题)若直线112,:()2.x t l t y kt =-??=+?为参数与直线
2,:12.x s l y s =??=-?(s 为参数)垂直,则k = .
15.(几何证明选讲选做题)点,,A B C 是圆O 上的点, 且04,45AB ACB =∠=,则圆O
的面积等于_____.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
16.(本小题满分12分)已知向量)3,cos 2(2x a =→-,)2sin ,1(x b =→
-,函数()f x a b =?,2)(→-=b x g .
(Ⅰ)求函数)(x g 的最小正周期;
(Ⅱ)在?ABC 中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且3)(=C f ,1=c ,32=ab ,且b a >,求b a ,的值.
17.(本小题满分12分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该
流水线上40件产品作为样本,称出它们的重量(单位:克),重
量的分组区间为(]495,490,(]500,495,…,(]515,510,由此得
到样本的频率分布直方图,如右图所示.
(1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量.
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y 为重量超过505
克的产品数量,求Y 的分布列.
.. ..
.. ..
. 学习参考 . (3)从流水线上任取5件产品,求恰有2件产品的重量超过
505克的概率.
18.(本小题满分14分)
如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,
2,CA CB CD BD AB AD ======
(1) 求证:AO ⊥平面BCD ;
(2) 求异面直线AB 与CD 所成角余弦的大小;
(3) 求点E 到平面ACD 的距离.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆2
221(01)y x b b +=<<的左焦点为F ,左右顶点分别为A,C 上顶点为B ,过F,B,C 三点作P ,其中圆心P 的坐标为(,)m n .(1) 若椭圆的离心率
e =,求P 的方程; (2)若
P 的圆心在直线0x y +=上,求椭圆的方程. 20.(本小题满分14分)
已知向量
2(3,1),(,)a x b x y =-=-,(其中实数y 和x 不同时为零),当||2x <时,有a b ⊥,当||2x ≥时,//a b .
(1) 求函数式()y f x =;(2)求函数()f x 的单调递减区间;
.. .. .. ..
. 学习参考 . (3)若对(,2]x ?∈-∞-[2,)+∞,都有230mx x m +-≥,求实数m 的取值范围.
21.(本小题满分14分)
设数列{n a }的前n 项和为n S ,并且满足
n a S n n +=22,0>n a (n ∈N*). (Ⅰ)求1a ,2a ,3a ;(Ⅱ)猜想{n a }的通项公式,并加以证明;
(Ⅲ)设0>x ,0>y ,且1=+y x ,
证明:11+++y a x a n n ≤)2(2+n .
参考答案
一.选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分50分.
1.B 2.A 3.A 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D
1.选B.提示:1,0,11==∴=-+b a i i i .
2.选A.提示:[]()3,2:,3,5:q p -.
3.选A.提示:4111534,11,55534335=-=--==∴==a a k a a S .
4.选C.提示:3,3,2)0(,0)2(-==-==b a f f 得根据.
5.选C.提示:l 与m 可能异面.
6.选A.提示:362323=?A A .
7.选B.提示
21sin ,23432cos ,2=-=-=θθ.
.. .. .. ..
. 学习参考 . 8.选D.提示:
21444421=???=P . 二.填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共7小题,其中9~13题是必做题,14~15题是选做题.每小题5分,满分30分.其中第11题中的第一个空为2分,第二个空为3分.
9.15- 10.29
11.
16)5(22=-+y x 12.2 13.41 14.1- 15.8π
9.15-.提示:31535)(x C C --. 10.29.提示:
29)2(S 302?=--=dx x x x 面积. 11.
16)5(22=-+y x . 提示:根据圆心到直线的距离等于半径求出r=4
12.2提示:2)1()2()5()8(==-=-=-f f f f .
13.41 .提示:
351,62=-==a t a . 14.1-.提示:化为普通方程求解.
15.8π.提示:
22,90,OA 0===∴=∠OB OA r BOA OB ,连接. 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程.
16.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)221cos 413()1sin 21cos 4222x g x b x x -==+=+
=-+ …………2分
.. .. .. .. . 学习参考 . ∴函数)(x g 的最小周期242ππ==T ……………4分
(Ⅱ)
()f x a b =
?2(2cos (1,sin 2)x x =?
22cos 2x x =
cos 212x x =+
2sin(2)16x π=++ ……………6分
31)62sin(2)(=++=π
C C f ∴1)62sin(=+π
C ………………7分
C 是三角形内角, ∴)613,6(62πππ∈+C , ∴262ππ=+C
即:6π=
C …………8分
∴
232cos 222=-+=ab c a b C 即:72
2=+b a …………………10分 将32=ab 可得:
71222=+a a 解之得:432或=a , ∴23或=a
所以当a =,2b =;
当2a =
,b =,
b a > ∴2=a ,3=b . …………12分
17.(本小题满分12分)
解:(1)根据频率分步直方图可知,重量超过505克的产品数量为
[(0.010.05)5]4012+??=(件).………… 4分
(2)Y 的可能取值为0,1,2. ………… 5分
.. .. .. ..
. 学习参考 . 22824063(0)130C P Y C ===.11281224056(1)130C C P Y C ===.
21224011(2)130C P Y C ===.………… 8分
Y 的分布列
为 ………… 9分
(3)利用样本估计总体,该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3. 令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量,
则(5,0.3)B ξ,故所求概率为:
2235(2)(0.3)(0.7)0.3087
P C ξ===.………… 12分 18.(本小题满分14分)
解:(1) 证明:连结OC ,
,,BO DO AB AD ==
AO BD ∴⊥ ………… 1分
.. .. .. .. . 学习参考 . ,BO DO BC CD ==,CO BD ⊥. ……… 2分
在AOC ?中,
由已知可得1,AO CO == …………3分
而2AC =, ∴222,AO CO AC += ……… 4分
∴90,o AOC ∠=即.AO OC ⊥ ………………… 5分
,BD OC O = ∴AO ⊥平面BCD . …………… 6分
(2) 解:以O 为原点,如图建立空间直角坐标系,
则(1,0,0),(1,0,0),B D -
1(0,0,1),(2C A E
(1,0,1),(1,BA CD =-=- ∴2cos ,BA CD BA CD BA CD ?<>==?,……………
9分
∴ 异面直线AB 与CD .…… 10分
(3) 解:
设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =则
(,,)(1,0,1)0(,,)1)0n AD x y z n AC x y z ??=?-
-=???=?-=??,∴ 0
0x z z +=
??-
=,
令1,y =得(
3,1,n =-是平面ACD 的一个法向量. 又1(2EC =-
∴点E 到平面ACD 的距离
37EC n
h n ?===.……… 14分
.. .. .. ..
. 学习参考 . (3) (法二)解:设点E 到平面ACD 的距离为h .
E ACD A CDE V V --=, ∴1133ACD CDE h S AO S ???=?? …………………………12分
在ACD ?中
,2,CA CD AD ===,
∴12ACD S ?==,
而1AO =
,2122CDE S ?==.
∴CDE ACD AO S h S ???==
=,
∴点E 到平面ACD
…………… 14分
19.(本小题满分14分)
解:(1)
当e =时,
∵1a =
,∴c = ∴2223
1144b a c =-=-=,b =1
2, 点1(0,)2B
,(F ,(1,0)C …………………… 2分
设P 的方程为222()()x m y n r -+-=,
.. .. .. .. . 学习参考 .
由P 过点F,B,C 得∴222
1()2m n r +-= ①
222
(m n r ++= ②
222(1)m n r -+= ③ …………………… 5分
由①②③联立解得:
m =
n =,25
4r = (7)
∴所求的P 的方程为
225
((4x y +=………………… 8分
(2)∵P 过点F,B,C 三点,
∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上,
也在BC 的垂直平分线上,
FC 的垂直平分线方程为12c
x -= ④ ………… 9分
∵BC 的中点为1
(,)22b
,BC k b =-
∴BC 的垂直平分线方程为11
()22b
y x b -=- ⑤ ……… 10分
由④⑤得21,22c b c
x y b --==, 即2
1,22c b c
m n b --== …………………… 11分
.. .. .. .. . 学习参考 . ∵ P (,)m n 在直线0x y +=上, ∴2
1022c b c
b --+=?(1)()0b b
c +-=
∵ 10b +>
∴b c =,由221b c =- 得21
2b = …………………… 13分
∴ 椭圆的方程为2221x y += …………………… 14分
20.(本小题满分14分)
解:(1)当||2x <时,由a b ⊥
得2(3)0a b x x y ?=--=,
33y x x =-;(||2x <且0x ≠)------------------------------------2分 当||2x ≥时,由//a b . 得23x
y x =-- --------------------------------------4分
∴ 323,(22
0)
().(22)3x x x x y f x x
x x x ?--<<≠?==?≥≤-?-?且或---------------------5分
(2)当||2x <且0x ≠时,
由2'33y x =-<0,
解得(1,0)(0,1)x ∈-,----------------6分
.. .. .. .. . 学习参考 . 当||2x ≥时,
22
2222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>-- ------------------------------8分 ∴函数()f x 的单调减区间为(-1,0)和(0,1) -------------9分
(3)对(,2]x ?∈-∞-[2,)+∞,
都有230mx x m +-≥
即2(3)m x x -≥-, 也就是23x
m x ≥-
对(,2]x ?∈-∞-[2,)+∞恒成立,----------------------------------11分 由(2)知当||2x ≥时,
22
2222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>--
∴ 函数()f x 在(,2]-∞-和[2,+)∞都单调递增----------------------12分 又2
(2)234f --==-,2
(2)234f ==--
当2x ≤-时
2()03x
f x x =>-,
∴当(,2]x ∈-∞-时,
0()2f x <≤
同理可得,当2x ≥时,
有2()0f x -≤<,
.. .. .. .. . 学习参考 . 综上所述得,
对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞,
()f x 取得最大值2;
∴ 实数m 的取值范围为2m ≥.----------------------14分
21.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)分别令1=n ,2,3,得?????+=+++=++=3)(22
)(21
22
33212
2212
11a a a a a a a a a
∵0>n a ,
∴11=a ,22=a ,33=a …………………3分
(Ⅱ)证法一:
猜想:n a n =, ……………………4分
由 n a S n n +=2
2 ①
可知,当n ≥2时,
)1(22
11-+=--n a S n n ②
①-②,得 122
12
+-=-n n n a a a ,
即122
12
-+=-n n n a a a . ………………6分
1)当2=n 时,
112222
2-+=a a ,
.. .. .. .. . 学习参考 . ∵02>a ,
∴22=a ; ……………7分
2)假设当k n =(k ≥2)时,k a k =.
那么当1+=k n 时,
122121-+=++k k k a a a 122
1-+=+k a k
0)]1()][1([11=-++-?++k a k a k k ,
∵01>+k a ,k ≥2,
∴0)1(1>-++k a k ,
∴11+=+k a k .
这就是说,当1+=k n 时也成立,
∴n a n =(n ≥2).
显然1=n 时,也适合.
故对于n ∈N*,均有n a n =. ……………………9分
证法二:猜想:n a n =, ……………………………4分
1)当1=n 时,11=a 成立; ……………………………5分
2)假设当k n =时,k a k =. …………………………6分
那么当1+=k n 时,122
11++=++k a S k k .
∴1)(22
11++=+++k a S a k k k ,
∴)1(2212
1+-+=++k S a a k k k
)1()(22
1+-++=+k k k a k
.. .. .. .. . 学习参考 . )1(221-+=+k a k
(以下同证法一) ………………9分
(Ⅲ)证法一:要证11+++ny nx ≤)2(2+n , 只要证1)1)(1(21++++++ny ny nx nx ≤)2(2+n ,…………10分
即+++2)(y x n 1)(22+++y x n xy n ≤)2(2+n ,…………11分 将1=+y x 代入,得122++n xy n ≤2+n ,
即要证)1(42++n xy n ≤2)2(+n ,
即xy 4≤1. …………………………12分
∵0>x ,0>y ,且1=+y x , ∴xy ≤21
2=+y x ,
即xy ≤41
,故xy 4≤1成立,
所以原不等式成立. ………………………14分
证法二:∵0>x ,0>y ,且1=+y x ,
∴121+?+n
nx ≤21
21+++n
nx ①
当且仅当21
=x 时取“=”号. ………………………11分 ∴121+?+n ny ≤21
21+++n
ny ②
.. .. .. .. . 学习参考 . 当且仅当21
=y 时取“=”号. ……………………12分
①+②,
得(++1nx 1+ny )12+n ≤24)
(n
y x n +++2+=n , 当且仅当21
==y x 时取“=”号. ………………………13分 ∴11+++ny nx ≤)2(2+n . ……………………14分
证法三:可先证b a +≤)(2b a +. ……………………10分
∵ab b a b a 2)(2++=+,
b a b a 22))(2(2+=+,
b a +≥ab 2,……………………………11分
∴b a 22+≥ab b a 2++, ∴)(2b a +≥b a +,
当且仅当b a =时取等号. ………………12分
令1+=nx a ,1+=ny b ,
即得:11+++ny nx ≤)11(2+++ny nx )2(2+=n ,
当且仅当1+nx 1+=ny 即21
==y x 时取等号. ………………………14分
.. .. .. .. . 学习参考.
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