广东省2012届高三全真模拟卷数学理15

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. 学习参考 . 广东省2012届高三全真模拟卷数学理科15

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若将复数i i

-+11表示为a + bi （a ，b ∈R ，i 是虚数单位）的形式，则a + b=

A ．0

B ．1

C ．－1

D ．2 2．已知p ：14x +≤，q ：256x x <-，则p 是q 成立的

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

3．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率

A ．4

B ．41

C ．－4

D ．－14 4．已知()x f x a b =+的图象如图所示，则()3f =

A

．2 B

3-

C

．3 D

．3-

或3-

5．已知直线、m ,平面βα、，则下列命题中假命题是

A ．若βα//，α?l ,则β//l

B ．若βα//，α⊥l ,则β⊥l

C ．若α//l ，α?m ,则m l //

D ．若βα⊥，l =?βα,α?m ,l m ⊥,则β⊥m

6．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，

若其中小张和小赵只能从事前两项工

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. 学习参考 . 作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

Ａ．36种 B ．12种 C ．18种 D ．48种

7．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ?是一个向量，它的模sin a b a b θ?=??，若()()3,1,1,3a b =--=，则

a b ?=

A

B ．2

C ．

D ．4

8．已知函数：

c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：(2)12(2)4f f ≤??-≤?为事件为A ，则事件A 发生的概率为

A ． 14

B ． 58

C ．38

D ．1

2

二、填空题：本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～15题是选做题，每小题5分，满分30分．

9．52)1)(1(x x -+展开式中x3的系数为_________．

10．两曲线

x x y y x 2,02-==-所围成的图形的面积是_________． 11．以点)5,0(A 为圆心、双曲线19162

2=-y x 的渐近线为切线的圆的标准方程是

_________．

12．已知函数)8(,)0)(3()0(2)(-???≤+>=f x x f x x

f x 则=_________．

13

．

已知

===

，…若=，（,a t 均为正实数），则类比以上等式，可推测,a t 的值，a t += ．

▲选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选的只计算前两题的得分．

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. 学习参考 . 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-??=+?为参数与直线

2,:12.x s l y s =??=-?（s 为参数）垂直，则k = ．

15．(几何证明选讲选做题）点,,A B C 是圆O 上的点， 且04,45AB ACB =∠=，则圆O

的面积等于_____．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．

16．（本小题满分12分）已知向量)3,cos 2(2x a =→-，)2sin ,1(x b =→

-，函数()f x a b =?，2)(→-=b x g ．

（Ⅰ）求函数)(x g 的最小正周期；

（Ⅱ）在?ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3)(=C f ，1=c ，32=ab ，且b a >，求b a ,的值．

17．（本小题满分12分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该

流水线上40件产品作为样本，称出它们的重量（单位：克），重

量的分组区间为(]495,490，(]500,495，…，(]515,510，由此得

到样本的频率分布直方图，如右图所示．

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505

克的产品数量，求Y 的分布列．

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. 学习参考 . （3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过

505克的概率．

18．（本小题满分14分）

如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

2,CA CB CD BD AB AD ======

(1) 求证：AO ⊥平面BCD ；

(2) 求异面直线AB 与CD 所成角余弦的大小；

(3) 求点E 到平面ACD 的距离．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆2

221(01)y x b b +=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 若椭圆的离心率

e =，求P 的方程； （2）若

P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程． 20．（本小题满分14分）

已知向量

2(3,1),(,)a x b x y =-=-，（其中实数y 和x 不同时为零），当||2x <时，有a b ⊥，当||2x ≥时，//a b ．

(1) 求函数式()y f x =；（2）求函数()f x 的单调递减区间；

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. 学习参考 . （3）若对(,2]x ?∈-∞-[2,)+∞，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．

21．（本小题满分14分）

设数列{n a }的前n 项和为n S ，并且满足

n a S n n +=22，0>n a （n ∈N*）. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{n a }的通项公式，并加以证明；

（Ⅲ）设0>x ，0>y ，且1=+y x ，

证明：11+++y a x a n n ≤)2(2+n .

参考答案

一.选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分50分．

1．B 2．A 3．A 4．C 5．C 6．A 7．B 8．D

1.选B.提示：1,0,11==∴=-+b a i i i .

2.选A.提示：[]()3,2:,3,5:q p -.

3.选A.提示：4111534,11,55534335=-=--==∴==a a k a a S .

4.选C.提示：3,3,2)0(,0)2(-==-==b a f f 得根据.

5.选C.提示：l 与m 可能异面.

6.选A.提示：362323=?A A .

7.选B.提示

21sin ,23432cos ,2=-=-=θθ.

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. 学习参考 . 8.选D.提示：

21444421=???=P . 二.填空题：本大题考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，其中9～13题是必做题，14～15题是选做题．每小题5分，满分30分．其中第11题中的第一个空为2分，第二个空为3分．

9．15- 10．29

11．

16)5(22=-+y x 12．2 13．41 14．1- 15．8π

9.15-.提示：31535)(x C C --. 10.29.提示：

29)2(S 302?=--=dx x x x 面积. 11.

16)5(22=-+y x . 提示：根据圆心到直线的距离等于半径求出r=4

12.2提示：2)1()2()5()8(==-=-=-f f f f .

13.41 .提示：

351,62=-==a t a . 14.1-.提示：化为普通方程求解.

15.8π.提示：

22,90,OA 0===∴=∠OB OA r BOA OB ，连接. 三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程．

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）221cos 413()1sin 21cos 4222x g x b x x -==+=+

=-+ …………2分

.. .. .. .. . 学习参考 . ∴函数)(x g 的最小周期242ππ==T ……………4分

（Ⅱ）

()f x a b =

?2(2cos (1,sin 2)x x =?

22cos 2x x =

cos 212x x =+

2sin(2)16x π=++ ……………6分

31)62sin(2)(=++=π

C C f ∴1)62sin(=+π

C ………………7分

C 是三角形内角， ∴)613,6(62πππ∈+C ， ∴262ππ=+C

即：6π=

C …………8分

∴

232cos 222=-+=ab c a b C 即：72

2=+b a …………………10分 将32=ab 可得：

71222=+a a 解之得：432或=a ， ∴23或=a

所以当a =，2b =；

当2a =

，b =，

b a > ∴2=a ，3=b ． …………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）根据频率分步直方图可知，重量超过505克的产品数量为

[(0.010.05)5]4012+??=（件）．………… 4分

（2）Y 的可能取值为0，1，2． ………… 5分

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. 学习参考 . 22824063(0)130C P Y C ===．11281224056(1)130C C P Y C ===．

21224011(2)130C P Y C ===．………… 8分

Y 的分布列

为 ………… 9分

（3）利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0．3． 令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，

则(5,0.3)B ξ，故所求概率为：

2235(2)(0.3)(0.7)0.3087

P C ξ===．………… 12分 18．（本小题满分14分）

解：(1) 证明：连结OC ，

,,BO DO AB AD ==

AO BD ∴⊥ ………… 1分

.. .. .. .. . 学习参考 . ,BO DO BC CD ==，CO BD ⊥． ……… 2分

在AOC ?中，

由已知可得1,AO CO == …………3分

而2AC =， ∴222,AO CO AC += ……… 4分

∴90,o AOC ∠=即.AO OC ⊥ ………………… 5分

,BD OC O = ∴AO ⊥平面BCD ． …………… 6分

(2) 解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，

则(1,0,0),(1,0,0),B D -

1(0,0,1),(2C A E

(1,0,1),(1,BA CD =-=- ∴2cos ,BA CD BA CD BA CD ?<>==?，……………

9分

∴ 异面直线AB 与CD ．…… 10分

(3) 解：

设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =则

(,,)(1,0,1)0(,,)1)0n AD x y z n AC x y z ??=?-

-=???=?-=??，∴ 0

0x z z +=

??-

=，

令1,y =得(

3,1,n =-是平面ACD 的一个法向量． 又1(2EC =-

∴点E 到平面ACD 的距离

37EC n

h n ?===．……… 14分

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. 学习参考 . (3) （法二）解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．

E ACD A CDE V V --=， ∴1133ACD CDE h S AO S ???=?? …………………………12分

在ACD ?中

，2,CA CD AD ===,

∴12ACD S ?==,

而1AO =

，2122CDE S ?==．

∴CDE ACD AO S h S ???==

=，

∴点E 到平面ACD

…………… 14分

19．（本小题满分14分）

解：（1）

当e =时，

∵1a =

，∴c = ∴2223

1144b a c =-=-=，b =1

2， 点1(0,)2B

,(F ，(1,0)C …………………… 2分

设P 的方程为222()()x m y n r -+-=，

.. .. .. .. . 学习参考 .

由P 过点F,B,C 得∴222

1()2m n r +-= ①

222

(m n r ++= ②

222(1)m n r -+= ③ …………………… 5分

由①②③联立解得：

m =

n =，25

4r = (7)

∴所求的P 的方程为

225

((4x y +=………………… 8分

（2）∵P 过点F,B,C 三点，

∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，

也在BC 的垂直平分线上，

FC 的垂直平分线方程为12c

x -= ④ ………… 9分

∵BC 的中点为1

(,)22b

，BC k b =-

∴BC 的垂直平分线方程为11

()22b

y x b -=- ⑤ ……… 10分

由④⑤得21,22c b c

x y b --==， 即2

1,22c b c

m n b --== …………………… 11分

.. .. .. .. . 学习参考 . ∵ P (,)m n 在直线0x y +=上， ∴2

1022c b c

b --+=?(1)()0b b

c +-=

∵ 10b +>

∴b c =，由221b c =- 得21

2b = …………………… 13分

∴ 椭圆的方程为2221x y += …………………… 14分

20．（本小题满分14分）

解：（1）当||2x <时，由a b ⊥

得2(3)0a b x x y ?=--=，

33y x x =-；（||2x <且0x ≠）------------------------------------2分 当||2x ≥时，由//a b . 得23x

y x =-- --------------------------------------4分

∴ 323,(22

0)

().(22)3x x x x y f x x

x x x ?--<<≠?==?≥≤-?-?且或---------------------5分

（2）当||2x <且0x ≠时，

由2'33y x =-<0,

解得(1,0)(0,1)x ∈-，----------------6分

.. .. .. .. . 学习参考 . 当||2x ≥时，

22

2222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>-- ------------------------------8分 ∴函数()f x 的单调减区间为（－1，０）和（０，1） -------------9分

（3）对(,2]x ?∈-∞-[2,)+∞，

都有230mx x m +-≥

即2(3)m x x -≥-， 也就是23x

m x ≥-

对(,2]x ?∈-∞-[2,)+∞恒成立，----------------------------------11分 由（2）知当||2x ≥时，

22

2222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>--

∴ 函数()f x 在(,2]-∞-和[2,+)∞都单调递增----------------------12分 又2

(2)234f --==-，2

(2)234f ==--

当2x ≤-时

2()03x

f x x =>-，

∴当(,2]x ∈-∞-时，

0()2f x <≤

同理可得，当2x ≥时，

有2()0f x -≤<，

.. .. .. .. . 学习参考 . 综上所述得，

对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞，

()f x 取得最大值2；

∴ 实数m 的取值范围为2m ≥.----------------------14分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）分别令1=n ，2，3，得?????+=+++=++=3)(22

)(21

22

33212

2212

11a a a a a a a a a

∵0>n a ，

∴11=a ，22=a ，33=a …………………3分

（Ⅱ）证法一：

猜想：n a n =， ……………………4分

由 n a S n n +=2

2 ①

可知，当n ≥2时，

)1(22

11-+=--n a S n n ②

①－②，得 122

12

+-=-n n n a a a ，

即122

12

-+=-n n n a a a . ………………6分

1）当2=n 时，

112222

2-+=a a ，

.. .. .. .. . 学习参考 . ∵02>a ，

∴22=a ； ……………7分

2）假设当k n =（k ≥2）时，k a k =.

那么当1+=k n 时，

122121-+=++k k k a a a 122

1-+=+k a k

0)]1()][1([11=-++-?++k a k a k k ，

∵01>+k a ，k ≥2，

∴0)1(1>-++k a k ，

∴11+=+k a k .

这就是说，当1+=k n 时也成立，

∴n a n =（n ≥2）.

显然1=n 时，也适合.

故对于n ∈N*，均有n a n =. ……………………9分

证法二：猜想：n a n =， ……………………………4分

1）当1=n 时，11=a 成立； ……………………………5分

2）假设当k n =时，k a k =. …………………………6分

那么当1+=k n 时，122

11++=++k a S k k .

∴1)(22

11++=+++k a S a k k k ，

∴)1(2212

1+-+=++k S a a k k k

)1()(22

1+-++=+k k k a k

.. .. .. .. . 学习参考 . )1(221-+=+k a k

（以下同证法一） ………………9分

（Ⅲ）证法一：要证11+++ny nx ≤)2(2+n ， 只要证1)1)(1(21++++++ny ny nx nx ≤)2(2+n ，…………10分

即+++2)(y x n 1)(22+++y x n xy n ≤)2(2+n ，…………11分 将1=+y x 代入，得122++n xy n ≤2+n ，

即要证)1(42++n xy n ≤2)2(+n ，

即xy 4≤1. …………………………12分

∵0>x ，0>y ，且1=+y x ， ∴xy ≤21

2=+y x ,

即xy ≤41

，故xy 4≤1成立，

所以原不等式成立. ………………………14分

证法二：∵0>x ，0>y ，且1=+y x ，

∴121+?+n

nx ≤21

21+++n

nx ①

当且仅当21

=x 时取“=”号. ………………………11分 ∴121+?+n ny ≤21

21+++n

ny ②

.. .. .. .. . 学习参考 . 当且仅当21

=y 时取“=”号. ……………………12分

①+②，

得（++1nx 1+ny ）12+n ≤24)

(n

y x n +++2+=n ， 当且仅当21

==y x 时取“=”号. ………………………13分 ∴11+++ny nx ≤)2(2+n . ……………………14分

证法三：可先证b a +≤)(2b a +. ……………………10分

∵ab b a b a 2)(2++=+，

b a b a 22))(2(2+=+，

b a +≥ab 2，……………………………11分

∴b a 22+≥ab b a 2++， ∴)(2b a +≥b a +，

当且仅当b a =时取等号. ………………12分

令1+=nx a ，1+=ny b ，

即得：11+++ny nx ≤)11(2+++ny nx )2(2+=n ，

当且仅当1+nx 1+=ny 即21

==y x 时取等号. ………………………14分

.. .. .. .. . 学习参考.

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