2013上海高考数学理科试题

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环球天下教育旗下品牌网站美国纽交所上市公司 2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理）

一、填空题：本大题共14小题，每小题4分，满分56分. 1．计算：limn?20?______

n??3n?132．设m?R，m2?m?2?(m2?1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m?________ 3．若

x2?1y21?xxy?y，则x?y?______

4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若3a?2ab?3b?3c?0，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）

222a??75．设常数a?R，若?x2??的二项展开式中x项的系数为?10，则a?______

x??6．方程

531??3x?1的实数解为________ x3?137．在极坐标系中，曲线??cos??1与?cos??1的公共点到极点的距离为__________ 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 9．设AB是椭圆?的长轴，点C在?上，且?CBA?两个焦点之间的距离为________ 10．设非零常数d是等差数列x1,x2,x3,?4，若AB=4，BC?2，则?的

,x19的公差，随机变量?等可能地取值

x1,x2,x3,，则方差D??_______ ,x1911．若cosxcosy?sinxsiny?12,sin2x?sin2y?，则sin(x?y)?________ 23a2?7，12．设a为实常数，y?f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?9x?x若f(x)?a?1对一切x?0成立，则a的取值范围为________

13．在xOy平面上，将两个半圆弧(x?1)?y?1(x?1)和(x?3)?y?1(x?3)、两条

直线y?1 和y??1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周

1 2222环球网校——中国职业教育领导者品牌

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环球天下教育旗下品牌网站美国纽交所上市公司而成的几何体为?，过(0,y)(y|?|作1?的水平截面，所得截面面积为

4?1?y2?8?，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出?的体积值

为__________

I}14．对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)?{y|y?g(x),x?，已知定义域为[0,3]的

函数y?f(x)有反函数y?f?1(x)，且f?1([0,1))?[1,2),f?1((2,4])?[0,1)，若方程

f(x)?x?0有解x0，则x0?_____

一、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

15．设常数a?R，集合A?{x|(x?1)(x?a)?0},B?{x|x?a?1}，若A?B?R，则

a的取值范围为（）

(A) (??,2)

(B) (??,2]

(D) [2,??)

16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（） (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 17．在数列{an}中，an?2n?1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素

,17;,2,112,j?（i?2ai,j?ai?aj?ai?aj，

）则该矩阵元素能取到的不同数值

的个数为（）

(A)18 (B)28 (C)48 (D)63

18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为

以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d1,d2,d3,d4,d5.若m,Ma1,a2,a3,a4,a5；

分别为(ai?aj?a的d最小值、最大值，其中)k?(dr?ds?t{i,j,k}?{1,2,3,4,5},{r,s,t}?{1,2,3,4,5},则m,M满足（）.

(A) m?0,M?0

(B) m?0,M?0

(D)

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环球天下教育旗下品牌网站美国纽交所上市公司 m?0,M?0

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线

BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.

DAD1BCC1B1

A1 20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1?x?10），每小时可获得利润是100(5x?1?)元.

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

21．（6分+8分）已知函数f(x)?2sin(?x)，其中常数??0；（1）若y?f(x)在[?3x?2?4,3]上单调递增，求?的取值范围；

（2）令??2，将函数y?f(x)的图像向左平移

?个单位，再向上平移1个单位，得6到函数y?g(x)的图像，区间[a,b]（a,b?R且a?b）满足：y?g(x)在[a,b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a,b]中，求b?a的最小值．

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x2?y2?1，曲线C2:|y|?|x|?1，P是平面上22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线C1:2一点，若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点，则称P为“C1—C2型点”． (1)在正确证明C1的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

(2)设直线y?kx与C2有公共点，求证|k|?1，进而证明原点不是“C1—C2型点”； (3)求证：圆x?y?221内的点都不是“C1—C2型点”． 2

|23．（3 分+6分+9分）给定常数c?0，定义函数f(x)?2|x?c?4|?|x?c，数列

a1,a2,a3,满足an?1?f(an),n?N*.

（1）若a1??c?2，求a2及a3；（2）求证：对任意n?N*,an?1?an?c，；（3）是否存在a1，使得a1,a2,存在，说明理由.

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4 an,成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不

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参考答案

一、选择题

1．解：根据极限运算法则，limn?201?．

n??3n?133?m2?m?2?02．解：??m??2． 2?m?1?03．解：x2?y2??2xy?x?y?0．

222223a?2ab?3b?3c?0?c?a?b?4．解：

5．解：Tr?1?C5(x)r25?r2211ab，故cosC??,C???arccos． 333a1()r,2(5?r)?r?7?r?1，故C5a??10?a??2． x2x6．解：原方程整理后变为3?2?3x?8?0?3x?4?x?log34．

?1?51?5，又??0，故所求为． 227．解：联立方程组得?(??1)?1??C52138．解：9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1?2?．

C918x2y24462?2?1，9．解：不妨设椭圆?的标准方程为于是可算得C(1,1)，得b?,2c?． 4b33d22210．解：E??x10，D??(9?8?1911．解：cos(x?y)??12?02?12??92)?30|d|．

122in(x?)y?．，sin2x?sin2y?2sin(x?y)cos(x?y)?，故s

233a2?7?a?1 12．解：f(0)?0，故0?a?1?a??1；当x?0时，f(x)?9x?x环球网校——中国职业教育领导者品牌

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环球天下教育旗下品牌网站美国纽交所上市公司 8． 713．解：根据提示，一个半径为1，高为2?的圆柱平放，一个高为2，底面面积8?的长方体，这两个几何体与?放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故

即6|a|?a?8，又a??1，故a??它们的体积相等，即?的体积值为??1?2??2?8??2??16?．

14．解：根据反函数定义，当x?[0,1)时，f(x)?(2,4]；x?[1,2)时，f(x)?[0,1)，而

22时，f(x)的取值应在集合y?f(x)的定义域为[0,3]，故当x?[2,3(??,0)?[1,2]?(4,??)，故若f(x0)?x0，只有x0?2．

15．解：集合A讨论后利用数轴可知，??a?1?a?1或?，解答选项为B．

?a?1?1?a?1?a,19，故不同数值个数为18个，

16．解：根据等价命题，便宜?没好货，等价于，好货?不便宜，故选B． 17．解：ai,j?ai?aj?ai?aj?2i?j?1，而i?j?2,3,选A．

18．解：作图知，只有AF?DE?AB?DC?0，其余均有ai?dr?0，故选D．

19．解：因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故AB//C1D1,AB?C1D1，

故ABC1D1为平行四边形，故BC1//AD1，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；

直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h

111?(?1?2)?1? 3233S?而?ADC中，，故 AC?DC?5,AD?2?AD1C111213122所以，V???h??h?，即直线BC1到平面D1AC的距离为．

323333320．解：(1)根据题意，200(5x?1?)?3000?5x?14??0

xx又1?x?10，可解得3?x?10

90031161?100(5x?1?)?9?104[?3(?)2?] (2)设利润为y元，则y?xxx612考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得V?故x?6时，ymax?457500元．

21．解：(1)因为??0，根据题意有

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环球天下教育旗下品牌网站美国纽交所上市公司 ????????3?42?0??? ?2??4????2?3(2) f(x)?2sin(2x)，g(x)?2sin(2(x?))?1?2sin(2x?)?1

63?1?7g(x)?0?sin(2x?)???x?k??或x?k???,k?Z，

32312?2?即g(x)的零点相离间隔依次为和，

332??43??15??故若y?g(x)在[a,b]上至少含有30个零点，则b?a的最小值为14?． 333

22．解：：（1）C1的左焦点为F(???3,0)，过F的直线x??3与C1交于(?3,?2)，2与C2交于(?3,?(3?1))，故C1的左焦点为“C1-C2型点”，且直线可以为x??3；（2）直线y?kx与C2有交点，则

?y?kx?(|k|?1)|x|?1，若方程组有解，则必须|k|?1； ??|y|?|x|?1直线y?kx与C2有交点，则

?y?kx1222k?，若方程组有解，则必须 ?(1?2k)x?2?222?x?2y?2故直线y?kx至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。（3）显然过圆x?y?221内一点的直线l若与曲线C1有交点，则斜率必存在； 2根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(t,t?1)(t?0)，则

l:y?(t?1)?k(x?t)?kx?y?(1?t?kt)?0

直线l与圆x?y?2221|1?t?kt|2内部有交点，故 ?222k?112(k?1)。。。。。。。。。。。。① 27 化简得，(1?t?tk)?若直线l与曲线C1有交点，则

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环球天下教育旗下品牌网站美国纽交所上市公司 ?y?kx?kt?t?112?222?(k?)x?2k(1?t?kt)x?(1?t?kt)?1?0 ?x22?y?1??21??4k2(1?t?kt)2?4(k2?)[(1?t?kt)2?1]?0?(1?t?kt)2?2(k2?1)

2化简得，(1?t?kt)2?2(k2?1)。。。。。②

12(k?1)?k2?1 2122但此时，因为t?0,[1?t(1?k)]?1,(k?1)?1，即①式不成立；

212当k?时，①式也不成立

2122综上，直线l若与圆x?y?内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，

2122即圆x?y?内的点都不是“C1-C2型点” ．

2由①②得，2(k?1)?(1?t?tk)?2223．解：：（1）因为c?0，a1??(c?2)，故a2?f(a1)?2|a1?c?4|?|a1?c|?2，

a3?f(a1)?2|a2?c?4|?|a2?c|?c?10