2014届高三数学（人教A版）一轮复习练习曲：限时规范特训 第6章

第六章 第3讲

(时间：45分钟 分值：100分)

一、选择题

1. [2013·湖南段考]在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是( )

A. (－∞，1) C. (－1，＋∞) 答案：B

解析：将x＝－2代入直线x－2y＋4＝0中，得y＝1.因为点(－2，t)在直线上方，∴t>1.

??x≥0，2. [2013·河北名校联考]设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件?则|PA|的最

?y≤x，?

B. (1，＋∞) D. (0,1)

小值是( )

A.

2

2

B.

3 2

C. 1 答案：A

D. 2

解析：作出可行域如右图，|PA|的最小值为点A到直线x－y＝0的距离，可求得为2. 2

??y≥2|x|－1

3. 在坐标平面内，不等式组?所表示的平面区域的

?y≤x＋1?

面积为( )

A. 22 C.

22

3

8B. 3D. 2

答案：B

解析：作出不等式组所表示的可行域(如图)通过解方21

程可得A(－，)，B(2,3)，C(0，－1)，E(0,1)，如图可知，

3318

S△ABC＝S△ACE＋S△BCE＝×|CE|×(xB－xA)＝. 23

4. [2013·银川、吴忠联考]已知点P(x，y)满足

x＋y≤4，??

?y≥x，??x≥1，

过点P的直线与圆x2＋y2＝14相交于A，B两点，则AB的最小值为( )

A. 2 B. 26 C. 25 D. 4 答案：D

解析：当P点同时满足(1)P为AB的中点；(2)P点到O点的距离最大时，AB取得最小值．P点的可行域如图所示，因为直线y＝x和直线x＋y＝4垂直，故P点的坐标是(1,3)时，OP最大．易知此时AB＝4，故选D.

x－y＋1≥0，??

5. [2013·金版原创]若实数x，y满足?x＋y≥0，

??x≤0，

2y

则z＝3x

＋

的最小值是( ) A. 0 C. 3 答案： B

解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域

B. 1 D. 9

(如图中的阴影部分所示)及直线x＋2y＝0，平移直线x＋2y＝0，当平移到经过该平面区域内的点(0,0)时，相应直线在y轴上的截距最小，此时x＋2y取得最小值，3x

＋2y

＋2y

取得最小值，则z＝3x

的最小值是30

＋2×0

＝1，选B.

6. [2013·沈阳四校联考]已知x，y的可行域如图阴影所示，z＝mx＋y(m>0)在该区域内取得最小值的最优解有无数个，则实数m的值为( )

7

A. －

41

C. 2答案：D

解析：由题意知y＝－mx＋z(m>0)，欲使目标函数在可行域内取得最小值的最优解有无数多个，则需要－m＝kAC＝

二、填空题

1－3

＝－2，所以m＝2，因此选D. 2－1

4B. 7D. 2

多

y≤x??

7. 已知不等式组?y≥－x

??x≤ay的最大值为________．

答案：6

表示的平面区域S的面积为4，点P(x，y)∈S，则z＝2x＋

解析：本题考查线性规划的基本知识．由题意可得a>0.平面区域S是一个等腰三角形，1

S＝×2a×a＝4，∴a＝2.则当直线z＝2x＋y过点(2,2)时，z有最大值6. 2

x＋y≥3，??

8. [2013·青岛质检]设变量x，y满足约束条件：?x－y≥－1，

??2x－y≤3，小值为________．

答案：1

解析：不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC，目标函数的几何意义是区域内的点与点P(0，－1)连线的斜率，

??x＋y＝3，

显然图中AP的斜率最小．由?解得点A的坐标

?2x－y＝3，?

y＋1

则目标函数z＝的最x

y＋11＋1

为(2,1)，故目标函数z＝的最小值为＝1.

x2

?0≤x≤9. [2013·豫西四校调研]在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组?y≤2，

?x≤2y

答案：4

2，

给定．若M(x，y)为D上的动点，点N的坐标为(2，1)，则z＝O·O的最大值为________．

?0≤x≤

解析：不等式组?y≤2，

?x≤2y

2，

所表示的可行域如图所示，

由图示可得目标函数z＝O·O＝2x＋y所表示的平行直线系z＝2x＋y过点A(2，2)时，目标函数取得最大值2×2＋2＝4. 三、解答题

x＋2y－3≤0，??

10. [2013·桂林质检]已知变量x，y满足的约束条件为?x＋3y－3≥0，

??y－1≤0，ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围.

若目标函数z＝

解：依据约束条件，画出可行域．(如图)

1

∵直线x＋2y－3＝0的斜率k1＝－，目标函数z＝ax

2＋y(a>0)对应直线的斜率k2＝－a，若符合题意，则需11

k1>k2，即－>－a，得a>.

22

x－y＋1≤0，??11. [2013·绵阳模拟]实数x、y满足?x>0，

??y≤2.

y

(1)若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；

x(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围． x－y＋1≤0，??

解：由?x>0，

??y≤2

作出可行域如图中阴影部分所示．

y

(1)z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此

xy

的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存x在)．

??x－y＋1＝02而由?，得B(1,2)，则kOB＝＝2.

1?y＝2?

∴zmax不存在，zmin＝2， ∴z的取值范围是[2，＋∞)．

(2)z＝x2＋y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方． 因此x2＋y2的范围最小为|OA|2(取不到)，最大为|OB|2.

??x－y＋1＝0

由?，得A(0,1)， ?x＝0?

∴|OA|2＝(02＋12)2＝1， |OB|2＝(12＋22)2＝5.

∴z的最大值为5，没有最小值． 故z的取值范围是(1,5]．

12. [2013·贵州质检]某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，

那么这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？

解：设稳健型投资x份，进取型投资y份，利润总额为z(单位：10万元)，则目标函数20x＋40y≤160??

为z＝x＋1.5y(单位：10万元)，线性约束条件为：?30x＋30y≤180

??x≥0，y≥0?x∈N，y∈N?

x＋2y≤8??

即?x＋y≤6??x≥0，y≥0?x∈N，y∈N?

，

??x＋2y＝8作出可行域，解方程组?，得交点M(4,2)，作直线l0：x＋1.5y＝0，平移l0，

?x＋y＝6?

当平移后的直线过点M时，z取最大值：zmax＝(4＋3)×10万元＝70万元．

答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2lh3.html