【全国百强校】甘肃省西北师范大学附属中学2015届高三第五次诊断考试数学(理)试题(word版)

西北师大附中 2015 届高三第五次诊断考试

数学 （理科） A 卷

1 i =（

1. 已知 i 是虚数单位，则 1 i

3

命题人：漆林伟

一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）

）

A. 1

B. i

）

C. i D. 1

2. sin 3 的取值所在的范围是（

A． 2

B．

2 ,1

C．

2 , 0 D． 1,

2

2

3.在某次诊断考试中，某班学生数学成绩 服从正态分布 100, , 0 ，若 在 80,120 内的

概率为 0.8 ，则 落在 0,80 内的概率为（

）

D. 0.2

）

A. 0.05

B. 0.1

2

C. 0.15

an }的前 n 项和 4.数列{ Sn 2n 3n(n N ) ，若 p-q=5,则 a p aq = （

A. 10

B. 15

C. -5

D.20 ）

“ 5. 在△ ABC 中, “AB AC BA BC” 是 的（

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6. 根据如下样本数据：

bx a ，则 得到了回归方程为 y

B. a 0, b 0

A. a 0, b 0

C. a 0, b 0 D. a 0, b 0

7.如图是一个四棱锥在空间直角坐标系 xoz 、 xoy 、 yoz 三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为

（ ）

A．94 B．32 C．64 D．16

8. 函数 f x ln | x | 的图象大致为（

y

y

1

x

）

y

1

-1

-1 1

1

2 -2

-1

2

-2

1

y

O x O

1

-1

x

-1 O x

O

-1

1

x

A.

B.

C.

1

D.

9．设函数 y f x 在区间 a, b 上的导函数为 f x ， f x 在区间 a, b 上的导函数为 f x ，

成 立 ， 则 称 函 数 f 若 在 区 间 x 在 区 间 为 “ 凸 函 数 ” ； 已 知 a, b 上 f ( x) 0 恒 a, b 上

1 m 3

f ( x) x 4 x 3 x 2 在 1, 3 上为“凸函数”，则实数 m 的取值范围是（

12 6 2 31

A． (

9

31 B．, 5]

9

C． ( , 2)

D．[2, )

）

10. 已知函数 f ( x) x cos x sin x ，当 x [ 3 , 3 时，函数 f（x）的零点个数是（

A. 7

B. 5

）

C. 3

D. 1

x2 y2

11. 已知双曲线2 2 1 (a 0, b 0) 与函数 y x 0) 的图象交于点 P . 若函数 y 在点

ab

F ( 1, 0) ，则双曲线的离心率是（ P 处的切线过双曲线左焦点

）

2

2

2

32

12. 对于函数 f ( x) ，若 a, b, c R ， f (a), f (b), f (c) 为某一三角形的边长，则称 f ( x) 为“可构

x

e t 是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是 造三角形函数”。已知函数 f ( x) x

e 1

（ ）

A.[0, )

B.[0,1] C.[1, 2]

1 D, 2] 2

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.

13．已知向量 a ， b 的夹角是，若| a | 1 ，| b | 2 ，则| 2a b | 3

35

．

sin 是第三象限角，则 tan( =14. 已知sin( ) cos cos( )

7A，B 为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的 15.在等腰 △ABC 中， AB BC ， cos B ．若以

18

离心率 e ．

π

4

16.等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ，二面角C AB D 的余弦值为，

3

M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM，AN 所成角的余弦值等于

2

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题 12 分）已知函数 f ( x) 2 sx . 把方程f ( x 2 的正数解从小到大依次排成一列，

得到数列 an ， n N .

2

（1）求数列 an 的通项公式；

1 1 （2）记b bn 的前 n 项和为Tn ，求证：Tn .n 2 ，设数列 a 4 n 1

18.（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，四边形 AA1C1C 是边长为 2 的菱形，平面

ABC ⊥平面 AA1 C1C, ∠A1AC=600, ∠BCA=900. （I）求证:A1B⊥AC1

（II）已知点 E 是 AB 的中点，BC=AC，求直线 EC1 与 平面 ABB1A1 所成的角的正弦值。

19.(本小题满分 12 分) 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在 （29.94，30.06）的零 件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出500 件，量其内径尺寸，结

果如下表： 甲厂：

与不同的分厂有关”.

的五件产品中各抽取两件，将这四件产品中的优质品数记为 X ，求 X 的分布列.

2

附： K

(a b)(c d )(a c)(b d )

2

3

20. （本小题满分 12 分）如图，已知抛物线C ： y 2 px 和⊙ M ： ( x 4) y 1，过抛物线 C

2 2 2

E, F 两点， 上一点 H ( x M 相切于 A 、 B 两点，分别交抛物线为 0 , y 0 ) ( y 0 1) 作两条直线与⊙

圆心 M 到抛物线准线的距离为（Ⅰ）求抛物线 C 的方程；

（Ⅱ）当 AHB 的角平分线垂直 x 轴时，求直线 EF 的斜率.

17

． 4

21.（本小题满分 12 分）

已知函数 f ( x) ln x a( x 1) ， g ( x) e． （1）求函数 f ( x) 的单调区间；

x

l2 ，已知两切线的 （2）当 a 0 时，过原点分别作曲线 y f ( x) 与 y g ( x) 的切线l1 ， e 1 e2 1 a ；斜率互为倒数，证明：

e

e

x 0 ， a 的取值范围． （3）设 h( x) f ( x 1) g ( x) ，当 h( x) 1 时，求实数

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写 清题号．

22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲

如图， AB 是⊙ O 的直径，CB 与⊙ O 相切于点 B ， E 为 线段 BC 上一点，连接 AC ，连接 AE ，分别交⊙ O 于 D, G

两点，连接 DG 交 CB 于点 F ． （Ⅰ）求证： C, D, G, E 四点共圆.；

（Ⅱ）若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E ， GA 3GE ，求证：CE EB ． 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程

长为 3 的线段两端点 A, B 分别在 x 轴正半轴和 y 轴的正半轴上滑动， BP 2PA ，点 P 的轨迹为 曲线 C ．

（Ⅰ）以直线 AB 的倾斜角 为参数，写出曲线 C 的参数方程； （Ⅱ）求点 P 到点 D(0, 1) 距离 d 的取值范围．

24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲

已知 a 0 ， b 0 ．

14

的最小值； （Ⅰ）若 a b 2 ，求1 a 1 b

（Ⅱ）求证： ab a b ab(a b 1) ．

22 2 2

4

西北师大附中 2015 届高三第五次诊断考试

数学（理科）A 卷 答题卡

一、选择题

13.

16.

三、解答题

17．（12 分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效

18．（12 分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效

5

6

7

8

西北师大附中 2015 届高三第五次诊断考试

数学（理科）A 卷 参考答案

一、选择题：

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.

13. 2 14. 7

3

15.

8 1 16.

6

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

x k x 2 x 2k 1 k Z -----------------------3 分 17.解：（1）f (

2 2

又 x 0 an 2n 1 (n N ) -------------------------------------------------6 分

1 1 --------------------------------------------7 分

(n N ) （2） bn 2 2

a n 1 (2n 1) 1 1 1 1 1 1 b ……（10 分）n

(2n 1)2 4n2 4n 1 4n2 4n 4 n n 1

1 1 1 11 1 1 1 1

) Tn b1 bn (1 4 2 2 3 n n 1 4 4(n 1) 4

1 ------------------------------------------------12 分 Tn 得证 4

18. （1）证明：取 AC 中点 O ，连接 A1O ， 因为平面 ABC 平面 AA1C1C ， A1O AC ， 所以 A1O 平面 ABC ，所以 A1O BC . AA1C1C ， 又 BC AC ，所以 BC 平面

.……… 4 分 AC1 BC 所以

AA1C1C 中， AC1 A1C . 在菱形

A1BC ，所以 所以 AC 平面 A1B AC1 .

（2）以点O 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，

--------------------------------------------------- 6 分

A(0, 1,0) ， B(2,1,0) ， C(0,1,0) ， 则 C1 ，

(2,2,0) ， BB1 CC1 ，

ABB1 A1 的一个法向量， 设 ( x, y, z) 是面 y 0, 2 x 2则 0, BB1 0 ，即

y 0,

取 z 1 可得 m ( 1). ------------------------- 10 分

E(1,0,0) ,所以又 1 ( ，

9

EC1 与平面 ABB1 A1 所成的角的正弦值 所以直线

sin | cos |=. -------------------------------------------------------12 分

1 14

19.解： (Ⅰ)列联表如下

a 47.619 10.828

2

b)(c d )(a c)(b d ) 500 500 700 300 所以有 99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同的分厂有关”. -------------6 分 （Ⅱ）甲厂有 4 件优质品，1 件非优质品，乙厂有 3 件优质品，2 件非优质品.

从两个厂各抽取 2 件产品，优质品数

X 的取值为1, 2, 3, 4

CCC C C 1 3 C C P( X 1) ； P( X 2) ；

C C 25 10 C C

22 1 3 9 12 C C 94 3 P( X 3) 1 P( X 4) 2 2 ，所以 --------------10 分 C 5 C 5 50 25 10 50 25

所以 X 的分布列为

1 2

4 2

2 2 5 5

111 224 2 3 4 2

2 2 5 5

p 17 ，2 4

分 20. 解：（Ⅰ）∵点 M 到抛物线准线的距离为 4

∴ p ，即抛物线 C 的方程为 y 2 x ．-----------------------------------------------------4 分 （Ⅱ）法一：∵当 AHB 的角平分线垂直 x 轴时，点 H (4,2) ，∴ kHE kHF ， 设 E ( x1 , y1 ) ， F ( x2 , y2 ) ，∴yH y1 yH y2 ∴yH y1 yH y2 ，

2 22 2

1

2

xH x1 xH x2 yH y1 y H y2

∴ y1 y2 2 yH 4 . ------------------------------------------------------------------------------6 分

1 y y y y1

．-----------------------------------------------------12 分k EF 2

x 2 x y 2 y 41 2 y1 2 y 1

法二：∵当 AHB 的角平分线垂直 x 轴时，点 H (4,2) ，∴ AHB 60 ，可得 k HA ，

HA 的方程为 y 2 ， k HB ∴直线

6 13 ， ∵ y ∴ y E ．----------------------------10 分 xE E 2 y 2 2

y 2 0 ， 联立方程组 2

y x

3 3 3

10

6 ， xF 13 ， 同理可得 y F

3 3

∴ k EF 1 ．-----------------------------------------------------------------------------12 分

4

21.【解析】（1）依题意，函数 f ( x) 的定义域为 (0, ) ，对 f ( x) 求导，得 f ( x) a

①若 a 0 ，对一切 x 0 有 f ( x) 0 ，函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0, ) ．

1

x 1 ax

x

1 1

a 0 ，当 ②若 x 时， f ( x) 0 ；当 x ) 时， f ( x) 0 ．

a

a

1 1

分 所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ) -----------------4

a a

（2）设切线 l2 的方程为 y k2 x ，切点为 ( x2 , y2 ) ，则 y2 e ，

x2

yx2 ex2 e ． x 1 ， y k g( x ) e ，所以 k22 2 2 2 e ，则 x2

1 1 1

由题意知，切线 l1 的斜率为 l1 的方程为 k1 ， y k1 x x ．

e k2 e

1 1 yl1 与曲线 ( x1 , y1 ) ，则 设 y f ( x) 的切点为 k1 f ( x1 ) a ，

x1 e x1

所以 y1

x1 1 1 ． 1 ax ， a 1

x1 e e

1 1

又因为 y1 ln x1 a(x1 1) ，消去 y1 和 a 后，整理得 分 ln x1 1 0 ．------------6

x1 e

令 m( x) ln x 1 0 ，则 m' ( x)

1 1

x e 1 1x 1

2 2，x x x

m( x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增．

1 1 1 1

若 x1 (0,1) ，因为 m 2 e 0 ， m(1) 0 ，所以 x1 ，

e e e e

2 e 1e 1 1 1 1 而 ．a 在 x1 上单调递减，所以 a

x1 e e e e

x1 (1, ) ，因为 x1 e ， 若 m( x) 在 (1, ) 上单调递增，且 m(e) 0 ，则

2

e 1 1 1 e 1 所以 ．综上可知，． -----------------------8 分 a 0 （舍去） a x1 e e e

1 a ．

（3） h(x) f (x 1) g ( x) ln(x 1) ax e， h ( x) e

x 1

1 1 a 2 a 0 ， x x

①当 a 2 时，因为 e x 1 ，所以 h ( x) e a x 1

x 1 x 1

x

x

h( x) 在 0, 上递增， h( x) h(0) 1 恒成立，符合题意．

11

1 ( x 1)2 ex 1

②当 a 2 时，因为 h ( x) e 0 ，所以 h ( x) 在 0, 上递增，且 22

( x 1) ( x 1)

h (0) 2 a 0 ，则存在 x0 (0, ) ，使得 h (0) 0 ．

x

所以 h( x) 在 (0, x0 ) 上递减，在 ( x0 , ) 上递增，又 h( x0 ) h(0) 1 ，所以 h( x) 1 不恒成立， 不合题意．

综合①②可知，所求实数 a 的取值范围是 , 2 ．

----------------------------12 分

22.解：

（Ⅰ）连接 BD ，则 AGD ABD ， ABD DAB 90， 因为 C CAB 90，所以 C AGD ， C DGE 180， 因此 C, E, G, D 四点共圆； （Ⅱ）设 EG x ， GA 3x ，

2

---------------------------------------------------------5 分

由切割线定理 EG EA EB，则 EB 2 x ，又 F 为 EB 三等分，所以 EF

2 x 4x

FB 3 3

FC 又 FE FC FG FD ， FG FD FB， 所以

23.解：（Ⅰ）设 P( x, y) ，则根据题设画图知

2

8x

， CE 2 x ，即 CE EB ．----10 分 3

2 1

x | AB | cos( ) 2 cos ， y | AB | sin( ) sin ，

3 3

x 2 cos

曲线 C 的参数方程是 （ 为参数，且 ）；

y sin 2

（Ⅱ） D(0, 1) ，设 P( 2 cos , sin ) ，则

（5 分）

| PD |

因为 ，所以 sin (0,1) ， 2 | PD | d 的取值范围是 （10 分）

2 1 4 1 1 4

( 24. 解：（Ⅰ） a 1 b) 1 a 1 b 4 1 a 1 b 1 1 9 (5 ) 2

4 1 a 1 b 4 4

1 5 1 b 4 4a 等号成立条件为，而 a b 2 ，所以 a , b ，

1 a 1 b 3 3

1 5 1 49

因此当 a , b 时， 取最小值；

1 a 1 b 4 3 3

（Ⅱ）由均值不等式得

（5 分）

a2b2 a2 2a2b ， a2b2 b2 2b2 a ， a2 b2 2ab ，

三式相加得 2a2b2 2a2 2b2 2a2b 2ab2 2ab = 2ab(a b 1) ， 而 2a2b 2ab2 2ab = 2ab(a b 1) ，所以 a2b2 a2 b2 ab(a b 1) ． （10 分）

12

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