函数的概念和性质高考真题
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1
函数的概念和性质
2019年
1.(2019江苏4)函数
2
76y x x =+-的定义域是 .
2.(2019全国Ⅱ理14)已知()f x 是奇函数,且当0x <时,()e ax f x =-.若(ln 2)8f =,则a =__________.
3.(2019全国Ⅲ理11)设
()f x 是定义域为R 的偶函数,且在
()
0,+∞单调递减,则
A .
f (lo
g 3
14
)>f (3
22
-)>
f
(2
32
-) B .
f
(log 3
14
)>f (2
32
-)>
f
(3
22
-)
C .
f
(3
22
-)>f
(2
32
-)>
f
(log 3
14
) D .f (2
32
-)>
f
(3
22
-)>f
(log 3
14
) 4.(2019北京理13)设函数
()e x x f x e a -=+ (a 为常数),若()f x 为奇函数,则a =______; 若()f x 是R 上的增函
数,则a 的取值范围是 ________. 5.(2019全国Ⅰ理11)关于函数
()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:
①f (x )是偶函数
②f (x )在区间(
2
π,π)单调递增
③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 A .①②④
B .②④
C .①④
D .①③
6.(2019全国Ⅰ理5)函数f (x )=
2
sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为
A .
B .
C .
D .
7.(2019全国Ⅲ理7)函数3222x x
x y -=
+在
[]6,6-的图像大致为
A .
B .
C .
D .
8.(2019浙江6)在同一直角坐标系中,函数y =
1
x
a
,y =log a (x +12),(a >0且a ≠1)的图像可能是
A. B.
C. D.
2015年----2018年
一、选择题
1.(2018全国卷Ⅱ)函数
2
()
-
-
=
x x
e e
f x
x
的图像大致为
2.(2018全国卷Ⅲ)函数
422
y x x
=-++的图像大致为
3.(2018浙江)函数
||
2sin2
x
y x
=的图象可能是
A.B.
C.D.
4.(2018全国卷Ⅱ)已知()
f x是定义域为(,)
-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)
-=+
f x f x.
若(1)2
=
f,则(1)(2)(3)(50)
++++=
…
f f f f
A.50
-B.0 C.2 D.50
5.(2017新课标Ⅰ)函数()
f x在(,)
-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(1)1
f=-,则满足1(2)1
f x
--
≤≤
2
3
的x 的取值范围是
A .
B .
C .
D .
6.(2017浙江)若函数2()f x x ax b =++在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M m -
A .与a 有关,且与
b 有关 B .与a 有关,但与b 无关 C .与a 无关,且与b 无关 D .与a 无关,但与b 有关
7.(2017天津)已知奇函数
()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则a ,b ,c 的大小关系为
A .a b c <<
B .c b a <<
C .b a c <<
D .b c a << 8.(2017北京)已知函数1()3()3
x x f x =-,则()f x A .是奇函数,且在R 上是增函数 B .是偶函数,且在R 上是增函数
C .是奇函数,且在R 上是减函数
D .是偶函数,且在R 上是减函数
9.(2016山东)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时,3()1f x x =- ;当11x -≤≤ 时,
()()f x f x -=-;当12x >
时,11()()22f x f x +=-,则f (6)= A .?2 B .?1 C .0 D .2
10.(2016全国I) 函数2||2x y x e
=-在[–2,2]的图像大致为
A .
B .
C .
D .
11.(2016全国II) 已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-,若函数1x y x +=
与()y f x =图像的交点为()11x y ,,()22x y ,,…,()m m x y ,,则()1
m i i i x y =+=∑
A .0
B .m
C .2m
D .4m
12.(2015福建)下列函数为奇函数的是
A .y x =
B .sin y x =
C .cos y x =
D .x x y e e -=-
4 13.
(2015广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是
A .21y x =+
B .1y x x =+
C .122x x y =+
D .x y x e =+
14.(2015湖南)设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--,则()f x 是 A .奇函数,且在(0,1)上是增函数 B .奇函数,且在(0,1)上是减函数
C .偶函数,且在(0,1)上是增函数
D .偶函数,且在(0,1)上是减函数
15.(2015湖北)已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >??==??- ()f x 是R 上的增函数,()()g x f x =-
()f ax (1)a >,则
A .sgn[()]sgn g x x =
B .sgn[()]sgn g x x =-
C .sgn[()]sgn[()]g x f x =
D .sgn[()]sgn[()]g x f x =-
16.(2015安徽)函数()()2ax b
f x x c +=+的图象如图所示,则下列结论成立的是
A .
0a >,0b >,0c < B .0a <,0b >,0c > C .0a <,0b >,0c < D .0a <,0b <,0c <
二、填空题
17.(2018江苏)函数2()log 1f x x =-的定义域为 .
18.(2018江苏)函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,
cos ,02,2()1||,20,2
x x f x x x π??=??+?≤-≤则((15))f f 的值为 . 19.(2018上海)已知11{2,1,,,1,2,3}22
α∈---,若幂函数()α=f x x 为奇函数,且在0+∞(,)上递减,则α=_____
20.(2018北京)能说明“若()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立,则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个
函数是__________.
5
21.(2017新课标Ⅲ)设函数1,0()2,0
x x x f x x +?=?>?≤,则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是___. 22.(2017江苏)已知函数31
()2x x f x x x e e =-+-,其中e 是自然数对数的底数,若2(1)(2)0f a f a -+≤,
则实数a 的取值范围是 .
23.(2017山东)若函数e ()x f x (e=2.71828L ,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具
有M 性质,下列函数中具有M 性质的是
①()2x
f x -= ②()3x
f x -= ③3
()=f x x ④2()2=+f x x
24.(2017浙江)已知a ∈R ,函数4()||f x x a a x
=+-+在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 . 25.(2016天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(,0)-∞上单调递增.若实数a
满足
1(2)(a f f ->,
则a 的取值范围是______. 26.(2016江苏)设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[)1,1-上,
(),10,2,01,5x a x f x x x +-?=?-?
≤≤其中a ∈R ,若59()()22f f -=,则()5f a 的值是 . 27.(2015新课标Ⅰ)
若函数()ln(f x x x =为偶函数,则a =
28.(2015浙江)已知函数223,1()lg(1),1x x f x x
x x ?+-?=??+
≥,则((3))f f -=_______,()f x 的最小值是______. 29.(2015山东)已知函数
()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[1,0]-,则a b += .
函数的概念和性质参考答案
6
1. C 【解析】
()f x 是定义域为R 的偶函数,所以331
(log )(log 4)4
f f =,
因为33log 4log 31>=,
230
3
2
02
2
21
-
-
<<<=,所以233
2
302
2
log 4-
-
<
<<,
又
()f x 在(0,)+∞上单调递减,所以233
2
31
(2)(2)(log )4
f f f -->>. 故选C .
2. C 【解析】
()sin sin |i |sin s n f x x x x x f x -=-+-=+=()(),则函数()f x 是偶函数,
故①正确.当π,π2x ??
∈ ???
时, sin sin sin sin x x x x ==,
, 则
sin sin 2sin f x x x x =+=()为减函数,故②错误.
当0πx ≤≤,sin sin sin sin 2sin f x x x x x x =+=+=(
), 由0f x =()得2sin 0x =,得0x =或πx =,
由
()f x 是偶函数,得在[π0-,)上还有一个零点πx =-,即函数()f x 在[]ππ-,上有3个零点,
故③错误. 当sin
1sin 1x x ==,时,()f x 取得最大值2,故④正确,故正确的结论是①④. 故选C .
3.D 【解析】: 因为
(
)f x =
π[]πx ∈-,,所以
()()()22
sin sin cos cos x x x x
f x f x x x x x
--+-=
==--++, 所以()f x 为[ππ]-,上的奇函数,因此排除A ;
又
()22
sin πππ
π0cos ππ1π
f +=
=>+-+,因此排除B ,C ;故选D . 4. B 【解析】 因为
33
2()2()()2222
x x x x
x x f x f x ----==-=-++, 所以
()f x 是[]6,6-上的奇函数,因此排除C ,又
11
82(4)721
f =>+,因此排除A ,D .故选B .
5. D 【解析】由函数
1x
y a =
,
1log 2a y x ??=+ ???,单调性相反,且函数1log 2a y x ?
?=+ ??
?图像恒过
1,02?? ???
可各满足要求的图象为D .故选D .
7
6.B 【解析】当0 e e f x x ,故排除A .D ;又 1(1)2=->f e e ,故排除C ,选B . 7.D 【解析】当0x =时,2y =,排除A ,B .由3420y x x '=-+=,得0x =或 2x =±,结合三次函数的图象特征,知原函数在(1,1)-上有三个极值点,所以排除C ,故选D . 8.D 【解析】设 ||()2sin 2x f x x =,其定义域关于坐标原点对称, 又 ||()2sin(2)()x f x x f x --=?-=-,所以()y f x =是奇函数,故排除选项A ,B ; 令()0f x =,所以sin 20x =,所以2x k π=(k ∈Z ),所以2 k x π=(k ∈Z ),故排除选项C .故选D . 9.C 【解析】解法一 ∵ ()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,()()-=-f x f x . 且 (0)0=f .∵(1)(1)-=+f x f x ,∴()(2)=-f x f x ,()(2)-=+f x f x ∴(2)()+=-f x f x ,∴(4)(2)()+=-+=f x f x f x ,∴()f x 是周期函数,且一个周期为4,∴(4)(0)0==f f ,(2)(11)(11)(0)0=+=-==f f f f , (3)(12)(12)(1)2=+=-=-=-f f f f , ∴(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++???+=?++=+=f f f f f f f f ,故选C . 解法二 由题意可设()2sin()2f x x π =,作出()f x 的部分图象如图所示. 由图可知, ()f x 的一个周期为4,所以(1)(2)(3)(50)+++???+f f f f , 所以(1)(2)(3)(50)120(1)(2)2+++???+=?++=f f f f f f ,故选C . 10.D 【解析】由函数 ()f x 为奇函数,得(1)(1)1f f -=-=, 不等式1(2)1f x --≤≤即为(1)(2)(1)f f x f --≤≤, 8 又()f x 在(,)-∞+∞单调递减,所以得121x --≥≥,即13x ≤≤,选D . 11.B 【解析】函数 ()f x 的对称轴为2a x =-, ①当02 a -≤,此时(1)1M f a b ==++,(0)m f b ==,1M m a -=+; ②当12 a -≥,此时(0)M f b ==,(1)1m f a b ==++,1M m a -=--; ③当012a <-<,此时2()24a a m f b =-=-,(0)M f b ==或(1)1M f a b ==++, 2 4a M m -=或214a M m a -=++.综上,M m -的值与a 有关,与b 无关.选B . 12.C 【解析】由题意()g x 为偶函数,且在(0,)+∞上单调递增,所以22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-= 又2 222log 4log 5.1log 83=<<=,0.8122<<, 所以0.822log 5.13<<,故b a c <<,选C . 13.A 【解析】11()3()(3())()33 x x x x f x f x ---=-=--=-,得()f x 为奇函数, ()(33)3ln 33ln 30x x x x f x --''=-=+>,所以()f x 在R 上是增函数.选A . 14.D 【解析】当11x -剟时,()f x 为奇函数,且当12x >时,(1)()f x f x +=, 所以 (6)(511)(1)f f f =?+=.而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=, 所以(6)2f =,故选D . 15.D 【解析】当0x ?时,令函数2()2x f x x e =-,则()4x f x x e '=-,易知()f x '在[0,ln 4) 上单调递增,在[ln 4,2]上单调递减,又(0)10f '=-< ,1()202 f '=>,(1)40f e '=->, 2(2)80f e '=->,所以存在01(0,)2x ∈是函数()f x 的极小值点,即函数()f x 在0(0,)x 上单调递减,在0(,2)x 上单调递增,且该函数为偶函数,符合条件的图像为D . 16.B 【解析】由()()2f x f x -=-得 ()()2f x f x -+=,可知()f x 关于()01,对称, 而111x y x x +==+也关于()01, 对称, ∴对于每一组对称点0i i x x '+= =2i i y y '+, 9 ∴()111022 m m m i i i i i i i m x y x y m ===+=+=+?=∑∑∑,故选B . 17.B 【解】 由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数,所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称,可 知B ,D 符合;由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数,选项D 的图像的最小正周期是4,不符合,选项B 的图像的最小正周期是2,符合,故选B . 18.A 【解析】因为311x +>,所以()()22log 31log 10x f x =+>=,故选A . 19.C 【解析】∵ ()21200=+=f ,∴()()()a a f f f 2422202+=+==.于是, 由()()a f f 40=得2424=?=+a a a .故选C . 20.B 【解析】()33(),()33()x x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-. 21.A 【解析】∵()f x 是R 上周期为5的奇函数,∴ (3)(4)(2)(1)(2)(1)211f f f f f f -=---=-+=-+=-. 22. [1,7]-【解析】 由2760x x +-…,得2670x x --…,解得17x -剟.所以函 数 y =[1,7]-. 23. 3a =-【解析】解析:ln 2(ln 2)e (ln 2)8a f f --=-=-=-,得28a -=,3a =-. 24. 0]-∞(,【解析】①根据题意,函数 e e x x f x a -=+(), 若f x () 为奇函数,则f x f x -=-()(),即=e e e e x x x x a a --+-+() ,所以()()+1e e 0x x a -+=对x ∈R 恒成立.又e e 0x x -+>,所以10,1a a +==-. ②函数 e e x x f x a -=+(),导数e e x x f x a -'=-(). 若()f x 是R 上的增函数,则()f x 的导数e 0e x x f x a -'-≥=()在R 上恒成立,即2e x a ≤恒 成立,而2e >0x ,所以a ≤0,即a 的取值范围为0]-∞(,. 25.[2,)+∞【解析】要使函数 ()f x 有意义,则2log 10x -≥,即2x ≥,则函数()f x 的定义域 是[2,)+∞. 26.2 【解析】因为函数()f x 满足(4)()f x f x +=(x ∈R ),所以函数()f x 的最小正周期是4.因 10 为在区间(2,2]- 上,cos ,02,2()1||,20,2 x x f x x x π??=??+?≤-≤, 所以1((15))((1))()cos 24f f f f f π=-===. 27.1 -【解析】由题意()f x 为奇函数,所以α只能取1,1,3-,又()f x 在(0,)+∞上递减,所以1α=-. 28.sin y x =(不答案不唯一) 【解析】这是一道开放性试题,答案不唯一,只要满足()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立,且函数 ()f x 在[0,2]上不是增函数即可,如,()sin f x x =,答案不 唯一. 29.1(,)4-+∞【解析】当12x >时,不等式为1 2221x x -+>恒成立; 当102x <≤,不等式12112 x x +-+>恒成立; 当0x ≤时,不等式为11112x x ++-+>,解得14x >-,即104 x -<≤; 综上,x 的取值范围为1(,)4-+∞.
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