七年级数学-平面图形的认识总复习2

七年级数学第六章 平面图形的认识

课标要求：【学习目标】

1．复习线段、直线、射线、线段的中点、角、余角、补角、对顶角的有关概念； 2．有关基础理论在生活实际中的应用． 【学习重点】线段、角的有关计算． 【学习目标】

1．复习平行与垂直的相关知识； 2．平行与垂直的性质的应用．

【学习重点】平行与垂直的相关作图．

重点难点： 知识梭理：

1.经过两点 一条直线.

2.两点之间的所有连线中, .两点之间 ,叫做这两点之间的距离.

3.如图,点M把线段AB分成 的两条线段AM与BM, 点M叫做线段AB的 .这时 .

AMB4.角由两条 的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的 .角通常

用 字母及符号 来表示. 5. 1°= ′，1′= ″

6.从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个 的角,这条射线叫做这

个角的 .

7.在同一个平面内, 的两条直线叫做 .我们通常用 表示平行. 8.经过直线外一点, 一条直线与这条直线平行.如果两条直线都与第三条

直线平行,那么 .

9.如果两条直线 ,那么这两条直线互相垂直.我们通常用 表示垂直. 10.平面内,经过一点 一条直线与已知直线垂直.

A

LB

11.如图,过A点作直线L的垂线,垂足为B点.

叫做点A到直线L的距离.

（1）线段有两种表示方法：一种是__ __________，另外一种是_____ ____________． （2）射线的表示方法：_____________________，注意____________．

（3）直线也有两种表示方法：一种是____________，另外一种是____________________． （4）两点之间的所有连线中，_______最短．我们把这条线段的长，就叫做____________． （5）延长线段MN到P，使NP=MN，则N是线段MP的 点，MN= MP= MP

总结归纳：

名 称 图形及表示法 线段 射线 直线 不同点 联系 共同点 延伸性 端点数 与实物联系 不能延伸 2 真尺 线段向都是直一方延的线 只能向一1 电筒发生的长就成方延伸 光线 射线，向可向两方无 笔直的公路 两方延延伸 长就成直线 1、线段、射线、直线的异同点

2、线段有两种表示方法：线段AB与线段BA，表示同一条线段。或用一个小写字母表

示，线段a。 射线的表示方法：端点在前，任意点在后。射线OP

O P

A

a

B

直线也有两种表示方法：直线MN或直线NM，或用一个小写字母表示：直线a

M a

N

3、两点之间的所有连线中，线段最短。我们把这条线段的长，就叫做这两点之间的距离；两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离

知识点1：角的概念①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个

公共顶点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。②动态定义：角也可以看成由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。起始边与终边可以重合。

终边射线顶点端点始边射线

2、角的内部：射线旋转时经过的平面部分。角的外部：平面内除去角的内部和角的顶点，角的边以外的部分。角将平面分成三部分，即角的外部，角的内部和角的两边及顶点。

3、角的表示方法：

(1)角通常用三个大写字母来表示，表示顶点的字母写在中间，可记为：∠AOB(或∠

BOA) 练习;图(2)有几个角，他们分别是什么？将其表示出来 AAC (1)

OBOOB12 （2） （3）

(2)在角的顶点处只有一个角的情况下，也可以用一个大写字母来表示，∠AOB也可

以写成∠O，但如果如图(2)所示，就不可以用一个大写字母表示。容易产生奇异。 (3)角也可以用阿拉伯数字表示，如图(2)∠AOC可写成∠1，∠COB可写成∠2 (4)角还可以用希腊字母表示，同(3)一样，记为∠а，∠β 4、角的分类：

0?????90??锐角：?直角：???90???角的分类?钝角：90?????180??平角：???180????周角：???360?

1周角=2平角=4直角

知识点2：角度的换算

角的单位：度、分、秒：把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角， 记作1°；把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1′的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″。 1°=60′；1′=60″。

A知识点3：角平分线

如图，OC将∠AOB分成相等的两部分，OC就是∠AOB角平分线。

1就有：∠AOC=∠BOC=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC

2类似的，如图，角的三等份线有什么性质？

CODBC知识点4：互余，互补

OB（1）如果两个角的和是_________，这两个角互余，其中的一个角是另一个角的余角。 A（2）如果两个角的和__________，这两个角互补，其中一个角叫做另一个角的补角。 （3）同角(或等角)的余角_________ 同角(或等角)的补角___________。 （4）一个锐角的补角比这个角的余角大

归纳：

1、如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角是另一个角的余角。

如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角。

2、总结：同角(或等角)的余角相等 同角(或等角)的补角相等。

知识点6：方位角

方位角其实就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方向，如“北偏东30°”，“南偏西40°”等，方位角不能以正东，正西为基准，如不能说成 “东偏北60°，西偏南50°”等，但有时如北偏东45°时，我们可以说成东北方向。

三：平行

（1）在同一平面内，两条直线的位置关系是： （2）经过直线外一点画已知直线的平行线的步骤（用直尺和三角板）： （3）经过直线外一点，有且只有 直线与已知直线平行，如果两条直线都与第三

条直线平行，那么这两条直线互相

四：垂直

（1）如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相______,互相垂直的两条直线的

交点叫做______.，l1与l2垂直可表示成 。

（2）两条线段或射线垂直是指这两条线段或射线所在的______垂直

（3）直线外一点到这条直线的垂线段的_____________，叫做点到直线的距离。 思考：两条直线互相垂直，必须具备什么条件？

ａ． ｂ. 归纳：1、如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足

2、如图：两条直线互相垂直，可表示为a⊥b于点O或表示 为：AB⊥CD于点O。

3、当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线

4、如何经过一点画已知直线的垂线呢？

一靠、二移、三画线。

5、经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 把这条垂线段的长度也叫做这点到这条直线的距离。

考点归纳：

平面的图形的认识（基本概念）

第一节 线段、射线、直线

C A

O D

a

B b

点、线段、射线、直线

线和线相交的地方是点(point)．

点通常表示一个物体的位置．例如，在交通图上用点来表示城市的位置．

直线上两个点和它们之间的部分叫做线段(line segment)，这两个点叫做线段的端点． 在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线都给我们以线段的形象．

把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线（ray）．

把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线（straight line）．

1、线段、射线、直线的异同点

名 称 图形及表示法 不同点 联系 共同点 延伸性 端点数 与实物联系 线段 不能延伸 2 真尺 线段向一都是直的 方延长就线 射线 只能向一方延1 电筒发生的光线 成射线，向伸 两方延长

直线 可向两方延伸 无 笔直的公路 就成直线 2、线段有两种表示方法：线段AB

与线段BA，表示同一条线段。或用一个小写字母表示，线段a。

射线的表示方法：端点在前，任意点在后。射线OP O P

直线也有两种表示方法：直线MN或直线NM，或用一个小写字母表示：直线a

M a

N

3、生活常识告诉我们：两点之间的所有连线中，线段最短。我们把这条线段的长，就叫做这两点之间的距离；两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 第二节 角

1、角：由一个顶点，和两条有公共端点的射线组成的图形。

2、角的表示方法是：①用三个大写字母来表示②用它的顶点来表示③ 用一个希腊字母表示④用一个数表示 3、用一付三角板，可以拼出多少种不同的角？

解答：150、300、450、750、900、1050、1200、1350、1500、1650。 4、角的度量单位是：度、分、秒 10=60‘ 1’=60\第三节 余角、补角、对顶角

1、如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角是另一个角的余角。 如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角。 2、总结：同角(或等角)的余角相等 同角(或等角)的补角相等。

3、一对角，它们的顶点重合，它们的两条边互为反向延长线。我们把这样的两个角叫做互为对顶角。其中一个角

A

叫做另一个角的对顶角。 4、对顶角的性质：对顶角相等。 第四节 平行

1、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 直线a平行于直线b，可表示为a∥b,

2、在同一平面内，两条直线的位置关系是：平行与相交。 3、经过直线外一点画已知直线的平行线：

一放、二靠、三推、四画

4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

5、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。 第五节 垂直

1、如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足

2、如图：两条直线互相垂直，可表示为a⊥b于点O或表示 为：AB⊥CD于点O。

3、当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线

4、如何经过一点画已知直线的垂线呢？

一靠、二移、三画线。

5、经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

把这条垂线段的长度也叫做这点到这条直线的距离。

考点一：线段、射线、直线

问题1．（1）图中以A为端点的线段有多少条？以B为端点的线段有多少条？以C为端点的线段有条？以D为端点的线段有多少条？图中一共有多少条线段？

(2)下图中各有多少条线段？你发现了什么规律？（用含n的代数式表示）

……

C O A D

a

B

b

ABCD

问题2．一根绳子弯曲成如图1所示的形状．当用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪(n－1)次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是_______________．

aab......图1 图2 图3

练习：

【问题评价】 1．下列说法：①直线CD和直线DC是两条直线；②射线CD和射线DC是两条射线；③线段CD和线段DC是两条线段；④直线CD和直线a不能是同一条直线．正确的有___________．（填序号） 2．延长线段AB到C，则下列说法：①点C在线段AB上；②点C在直线AB 上；③点C不在直线AB上；④点C在直线AB的延长线上中正确的有

A__________________．（填序号）

D3．在右图中共有____条直线，分别是 ；有_____条线段，分别是 _________；以D点为端点的射线有______条，是 ；

BC线段_____、_____和射线_____相交于点B．

4．如图，将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合．如果甲尺经校定

甲是直的，那么乙尺是直的吗？为什么？ ． 乙5．如下右图，在自来水主水管道AB的两旁有两个住宅小区C、D，

现要在主水管道上开一个接口P往C、D两小区铺设水管，为节约铺设水管的用料，接口P应开

在水管AB的什么位置，在图中画出来，并说明依据的数学道理是 ．

C

AB

D

6．在同一平面内，3条直线两两相交，最多有三个交点，则4条直线两两相交，最多有 个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；2012条直线两两相交，最多有 个交点．

【例1】图中共有 条直线,分别是 ;有 条线段,分别是 ;以D点为端点的射线有 条,分别是 ;射线DA与射线DC的公共部 分是 ,线段 , 和射线 相交于点B.

【思路点拨】根据直线沿两个方向无限延伸,射线只沿一个方 向无限延伸,线段不能延伸确定答案.

【自主解答】根据直线的定义及图形可得:图中共有1条直线, 是直线AC.

有6条线段,是线段AB,BD,BC,AD,AC,CD.

以D点为端点的射线有3条,是射线DA,DB,DC. 射线DA与射线DC的公共部分是点D. 线段AB,BC和射线DB相交于点B.

答案：1 直线AC 6 线段AB,BD,BC,AD,AC,CD 3 射线DA,DB,DC 点D AB BC DB 【中考集训】

1.(2012·葫芦岛中考)如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC 的中点，若AB=8 cm，BC=2 cm，则MC的长是( )

A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 【解析】选B.由图可知AC=AB-BC=8-2=6(cm). ∵点M是AC的中点，∴MC= AC=3(cm).

2.(2012·广州模拟)如图,在平面内,两条直线l1,l2相交于点O, 对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则 称(p,q)为点M的“距离坐标”,根据上述规定,“距离坐标”是 (2,3)的点共有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【解析】选D.因为两条直线将平面分为四部分,每一部分都有 这样的“距离坐标”是(2,3)的点.故选D. 3.(2012·永州中考)永州境内的潇水

河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔等三

个名胜古迹(如图所示).其中柳子庙坐

落在潇水之西的柳子街上,始建于1056年,是永州人民为纪念 唐宋八大家之一的柳宗元而筑建.现有三位游客分别参观这三 个景点,为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所 走的路程总和最短.那么,旅游车等候这三位游客的最佳地点应 在( )

A.朝阳岩 B.柳子庙

C.迥龙塔 D.朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置 【解析】选B.设朝阳岩距离柳子庙的路程为5,柳子庙距离迥龙 塔的路程为8,则朝阳岩距离迥龙塔的路程为13,A、当旅游车停 在朝阳岩时,总路程为5+13=18;B、当旅游车停在柳子庙时,总 路程为5+8=13;C、当旅游车停在迥龙塔时,总路程为13+8=21; D、当旅游车停在朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间时,总路程大 于13.故路程最短的是旅游车停在柳子庙.

4.(2011·娄底中考)如图,点C是线段AB上的点,点D是线段BC的 中点,若AB=12,AC=8,则CD= .

【解析】CD=(AB-AC)÷2=2. 答案：2

5.(2011·佛山中考)已知线段AB=6,若C为AB的中点，则AC= ________.

11【解析】AC= AB= ×6=3.

22

答案：3

例1、如图,已知，点C是AB上任一点,点M、N分别是AC和CB的中点,（1）若线段

AB=10cm则MN=？（2）若MN=6，则AB=？

例2、已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，且BC=4cm，M是线段AC的中点，求

AM的长 例3、已知线段AB，延长AB到C，使BC?AB，D为 AC的中点．若DC＝42㎝，则AB

的长是多少？

【例2】如图，线段AB=28 cm，点O是线段AB的中点，点P将线段AB分为两部分AP∶PB=5∶2，求线段OP的长.

13

【思路点拨】先求线段PB的长，再求线段OB的长，线段OB与PB之差即是线段OP的长.

【自主解答】因为AP∶PB=5∶2， 所以PB= AB= ×28=8(cm). 又因为点O是线段AB的中点， 所以OB= AB=14(cm)，

所以OP=OB-PB=14-8=6(cm).

【中考集训】

1.(2012·盘锦模拟)有下列说法：①一根拉得很紧的细线就是直线;②直线的一半是射线;③线段AB和线段BA表示同一条线段;④射线AB和射线BA表示同一条射线,其中正确的个数是( )

A.3 B.2 C.1 D.0

【解析】选C.①直线是由线段向两方无限延伸所形成的图形，它无端点，也无法确定它的长度，而拉紧的细线总有两个端点，因此只能看做线段；②直线具有不可度量性，也就不存在直线的一半；③线段用它的两个端点字母表示时，两个字母的顺序没有限制；④射线用两个大写字母表示时，端点字母要写在前面，而端点不同就是不同的射线.故只有③正确.

2.(2011·崇左中考)在修建崇钦高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，依据是______.

【解析】本题是线段的性质的实际应用，根据线段的性质直接得到答案.

答案：两点之间，线段最短

3.(2011·佛山中考)已知线段AB＝6,若C为AB的中点，则 AC＝______.

【解析】AC＝ AB＝ ×6＝3. 答案：3

4.(2012·菏泽中考)已知线段AB=8 cm，在直线AB上画线段BC使BC=3 cm，则线段AC=______.

【解析】根据题意，分类讨论：点C可能在线段AB上，也可能在AB的延长线上.若点C在线段AB上，则AC=AB-BC=8-3=5(cm);若点C在AB的延长线上，则AC=AB+BC=8+3=11(cm). 答案：5 cm或11 cm

5.(2012·随州中考)平面内不同的两点确定一条直线，不同的 三点最多确定三条直线.若平面内不同的n个点最多可确定15条 直线，则n的值为______. 2??2?1?;【解析】因为平面内不同的两点确定1条直线， 2 3??3?1??3;平面内不同的三点最多确定3条直线，即 2

平面内不同的四点最多确定6条直线，即 4??4?1??6;2

n??n?1?条直线.将直线条数 所以平面内不同的n点最多确定 2

15代入式子可求得n=6. 答案：6

问题1．阅读P149“试一试”:

（1）经过点A可以画几条直线？ A（2）经过点A、B两点可以画几条直线？

生活常识告诉我们：经过两点有 条直线，并且只有 条直线．

B问题2．操作：已知两点A、B．（1）画线段AB(连接AB)；（2）延长线段AB到点C，使BC=AB． 我们把上图中的点B叫做线段AC的 ．点B是线段AC的中点，则线段AB、BC、AC之间存在怎样的大小关系？（自己画图并体会）

问题3．C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA=6，DB=4，求CD的长度． ACDB

【问题探究】

问题1．如图，D是AB的中点，E是BC的中点，图中共有线段 条． （1）若AB=3，BC=5，求DE的长； （2）若AC=8，EC=2．5，求AD的长． ADBEC

问题2．已知：线段AB=3．

（1）操作：延长AB到C，使BC=2AB；

（2）若M、N分别为AB、BC的中点，求线段NM的长． AB

【问题评价】

1．如图，下列说法中不能判断点C是线段AB中点的是( )

A．AC=CB B．AB=2AC C．AC+CB=AB D．CB=

1AB 2 ACB2．如图 AB=8cm，点C是AB的中点，点D是CB的中点，则AD=_ ___cm． ACDB

3．如图所示，点C在线段AB上，线段AC=6 cm,BC=4 cm,点M、N分别是AC、BC的中点． （1）求线段MN的长度；

（2）根据（1）的计算和结果，设AC+BC=a,其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？ AMCNB

4．如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4三部分， CD=8． （1）求线段AB、线段BC的长度；

（2）若M是AD中点，求线段AM、线段MC的长度． ABMCD

练习：

1、判断：

(1).射线AO与射线OA是同一条射线。（ ）

(2).平面上有三个点.经过每两个点画直线，一定可以画出三条直线。（ ） (3).连结两点的线段叫做两点之间的距离。（ ） (4).经过两点的直线有无数条。（ ）

(5).在直线上取一点可得两条射线，取两点可得四条射线。（ ） (6).延长线段AB到C，使AB=AC。 ( ) (7) .AB=BC,则点B是线段AC的中点。( )

2、如果线段AB=5cm，BC= 3cm，那么A、C两点间的距离是（ ） A．8 cm B．2㎝ C．4 cm D．不能确定 3、如果线段 AB=12cm，PA+PB＝14cm，那 么下面说法正确的是（ ）

A．P点在线段AB上 B．P点在直线AB上 C．P点在直线AB外 D．P点可能在直线AB上，也可能在直线AB外

4、已知点C是线段AB的中点，AB的长度为10cm，则AC的长度为_________cm

5、已知点A、点B、点C是直线上的三个点，则下图中有_____条线段，有____射线，

有_________条直线。 A B C 若一条直线上有n个点（n?2的自然数），共有 条线段， 条射线。

6、如右图，直线L上四个点A、B、C、D，则：

AD = BD ＋ = CD＋ BC = BD－ = AC －

ABCDL考点二：角的相关知识点

考点 2 角的度量、比较与计算 表示方法 图 例 用三个大写字母表示 记 法 注意事项 ∠或 AOB表示顶点的字母要写在 ∠BOA 中间位置 当同一个顶用一个大写字母表 示 ∠O 点处的角有多个时,不能使用一个字母 表示方法 图 例 用数字结合弧来表 示 用希腊字母结合弧 来表示 记 法 注意事项 ∠1 不要漏标弧 ∠α 2.比较角的大小有两种方法:叠合法和度量法. 3.在进行角的度数计算时要明确一点:角度是60进制的,不要与 十进制混淆了.

知识点1：角的概念

自学（课本P152），归纳角的表示方法：通常用 来表示为 ；也可以表示为 ；在 情况下，角又可以用 来表示． 尝试应用，反馈矫正：

问题2．探究角的和差关系：

试一试：练一练的第2题（ P153）

问题3．度、分、秒的换算： 1?的11为1分，记作1'，即1?＝60' ，1'的为1秒，记作1\,即1'?60\ 6060强调：①度、分、秒是常用的角的度量单位； ②度、分、秒的进率是60进制．（与时间的单位时、分、秒的换算类似）

【问题探究】

问题1．(1)如图以OA为一边的角有哪几个?请按大小顺序用“＜”号连接这些角．

(2)如图中∠AOC=∠AOB+∠BOC ∠AOB=∠AOD-∠DOB

类似地你还能写出哪些有关角的和与差的关系式?请与同学交流．

OCBDA

问题2．(1)0．75°=______′ (2)78°54′=_______°

(3)1800″＝ ′=_____° (4)34．57°＝_______度______分______秒 (5)108°2′24″＝________度 (6)17°25′和17．25°相等吗？为什么

【问题评价】

1．下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形有______个．

BO1AAO1BBAO1CCBAO1DCBA

2．36．33o=______o_______′________\．

3．已知∠1=17°18′，∠2=17．18°，∠3=17．3°，则∠1、∠2、∠3按由大到小的顺序排列为____ _． 4．如下左图，图中共有_________个小于平角的角．

AOBCDE ABCDO5．如上右图，①∠AOC等于 与 的和． ②∠AOB是 与 的差或 与 的差；

③如果∠AOC=∠BOD，那么∠AOB与∠COD的大小关系是 ．

6．计算:（1）78°32′－51°47′＝____________；

（2）45°37′29″－11°23′26″×3＝ ．

问题1．如图，已知∠AOB，求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB．按要求画图： 作法：(1) 画射线O'A'．

B(2) 以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA与C，交OB于D．

(3) 以点O'为圆心，以OC长为半径画弧，交O'A'于C'． (4) 以点C'为圆心，以CD长为半径圆弧，交前一条弧于D'． (5) 经过点D'画射线O'B'．∠A'O'B'即为所求的角．

O北

南A西35O东A

问题1作图区

问题2．方位角以南北为基准，不以东西为基准．如“北偏东 60°，南偏西50°．”等．偏45°时，说成“东南、西南、东北或西北方向” 实践：如图（上左）：射线OA表示方向 ；OA的反向延长线表示 方向； 画表示南偏东30°方向的射线OC； 画表示西北方向的射线OD 问题3．阅读课本P155．如图，OC将∠AOB分成相等的两部分，OC就

A是

∠AOB的角平分线．

C1∠AOC=∠ =∠ ，或∠AOB=2∠ =2∠ ．

2OB

【问题探究】

问题1．(1) 某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西55?,把这枚指针按逆时针方向旋转80?, 则结果指针的指向 ( ) A．南偏东35o B．北偏西35o C．南偏东25o D．北偏西25o (2)8时30分时，钟表的时针与分针的夹角是多少度？

问题2．如图，∠AOB=35°，∠BOC=50°，∠COD=21°，OE平分∠AOD,求∠BOE的度数．

问题3．已知：一副三角板由一个等腰三角形和一个含30°角的直角三角形组成, 利用这副三角板构成15°角的方法很多,请你画出其中三种不同构成的示意图,并在图上作出必要的标注,不写作法．

【问题评价】

1．如图，三条直线AB，CD，EF相交于O，若∠AOD=3∠FOD，∠AOE=120°，则∠EOC的度数为（ ） A．30° B．40° C．20° D．15°

ACEBODFAAC3142BDEFCBDO

（第1题图） （第2题图） （第3题图） 2．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的个数为（ ） ①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC； A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，∠AOB=∠COD=90o，∠BOC=7∠BOD，则∠BOD的度数为（ ） A．10° B．15° C．20° D．25° 4．在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ） A．南偏西50°方向 B．南偏西40°方向 C．北偏东50°方向 D．北偏东40°方向 5．已知∠AOB=3∠BOC,若∠BOC=30°，则∠AOC等于_____________．

DN6．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=50°，∠BOC=10°，

C求∠AOD的度数．

B

MO

A

练习：如图共有几条射线?共有几个角？分别表示出来？如果有n条射线，那么共有多少个角？

A

E

B O 5.(2012·佛山中考)比较两个角的大小,有以下两种方法(规 F 则): C ①用量角器度量两个角的大小,用度数表示,则角度大的角大; ②构造图形,如果一个角包含(或覆盖)另一个角,则这个角大. 对于如图给出的∠ABC与∠DEF,用以上两种方法分别比较它们 的大小.

注:构造图形时,作示意图(草图)即可.

【解析】(1)经测量∠ABC=40°,∠DEF=66°, 所以∠ABC<∠DEF. (2)

故∠DEF大.

知识点2：角度的换算

练习：角的度量单位是：__________________; 10=__________‘ 1’

=_____________\

1、23??30'= ? 78.36??____?_____'____\

2、52?45'?32?46'?____?_____' 18.3??26?34'?____?_____' 3、时间是2：30时针与分针的夹角是____°，时间是11：10时针与分针的夹角是____°

A知识点3：角平分线

【例2】如图,∠AOB=110°,∠COD=70°,OA平分∠EOC,OB平分 ∠DOF,求∠EOF的大小.

【思路点拨】由∠AOB=110°,∠COD=70°,易得∠AOC+∠BOD= 40°,由角平分线定义可得∠AOE+∠BOF=40°,那么∠EOF= ∠AOB+∠AOE+∠BOF.

【自主解答】因为∠AOB=110°,∠COD=70°, 所以∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=40°, 因为OA平分∠EOC,OB平分∠DOF, 所以∠AOE=∠AOC,∠BOF=∠BOD, 所以∠AOE+∠BOF=40°,

所以∠EOF=∠AOB+∠AOE+∠BOF=150°.

2.(2011·邵阳中考)如图所示,已知O是直线AB上一点, ∠1=40°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是( )

COB

A.20° B.25° C.30° D.70°

【解析】选D.依据题意,结合图形可知,∠1+∠COD+∠2=180°, 而OD平分∠BOC,所以∠COD=∠2,又∠1=40°,所以有40°+2∠2 =180°,解得∠2=70°.

3.(2012·通辽中考)4点10分,时针与分针所夹的小于平角的角 为( )

A.55° B.65°

C.70° D.以上结论都不对

【解析】选B.∵时针和分针每分钟分别旋转0.5°和6°, ∴把零点时的表针所在位置作为起始位置时,则分针与时针的 夹角为:(30°×4+0.5°×10)-6°×10=65°.

4.(2012·广州中考)已知∠ABC=30°,BD是∠ABC的平分线,则 ∠ABD= .

【解析】∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD= ∠ABC, ∵∠ABC=30°,∴∠ABD=15°. 答案：15°

练习：

1、已知?AOB = 80o，OC是?AOB的平分线，则?AOC= 。

2、把一个平角分成三等份，两旁两个角的角平分线所成的角的度数为 。 3、如图，∠AOD=900，OC是∠AOD内的一条射线，OB是∠AOC的平分线， ∠AOB=300。求：∠AOC、∠COD的度数。 DC

OAB知识点4：互余，互补 【中考集训】

问题1．（1）如果 ∠α+∠β=90°那么 ∠α与∠β ；反过来，如果 ∠α与∠β互余，那么 ∠α+∠β= ；∠α= ． (2)如果 ∠α+∠β=180°那么 ∠α与 ∠β ；反过来 ，∠α与∠β互补，那么，∠α+∠β= ；∠β= ． 问题2．填表：

∠α的 度数 ∠α的 余角 ∠α的 补角 50° 45° 120° n°(0

问题3．如图，如果∠1与∠ 2互余， ∠1与∠3互余，那么∠2与∠3相等吗？为什么？

想一想：

（1）如图，如果∠1与∠ 2互余， ∠ 3 与∠4互余，

31∠1 =∠ 3,那么∠2与∠4相等吗？为什么？ （2）如图，如果∠1与∠ 2互补， ∠ 3与∠4互补，

42∠1 =∠ 3,那么∠2与∠4相等吗？为什么？

31

2余角性质： ． jj4

补角性质： ．

【问题探究】

问题1．如图：OC⊥AB，OD⊥OE，垂足均为O，图中互余的角有几对，互补的角有几对？把它们写出来．

问题2．一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数．

【问题评价】

1．如果一个角等于36°，那么它的余角是 ；它的补角是__ ___． 2． 因为∠1和∠2互余，所以 ∠2=___- ∠1； 因为∠1和∠2互补，所以∠1= - ∠2． 3．∠α的余角为47°37′57″，则∠α的补角___ _____． 4．下列图形中，∠1和∠2互为余角的是（ ）

21121212

A． B． C． D．

5．一个角的余角与这个角的补角的和比平角的

6．已知一个角的余角比这个角的补角的

3多1°，求这个角． 41还小12°，求这个角余角和补角的度数． 2

7．如下左图，∠AOB=∠COD=90°，则∠BOC与∠AOD有怎样的大小关系？为什么？

B C

AOD

8．如上右图，AB是直线，O是AB上一点，∠AOE和∠FOD都是直角，OB平分∠DOC，则图中与∠DOE互余的角为 ，与∠DOE互补的角有 ． ．

问：图中∠α与∠β的度数之间有怎样的关系？

α β

1．如果两个角的和是一个直角， 那么这两个角互为余角，简称互余． 其中的一个角叫做另一个角的余角

问：图中∠α与∠β的度数之间有怎样的关系？

α β

∠α＋∠β＝180°， 即∠α与∠β互为补角， ∠α的补角是∠β， ∠β的补角是∠α．

2．如果两个角的和是一个平角， 那么这两个角互为补角，简称互补 其中的一个角叫做另一个角的补角． 判断：

1．如果∠1＝30°，∠2＝25°，∠3＝35°，那么∠1、∠2、∠3这三个角称为互为余角．（ 错 ）

2．两块直角三角板中∠B＝30°，∠E＝60°， ∠B与∠E互为余角．（ 对 ） 注意：

1．互余、互补是指两个角之间的一种关系．

2．互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系．

例1 如图，如果∠1与∠ 2互为余角， ∠1与∠3互为余角，那么∠2与∠3相等吗？为什么？

解： ∠2与∠3相等.

因为∠1与∠ 2互为余角， ∠1与∠3互为余角， 所以 ∠ 2＝ 90 °－∠1， ∠3＝ 90 °－∠1， 所以∠2＝∠3． 同角（或等角）的余角相等；

3.如图，如果∠α与∠β互为补角，∠ α与∠γ互为补角，那么∠∠ γ相等吗？为什么？

与 β

解： ∠β与∠γ相等.

因为∠α与∠ β互为补角， ∠α与∠γ互补， 所以 ∠β＝ 180 °－∠α ，∠γ＝ 180 °－∠α 所以∠β ＝∠γ．

同角（或等角）的补角相等． 练习：

１.如图1，∠AOC＝900，∠BOD＝900，则∠１与∠３的关系是_相等 ____，其理由是________同角的余角相等 __________________.

A B ３ ２ １ O

图1

C

D

2．如图2，∠1＋∠2＝1800，∠3＋∠4＝1800， 若∠1=∠3，则∠2与∠4的关系是___相等____， 其理由是__等角的补角相等 _______________.

２ 1

4 3

图２

已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大30°，求∠α、∠β的度数 ． 解：根据题意，可得∠β＝∠α＋30°，

因为∠α与∠β互为补角，所以∠α＋∠β＝180°， 即∠α＋（∠α＋30°）＝180°，

所以∠α＝75°，∠β＝75°＋30°＝105°．

1.(2012·梧州中考)如图,直线AB和CD相交于点O,若∠AOC= 125°,则∠AOD=( )

A.50° B.55°C.60° D.65°

【解析】选B.因为∠AOD与∠AOC是邻补角,所以∠AOD+∠AOC =180°,所以∠AOD=55°. 【中考集训】

1.(2012·邵阳中考)如图所示，已知点O是直线AB上一点，∠1=70°，则∠2的度数是( )

A.20° B.70° C.110° D.130°

【解析】选C.因为∠1+∠2=180°，∠1=70°，所以∠2=180°－∠1=180°－70°=110°.

2.(2012·通辽中考)4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为( ) A.55° B.65°

C.70° D.以上结论都不对

【解析】选B.因为时针和分针每分钟分别旋转0.5°和6°，

4点10分，分针指在2上，时针从4沿顺时针旋转了10分钟，即旋转了0.5°×10=5°，因此4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角是30°×2+5°=65°.

3.(2012·厦门中考)已知∠A＝40°，则∠A的余角的度数是______. 【解析】因为∠A＝40°，所以∠A的余角的度数是90°-40°＝50°. 答案：50°

4.(2012·广州中考)已知∠ABC=30°，BD是∠ABC的平分线， 则∠ABD=______.

【解析】因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD= ∠ABC，而 ∠ABC=30°，所以∠ABD＝15°. 答案：15° 练习：

1、判断

（1）两个互补的角中必有一个是钝角（ ）(2)两个互余的角都是锐角（ ） （3）一个角的补角一定比这个角大（ ）

2、若∠α+∠β=90°, ∠β+∠γ=90°，则∠α与∠γ的关系是( )

A、互余 B、互补 C、相等 D、没有关系 3、（1）75°40′30″的余角是_______(用度分秒表示)；补角是_______(用度表示)； （2）、若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3的理由是____________________。 若∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，则∠2=∠4的理由是________________ 4、如图l－4－19所示，将书页折过去，使角顶点 A落在A′处，BC为折痕，BD 为∠A′BE的平分线，求∠CBD的度数．

【问题导学】

问题1．下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）

问题2．如图1，直线AB、CD、EF相交于点O，则∠AOF的对顶角是( ) A． ∠BCD B． ∠EOB C． ∠COE D． ∠AOC 问题3．(1)如图2，下列说法中不正确的是（ ） A．∠1与∠2是对顶角 B．∠2与∠3互余 C．∠1与∠3互余 D．∠3与∠4是对顶角

图3

(2)如图3，直线AB、CD相交于O，∠AOC+∠BOD=210°，则∠BOC=________．

【问题探究】

问题1．如图，AB、CD相交于点O,∠DOE=90°，∠AOC=72°．求：∠BOE的度数．

问题2．如图，直线AB、EF相交于点D，∠ADC=90°． （1）∠1的对顶角是______；∠2的余角有___________． （2）若∠1与∠2的度数之比为1︰4，求∠BDF的度数．

【问题评价】

1．如图，直线AB、CD相交于点F，且EF⊥AB于F，则∠1和∠2为

角，∠1和∠3互为 角，若∠2＝32°， 则∠4＝ ． 2．如图,直线AC、DE相交于O，OE是∠AOB的平分线，∠COD=50°， 试求：∠AOB的度数．

3．如图，已知直线a、b相交，∠1＝2∠2，求∠1、∠2、∠3、∠4的度数．

4．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝90°，直线MN过点O，∠1=64°，OE平分∠CON，求∠2的度数．

5．（1）平面内相交于一点的三条直线构成的对顶角共有( )

A． 3对 B． 4对 C． 5对 D． 6对 （2）如果n条不同的直线相交于一点，那么图形中共有多少对对顶角？

知识点5：对顶角

1、一对角，它们的顶点重合，它们的两条边互为反向延长线。我们把这样的两个角叫做互为对顶角。其中一个角叫做另一个角的对顶角。 2、对顶角的性质：对顶角相等。

【例3】(2012·北京中考)如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于( )

A.38° B.104° C.142° D.144° 【思路点拨】求∠BOC→求∠AOC→求∠MOC→求∠BOM 练习：

1、两条直线相交于一点，有 对对顶角，三条直线相交于一点，有 对对顶角， 2、下列图中，∠1与∠2是对顶角的图是 （ ）

3、直线AB、CD 相交于O点，∠AOC和∠BOD的和是220°，则∠BOC=____.

4、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOD－∠DOB=72°，求∠AOC和∠DOE的度数。

知识点6：方位角

方位角其实就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方向，如“北偏东30°”，“南偏西40°”等，方位角不能以正东，正西为基准，如不能说成 “东偏北60°，西偏南50°”等，但有时如北偏东45°时，我们可以说成东北方向。

练习：

1、在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ） A 南偏西50度方向 B南偏西40度方向 C 北偏东50度方向 D北偏东40度方向

2、如右图所示，由M观测N的方向是

A、北偏西60° B、南偏东60° C、北偏西30° D、南偏东30° M 考点三：平行

（1）在同一平面内，两条直线的位置关系是：

60° N

（2）经过直线外一点画已知直线的平行线的步骤（用直尺和三角板）： （3）经过直线外一点，有且只有 直线与已知直线平行，如果两条直线都与第三

条直线平行，那么这两条直线互相

问题1．画图：如图，A、B是直线l外的两点， ⑴ 经过点A画与直线l平行的直线，这样的直线能画几条？ ⑵ 经过点B画与直线l平行的直线，它与⑴中所画的直线平行吗？ ⑶ 通过画图，你发现了什么？

AlB

结论：（1）经过直线外一点， 一条直线与这条直线平行． （2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么 ．

问题2．如图，P是∠AOB外一点．

4、过点P画直线PC∥OA，与OB相交于点C；

5、过点P画直线PD∥OB，与OA的反向延长线相交于点D； 6、分别量出∠AOB，∠PCO，∠PDO，∠CPD的度数，你有什么发现？

BPOA

【问题评价】

1．下列说法中正确的是（ ）

A．如果同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线所在直线互相平行． B．不相交的两条直线一定是平行线．

C．同一平面内两条射线不相交，则这两条射线互相平行．

D．同一平面内有两条直线不相交，这两条直线一定是平行线．

2．同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．滑雪运动最关键的是要保持两只雪橇的____________．

4．如图，在长方体中，与棱AB平行的棱有 条，它们分别是 ；与棱CG平行的棱有 条，它们分别是 ；与棱AD平行的棱有 条，它们分别

是 ．棱AB和棱CG既不 ，也不 ．

5．在如图示的方格纸中，经过线段BC外一点A，仅用直尺画出线段BC的平行线．

练习：判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）在同一平面内，不相交的两条线段是平行线（ ） （2）过一点最多只有一条直线平行于已知直线（ ）

（3）过相交直线AB，CD外一点E，作直线EF平行于AB且平行于CD（ ） （4）在同一平面内不相交的两条射线是平行线（ ）

考点四：垂直

（1）如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相______,互相垂直的两条直线的

交点叫做______.，l1与l2垂直可表示成 。

（2）两条线段或射线垂直是指这两条线段或射线所在的______垂直

（3）直线外一点到这条直线的垂线段的_____________，叫做点到直线的距离。 思考：两条直线互相垂直，必须具备什么条件？

ａ． ｂ. 归纳：1、如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足

2、如图：两条直线互相垂直，可表示为a⊥b于点O或表示 为：AB⊥CD于点O。

3、当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直

线的垂线

4、如何经过一点画已知直线的垂线呢？

一靠、二移、三画线。

5、经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 把这条垂线段的长度也叫做这点到这条直线的距离。

问题1．四人一组完成课本P167页的“做一做”，从中你发现了什么？

那么这两直线相互垂直 ， 叫做垂足．

P问题2．读读画画

（1）阅读P168页，完成：已知直线a及线外一点P，过P作直线a的垂线，能画几条？

C A

O D

a

B b

a

（2）如P在直线上，情况又如何？试试看．

．

问题3．量量比比：

（1）如图直线PO垂直于AB，测量线段PA、PO、PB、PC，哪条线段最短？可得垂线段性质：

．

（2） 叫做点到线的距离．

(3)体会新知:P168①测量跳远距离； P169 ②横穿马路如何最短．

Pa

【问题探究】

问题1．如图 ，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=21°， 求∠AOM的度数．

问题2．作图题：作∠AOB=90°，在OA上取一点C，使OC=3cm，在OB上取一点D，使OD=4cm，用三角尺过C点作OA的垂线，经过点D作OB的垂线，两条垂线交于点E． （1）量出∠CED的大小；

（2）量出点E到OA的距离，点E到OB的距离．

【问题评价】

1．点到直线的距离是指这点到这条直线 ．

2．如图，?1?15,?AOC?90,点B、O、D在同一直线上，

??CB2O1A则?2= ． 第2题图

D

3．如图，CD⊥OB于D，EF⊥OA于F，则C到OB的距离是______，E到OA的距离是______， O到CD的距离是______，O到EF的距离是______． B A

CF

ACB DEO第4题图 第3题图

4．如图，AC⊥BC，垂足为C，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，点A到BC所在直线的距离是_______cm，点A到点B的距离是______cm，点C到AB的距离是 cm． 5．如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，3∠AOC=∠BOC，⑴求∠COD的度数；⑵试判断OD与AB的位置关系，并说明你的理由． CDAOB

第5题图

练习：判断

（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（ ） （2）直线的垂线和直线上的任一线段垂直（ ）

（3）对顶角中有一个角是直角时，相邻的边互相垂直（ ） （4）过点P而与直线l相交的各条线中，垂线最短（ ） （5）线段的垂线就是线段所在直线的垂线（ ） 归纳：画垂线

我们可以使用三角板的直角来验证垂直关系，那么画垂线当然也是用三角板的直角来画。先画一条直线，再试一试利用三角板的直角画出一条与它垂直的线。

（1）用三角尺画垂线。

步骤：①画一条直线；

②用三角尺上的一条直角边与这条直线重合； ③沿着三角尺上的另一条直角边画一条直线； ④标出一个直角。

（温馨提示：画完垂线后别忘了标上直角符号哦！）

（2）尝试练习：过点画直线的垂线。一定要用好三角板直角边，别忘了标上直角符号！

·A ·

A

小结：过点A画已知直线的垂线。

步骤：①用三角尺上的一条直角边与这条直线重叠。

②平移三角尺直到另一条直角边与这一点重合，再沿着这条直角边画出一条直

线。

③标出一个直角。

练习： 一、填空

1.在同一平面内的两条直线有（ ）种位置关系，即（ ）和（ ）。 2．两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相（ ）。 3．与一条直线垂直的线有（ ）条。

4．正方形的两组对边（ ），相邻的边（ ）。 二、判断。

1．课桌的长边和宽边互相（ ）。

2.长方形相邻的两条边互相垂直。 （ ） 3.互相垂直的两条直线一定相交。 （ ） 4.长方形相邻的两条边互相垂直。 （ ） 5.两条直线在同一平面内，不平行就一定相交。（ ） 三、选择题

1．过直线外一点，画一条已知直线的垂线，这样的垂线可以画（ ）条。 Ａ.2 Ｂ.2 Ｃ.无数

2．两条直线互相垂直，可以形成4个（ ）角。 Ａ.锐 Ｂ.钝 Ｃ.直 自我练习与提高

一、 填空题（每空4分，计44分）

1、如图，图中共有线段_____条，若D是AB中点，E是BC中点，

⑴若AB?3，BC?5，DE?_________； ⑵若AC?8，EC?3，AD?_________。

2、不在同一直线上的四点最多能确定 条直线。 3、2：35时钟面上时针与分针的夹角为______________。 4、如图，在?AOE的内部从O引出3条射线，那么图中共

有_______个角；如果引出5条射线，有_______个角； 如果引出n条射线，有_______个角。 5、⑴23?30?? ?； ⑵18.3??26?34'?____?_____'。

二、 选择题（每题4分，计20分）

1、 对于直线AB，线段CD，射线EF，在下列各图中能相交的是（ ）

2、 如果?1与?2互补，?2与?3互余，则?1与?3的关系是（ ）

A、?1=?3 B、?1?180???3 C、?1?90???3 D、以上都不对 3、 如图，P为直线l外一点，A、B、C为l上三点，且PB?l，那么（ ）

A、PA、PB、PC三条线段中PB最短 B、线段PB叫做点P到直线l的距离 C、线段AB是点A到PB的距离 D、线段AC的长度是点A到PC的距离 4、 如图，?1?15?,?AOC?90?,点B、O、D在同一直线上，

?CB则?2的度数为（ ）A、75 B、15 C、105 D、165? O??21AD5、 在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）

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