复合材料力学2-5章

第二章 单向层合板的正轴刚度

本章的一些讲法与讲义次序不同，请同学们注意，另外一些在材料力已阐明的概念，如应力、应变等在这里不再强调，希望大家能自学与复习。

§2—1 正交各向异性材料的特点

? 各向同性材料 ? 各向异性材料

我们这里所指的各向异性材料的特点仅仅是指在不同方向上材料的力学性质不同（机械性能）。 ? 正交各向异性材料

正交各向异性材料是一种特殊的各向异性材料。

其特点为: 这类材料有三个互相垂直的弹性对称面（与弹性对称面对称的点性质相同），在平行方向上的弹性质(力学特性)均相同。

如多层单向板，当不考虑纤维与基体性质的不均匀性，粘结层又很薄可以忽略，即把它写作“连续匀质”材料看，则三个弹性对称面

分别为：与单层平行的面及与它垂直的纵向、横向的两个切面。板上任何两点，在平行方向上的力学性质是一样的。

把这三个弹性平面相交的三个轴称为弹性主轴，也称为正轴。 下图是一种典型的正交个向异性材料，当厚度很小时可处理为正交个向异性板。

用宏观力学处理连续纤维增强复合材料层压板结构时，总是把单向层板作为基本单元来分析层合板。

层合板的组成

增强纤维排列方向一致所粘合的薄层称单向(单层)板（层），有时把很多单层粘合在一起，各层的纤维排列方向均一致，也称单向板。 ? 正轴的弹性常数

正交各向异性弹性体，1、2、3轴为它的弹性主轴，则沿这三个轴共有9各独立弹性常数。

E1、E2、E3 ——杨氏模量； G12、G13、G23——剪切模量； v21、v31、v32 ——泊松系数。

v21表示在1方向拉伸时在2方向产生的收缩效应系数；

同样，v12表示在2方向拉伸时在1方产生的收缩效应系数。

v21?v12 这点与各向同性材料不同。 并有关系式

vvvvv21v12 31?13 32?23 ?E1E2E1E3E2E3? v12、v13、v23 是不独立的系数。

顺便指出，有的文献定义v12为1方向拉伸时在2方向的收缩系数。 对正交个向异性薄板，在力学分析中可作为平面应力问题处理，此时不考虑板厚方向的弹性效应。

如果设3方向为板厚方向，则上述弹性常数G13、G23、v31、v32在方程（???关系）中不出现，因此，对这类问题独立的弹性常数只有4个：E1、E2、v21、G12 及关系式：

v21v12 ?E1E2 对单向单层板，纤维方向与垂直纤维方向为弹性主轴，分别称为

纵轴（L）和横轴（T），这时正轴弹性常数也可表示为：

EL、ET、GLT、vTL 及 vTLEL?vLT ET

§2—2 单层板面内弹性常数的确定

? 方法：有两种方法来确定单层板的四个正（主）轴弹性常数。 1、用细观力学中的计算公式； 2、由单向板试验确定；

从宏观力学研究的角度，都采用第二种方法来确定。 ? 正轴拉（压）试验： 1. 纵向单轴试验：

P1 P1

P1——载荷值； A——板横截面面积。

L——P方向上的测量标距； ?L——在P作用下L段的变形量；

l——垂直P

方向上的测量标距，?l——在P作用下横向变形量。

?1?P1A ?1??LL ?2??ll

则 E1?说明：

?1?， v21??2 ?1?1A. 由拉伸或压缩载荷可得到E1t和E1c值，对碳/环氧材料，E1t和E1c差别不大，有时不加区别；v21基本相等，在应用中不必考虑其不同；

B. 通过试验还可以得到：

?1tu——拉伸强度； ?1cu——压缩强度；

?1tu——拉伸极限应变； ?1cu——压缩极限应变。

这些数据是强度计算、结构设计的主要参数。

C. 由于单层板太薄，难于进行试验，常把若干单层粘合成单向多 层板（如16层）进行试验，测出的数据作为单层板的数据。 2. 横向单轴试验

P2 P2

?Q66?(Q11?Q12)/2?S?2(S11?S12) ?66 （2-31）

?G?E/2(1?v)?其中G?G12， v?v12?v21弹性常数又减少一个，只有两个独立的。

例题（P23）：（要注意单位一致性） A、根据基常数E1、E2、v21、G21 计算Sij； B、根据应力?i和Sij计算?i； C、做应变图。

??1?S11?1?S12?2? ??2?S21?1?S22?2

???S?126612?Pa——N/m2 MPa——106Pa=106N/m2=N/mm2 GPa——109Pa

习题p26 2、4

§2-4 工程弹性常数的限制条件

一、 各向同性材料

泊松比范围为 0???二、 正交各向异性材料

以?1为例，当材料承受单向拉应力?1时，应变能密度为：

W?11?1?1?S11?12 221 2 ? W?0 ?S11?0，同得: S22,S66?0 另外： W?11?1?1?Q11?12 得：Q11,Q22,Q66?0 22由：Q11?mE1 得: (1?v21v12)?0 代入

v21v12 ?E1E2E2E12v?v? 得： 或 21

E1E2212利用上述正交各向异性材料工程常数的限制条件，校核实验数据，证明它们在数学弹性模型范围内是否在物理上相容，否则可怀疑模型、实验数据。

第三章 应力转换和应变转换

一般情况下，作用于单层板的应力并不与纤维平行或垂直，单层板变形后的线应变也不沿纤维方向，必须进行应力和应变的转换。 应力转换按力的平衡关系进行，应变转换按几何关系进行。 对于复合材料，这种转换用的很多，也显得非常重要，大家要好好掌握这方面的知识和结论。

§3-1 转换的术语

? 两坐标夹角正负的规定

坐标系x1oy1逆时针转向坐标系x2oy2 时，转换角?为正，反之为负。

? 单向复合材料

实际应用中多数都是从偏轴向正轴转换，因此，规定从偏轴到正轴反时针转向的角为正。

当?为负值时，只要把—?代入表达式运算即可。

§3-2 应力转换

当单向板受偏轴拉伸时，主轴方向的应力可以由单元体斜截面的平衡条件导出。

（a）

（b）

为了推导简单起见，取单位厚度，即h?1

s?ds?1??12dsssin??1?0 则?X?0 ?x?dx?1??xy?dy?1??1co?把dx?dscos?，dy?dssin?代入得

?x?dscos???xy?ds?sin???1cos?ds??12ds?sin??0

消去ds得： ?x?cos???xy?sin???1cos???12?sin??0

同理?y?0得：?ysin???xycos???1sin???12cos??0

s 如果我们令： m?co?n?sin?

?m?1?n?12?m?x?n?xy则有： ?n??m??n??m?

12yxy?1解出?1、?12：

22???m??n?y?2mn?xy?1x ????mn??mn??(m2?n2)?

?xyxy?12

由图（c）得：

（c）

?2?n2?x?m2?y?2mn?xy

22??mn(???)?(m?n)?xy 12yx写成矩阵形式

2n22mn???x???1??m??????22m?2mn???y???2???n?????mnmnm2?n2???? （3-15） ?12????xy?说明：式（3-15）表示了从偏轴应力转到主轴应力的表达式。但是，

这一关系式是普遍适用的，等式左端是新轴应力，右端是旧轴应力，从旧轴到新轴时，?角反时针旋转代入正值，顺时针旋转代入负值。

为什么要进行应力转换，因为，强度准则是用主轴应力表示的，在偏轴情况下，不同方向有不同的强度值。

??x??m2n2?2mn???1???????22m2mn???2???y???n????mn?mnm2?n2???? ?xy????12?

§3-3 应变转换

应变量和位移量一样，是一个几何量，两个不同的坐标系之间的应变转换是一种几何关系转换，与材料的力学性质无关。由讲义中图（3-3）的几何投影关系不难求出。所以，我们只给出结果

2n2mn???x???1??m??????22m?mn???y???2???n?????2mn2mnm2?n2???? (3-28) ?12????xy?

在（3-15）和（3-28）式中，转换系数矩阵元素都是m、n的幂函数，所以称为幂函数形式的转换公式。

若已知正轴应变，需要求解偏轴应变，公式为

??x??m2n2?mn???1???????22mmn???2???y???n????2mn?2mnm2?n2???? ?xy????12?第四章 单向层合板的偏轴刚度

通常单层板或由单层板组成的层合板的普遍受载情况是外载荷与主轴方向不一致，即所谓的偏轴受载情况。于是就有所谓的偏轴应力、偏轴应变。本章目的是要推出偏轴应力与偏轴应变之间的关系，实际上就是其系数矩阵——即偏轴刚度（模量）和偏轴柔度（柔量）的转换。

§4-1 偏轴模量

? 偏轴用力——应变关系 推导步骤如图所示

偏轴应变 正轴应变 正轴应力 偏轴应力

1、 由?x??1，应变正转换：

?1?m2?x?n2?y?mn?xy

22 ?2?n?x?m?y?mn?xy

22??(???)2mn?(m?n)?xy 12yx2、由正轴???关系式（2-19）得;

??1?Q11?1?Q12?2??2?Q21?1?Q22?2? ???Q?126612?3、用应力负转换（即把?代入3-15式）得：

?x?m2?1?n2?2?2mn?12

?m2n2?2mn???2mn? ?y?n2?1?m2?2?2mn?12 ?n2m2?mn?mnm2?n2????xy?mn(?1??2)?(m2?n2)?12

把前两组式子代入第三组，以?x为例：

?x?m2(Q11?1?Q12?2)?n2(Q21?1?Q22?2)?2mnQ66?12

?(m2Q11?n2Q12)(m2?x?n2?y?mn?xy) ?(m2Q12?n2Q22)(n2?x?m2?y?mn?xy)

22???2mnQ????2mn?(m?n)?xy 66yx???m4Q11?2m2n2Q12?n4Q22?4m2n2Q66?x

?????m2n2Q11?(m4?n4)Q12?m2n2Q22?4m2n2Q66?y

?m3nQ11?mn3Q12?m3nQ12?mn3Q22?2mn(m2?n2)Q66?xy

????如果把上式中?x、?y和?xy的系数分别令为Q11、Q12 及 Q16，则上

式变成：

?x?Q11?x?Q12?y?Q16?xy

同理可得：?y

?Q21?x?Q22?y?Q26?xy （4-9）

?xy?Q61?x?Q62?y?Q66?xy

??x??Q11Q12?????y???Q21Q22????Q?xy??61Q62Q16???x????Q26???y? ??Q66????xy?这就是偏轴的应力—应变关系式，式中Qij（i?j?1,2,6)称为偏轴模量或偏轴刚度。 ? 模量转换式

由上面?x的具体表达式可以得知：

Q11?m4Q11?n4Q22?2m2n2Q12?4m2n2Q66 Q12?m2n2(Q11?Q22)?(m4?n2)Q12?4m2n2Q66 Q16?m3nQ11?mn3Q22?(mn3?m3n)Q12?2(mn3?m3n)Q66

同样，由?y的具体表达式可得出：

Q21?Q12

Q22?n4Q11?m4Q22?2m2n2Q12?4m2n2Q66

Q26?mn3Q11?m3nQ22?(m3n?mn3)Q12?(m3n?mn3)Q66

由?xy的具体表达式可得：Q61?Q16 Q62?Q26 Q66?m2n2Q11?m2n2Q22?2m2n2Q12?(m2?n2)Q66 可按P36页（4-10）式写成矩阵形式

?Q?ij6?1???m,n??6?4Qij??4?1

（4-10）

s， 上式中 m?co?时针为正。

n?sin? ?仍为x轴与1轴间的夹角，反

? 倍角函数形式的模量转换

根据三角函数理论有（m4?cos4?可化成倍角函数表示的形式），即

m4?cos4??1?3?4cos2??cos4?? （4-11） 8同理，m3n、mn3、m2n2、n4均可化为cos2?、cos4?、sin2?、sin4?表示的形式见书（4-11）式，将这些倍角函数代入（4-10）式化简可把Qij用倍角三角函数来表示，其矩阵形式为：

?U1?Q11?????U1?Q22??U4?Q12??????U5?Q66???Q??O?16????Q26???O?cos2??cos2?OO1sin2?21sin2?2cos4???1??cos4?????cos4???????U2???cos4?????? （4-13）

sin4?????????U3???sin4????181 U2?(Q11?Q22)

21 U3?(Q11?Q22?2Q12?4Q66) （4-14）

81U4?(Q11?Q22?6Q12?4Q66)

81U5?(Q11?Q22?2Q12?4Q66)

8其中 U1?(3Q11?3Q22?2Q12?4Q66)

U1到U5也是表示材料刚度特性的常量，不过是一种综合常数。

因为，只有4个独立常数Q11、Q22、Q12和Q66。所以U1与U5之间必然存在一个关系式，即U1到U4是独立的，U5不独立。有2U5?U1?U4（这种表达式对微积分很方便，比幂函数表达式好）

利用倍角函数转换式，要先算出U1~U5，再计算Qij不用（4-10）式中算m。

? 关于模量分量的分析 1、模量分量的组成：

例：Q11?U1?U2cos2??U3cos4? Q22?Q11?Q11即有一个常量和两个?角倍频、四倍频余弦变量组成。 2、一阶不变量：

引入Ui（i?1,2,?5），即把（4-14）式中所有Qij均代以Qij（偏轴模量）如：U1?(3Q11?3Q22?2Q12?4Q66) 同样有：U2~U5

把Qij与Qij的关系式（4-15）代入，如：

U1?1?3(U1?U2cos2??U3cos4?)?3(U1?U2cos2??U3cos4?) 8418?2(U4?U3cos4?)?4(U5?U3cos4?)?

?1?6U1?2U4?4U5? 81?6(3Q11?3Q22?2Q12?4Q66)?2(Q11?Q22?6Q12?4Q66)?4(Q11?Q22?2Q12?4Q66)??641?(24Q11?24Q22?16Q12?32Q66) 641?(3Q11?3Q22?2Q12?4Q66)?U1 8即U1?U1不随Q而改变

同样得：U2?U2cos2? U3?U3cos4? U4?U4 U5?U5

称U1、U4、U5为一阶不变量，由于U是Qij的函数，Qij只有四个独立量，故它们之间也不互相独立，有关系：2U5?U1?U4。 3、准各向同性材料的条件：

对准各向同性材料，各方向的刚度数值应一样，即模量分量（Q11）不随角度的变化而变化。

如： Q11?U1?U2co2 s??U3co4s? 要不随Q变，只有U2?U3?0。由U2、U3表达式得： Q11?Q22 2Q66?Q11?Q12

Q16?0 Q26?0

4、偏轴模量之间的关系：

正交各向异性板有四个独立的模量，即正轴时的Q11、Q22、Q12和

Q66。现在对偏轴情况有六个模量Q11、Q22、Q12、Q66、Q16和Q26所以

它们之间必然存在两个关系式，是： Q11?Q22?2Q12?2(U1?U4)?Q11?Q22?2Q12

Q66?Q12?U5?U4?Q66?Q12

5、偏轴模量分量变化曲线之间的关系：

Q11(??900)?Q22(?)

Q16(??900)?Q26(?)

2Qu2Q22??4Q16 ??4Q26 （4-20)~（4~23） 2?2?§4-2 偏轴柔量

前面求偏轴模量是由偏轴应变导出了偏轴应力—应变的表达

?x??Qij??x?。要求偏轴柔量则是用偏轴应力导出偏应变——式：?应力表达式。

???x????1????1????x? 即：?2n22mn???x???1??m??????22??nm?2mn???y? ?2???????mnmnm2?n?????12????xy???1??S11?????2???S21????0?12??S12S2200???1????0???2? ??S66????2???x??m2n22mn???1????2???2m?2mn???2???y???n????mnmnm2?n2????

??12???xy????x???1???????2????m,n????y??????? ?12??xy? 其推导过程与模量推导完全一样，也有幂函数关系式（4-25）和倍角函数关系(4-26),只是柔量的U1~U5与S1~S4的关系式中某些系数与模量相对应的式子不同，同学们要注意。 同样有关系式：U5?2(U1?U4)

U1?U1 U4?U4 U5?U5

§4-3 偏轴工程弹性常数

? 偏轴工程弹性常数

1、定义：材料在偏轴向单轴受力时（拉、压或剪）的刚度特性。 2、特点：A、是偏轴角?的函数 B、与偏轴柔量有直接关系 如果把 ?x?0、?y??xy?0代入

??x??S11?????y???S21????S?xy??61S12S22S62S16???x????S26???y? ??S66????xy?得 ?x?S11?x 由于 即有： Ex? Vyz???E?

S11 Ey? Vyz?21 S11S22S11S121 Gxy?

S66S22 在?x作用下，不但产生?x、?y，还会产生和?xy，称为耦合。 C、存在拉剪(剪拉)耦合系数——这是各向异性材料所特有的，也是正交各向异性薄板（单向单层板）偏轴拉（压、剪）时特有的。 定义：拉剪耦合系数：?xy,x? ?xy,y?(x)?xy(x)?x?S61 S11(x)?xy(x)?y?S62 S22 ?XY.y?S16 剪拉耦合系数： ?x,xy?S22

S16)?((xxy)?(xy)xy?S66

?y,xy?S26S66

在?下标中，后面表示受载方向（面），前面的表示变形方向（变形面），如?XY.x表示在x方向受单向载荷时，xy面上的剪切变形系数。

同样有剪——拉、拉——剪耦合系数满足：

?xy,xEx??x,xyGxy

?xy,yEy??y,xyGxy （4-54）

? 偏轴工程弹性常数之间的某些关系:

如果令：

VyxVxy?ExS?a?22 EYS11?xy,xExS ??b?66

?x,xyGxyS11

?xy,yEyS??c?66 ?y,xyGxyS22例：已知x方向模量与剪切模量的比值即刚度比，可求解耦合系数的比值，进而确定?。

系数a、b、c反映了在一定的偏轴角?时的刚度比，都是偏轴角?的函数，我们可以通过选取不同的?角以获得不同的刚度比。 所以，以后研究不仅要单独研究Ex或Ey，还要研究它们的比值，就可知总体受力与变形情况。

? 偏轴工程弹性常数与正轴工程弹性常数的关系 1、演算过程

2、转换公式

2V2111114224?cos??(?)sin?cos??sin?

ExE1G12E1E2 P47~48 （4-55）式

耦合系数?对sin?是奇函数关系，?角正负号影响其值的正负。要注意。

3、弹性常数极值的求法：

因为偏轴工程常数是?的函数，在某一确定角?时取极值，按条件有：

dEx?0，解?，这对优化设计是有用的。 d? 注意：单向层合板的材料性能极值并不一定发生在材料主轴方向上，对具体情况作具体分析。有时Ex均大于EL、有时Ex均小于EL、ET，

ET。

例1 求图示碳/环氧单向复合材料板在?x?40MPa作用下的应变

值、波松系数?yx及耦合系数?xy,x。材料基本常数见P25页表2-2。 解; ???300

由表4-2及式（4-26）得：

S11?U1?U2cos2??U3cos4??69.56?51.55?S21?S12?U4?U3cos4??10.97?7.81?

11?7.81??47.69(TPa)?1 221??14.88(TPa)?1 2S16?U2sin2??2U3sin4??51.55?33?2?7.81??58.17(TPa)?1 22?x?S11?x?47.69?10?12?40?106?1907?10?6?1907??

?y?S21?x??14.88?10?12?40?106??595?10?6??595?? ?xy?S16?x??58.17?10?12?40?106??2327?10?6?2327??

Vyx??S21?0.312 S11S11?1.231

?XY.x?S61变形示意图见上。

从这一例题可知，我们要善于利用讲义中所给的各种公式和已知数据，尽量简化计算过程，不必重复书中的推导过程。 例2 P53页

4、偏轴柔量与偏轴模量之间的演算; 我们知道： ?Qij???Sij?

?1它们之间的演算就是矩阵的求递运算，为了使大家计算方便，对这样的3?3阶对称矩阵，我们给出了其递阵元素的求解公式，以后使用时可直接代公式，见书中P53页（4-63）式。

已知Qij求Sij注意Qij表示是?Qij?的行列式，不是绝对值。同样，当已知Sij求Qij时，只要把等式左边换成Qij，右边换为Sij即可。

第五章 单向层板的强度

§5-1 单向层合板的基本强度

复合材料单向层板的强度与金属材料不同，主要是复合材料的强度也是各向异性的，因此，必须用多强度指标和失效判据来估算板的强度，比金属材料复杂的多。 ? 金属材料的强度指标

只有一个：?s（或?0.2）——塑性材料

?s?(0.5~0.6)?s，不是独立的强度指标

?b——脆性材料

金属材料必须使用主应力，复合材料主应力概念不再适用，必须使用正轴应力或主轴应力。 ? 复合材料的强度指标

复合材料的强度问题主要涉及： 强度指标 失效判据 基本强度指标共五个，分别为：

Xt——纵拉伸强度 Xc——纵压缩强度 Yt——横拉伸强度 Yc——横压缩强度

S——面内剪切强度

拉压相同时为三个。

这些参数一般由典型的正轴单轴加载试验所确定。 例如：通过单向层合板纵向拉伸试验得到破坏时的Pu，

则; Xt??u?PuA ? 偏轴剪应力方向

偏轴剪应力方向的正负对单层板的强度有很大影响：

§5-2 失效判据

对于各向同性材料，材料力学用“强度理论”来描述破坏条件， 例如最大拉应力理论认为：当结构在复杂应力状态时的最大拉应力达到了同样材料在单向拉伸时的极限应力，就认为结构破坏。

在各向异性材料中，用失效判据来代替强度理论，它与强度理论一样是一种假设。

? 失效判据

1. 最大应力失效判据

定义：不论什么应力状态，只要单向层合板正轴方向的任何一个应力分量达到极限应力时，材料就失效。

??1?Xt??2?Yt?失效表达式 ??或 |?1|?Xc或 |?2|?Yc?12?s （5-1）

只要单层板内任一个正轴应力（主向应力）满足上述等式（或左端项大于右端项）就认为材料失效。

说明：A. 失效判据习惯上不写“?”，但应注意“?”肯定是失效； B. 式（5-1）中表示了五个公式，是互相独立，求解时先把偏轴应力转换成正轴（主向）应力，再代入判据。

2. 最大应变失效判据

定义：不论什么应力状态，当单向层合板正轴向的任何一个应变分量达到极限应变时，材料就失效。 表达式为： ?1??xt （或?1??xc）

?2??yt （或?2??yt (5-2)

?12??s

??xt?XtE1?xc?XcE1??yt?YtE2?yc?YcE2?根据线弹性假设： （5-3） ???SG12?s利用正轴应力—应变式： ?1?S11?1?S12?2??1E1?V21?2 E1Xt?1V21???2 于是（5-2）式可写成：?1??xt?E1E1E1 则应变失效判据可写成用应力和基本强度表达的形式，所以有：

??1?V21?2?Xt??1?V21?2?Xc??2?V12?1?Yt?? 或 ??V??Y?c?2121??S12?

3．蔡—希尔（Tsai-Hill）失效判据

由各向同性材料的形状改变必能理论推广而来。表达式： ???1?2????1 （5-10） ?????2X?X??Y??S???2?2?1?2??12?2定义：当单向层合板的面内正轴应力（主向应力）满足上述判据式时，层板就失效。 说明：

A、是从各向同性材料中的“形状改变必能”强度理论引申得来，本身无明确的物理意义。

Y为Yt；X为Xt；X为Xc；B、当?1?0，同样当?2?0，?1?0，?2?0，Y为Yc。

用一个式子不能计算拉、压不同的材料，显然，当拉、压相同时

可以。

C、考虑了各应力（各单轴强度）之间的相互影响，对前一个判据有所改进。

D、某些方面考虑不够(如何更全面考虑“耦合”效应，如何用一个表达式来描述拉、压)

§5-3 蔡-胡（Tsac-Wu）失效判据

? 判据式

f??i??Fij?i?j?Fi?i?1 （i,j?1,2,6） （5-11）

这是用指标表示法的简洁形式，把它展开后即为：

22F11?12?2F12?1?2?F22?2?F66?6?2F16?1?6?2F26?2?6?F1?1?F2?2?F6?6?1（5-12）

其中：F16?F61 F26?F62

式中?6??12，Fij(Fi)是系数，由单轴试验或简单的双轴试验确定。 ? 系数Fij、Fi的确定

1. 正轴剪切应力?6的正负对板强度无影响

即当?6为负时，（5-12）式为：

22F11?12?2F12?1?2?F22?2?F66?6?2F16?1?6?2F26?2?6?F1?1?F2?2F6?6?1

（5-13）

两式相减得： 4F16?1?6?4F26?2?6?2F6?6?0 由于?1、?2、?6有任意多种组合，要满足上式，只有：

F16?F26?F6?0

于是（5-12）式变为：

22F11?12?2F12?1?2?F22?2?F66?6?F1?1?F2?2?1 （5-14）

2. 纵向拉伸和压缩试验：

由于（5-14）式适合任何应力状态，故也适应单向应力状态，在拉伸载荷下，?1?Xt， ?2??6?0则（5-14）式变成：

2 F11Xt?F1Xt?1

2在压缩载荷下，?1?Xc?0。则： F11Xc?F1Xc?1

联立求解上二式得： F11?3. 横向拉伸和压缩试验。

111 F1? ?XtXcXtXc分别取?2?Yt和?2?Yc ?2??6?0 则得： F22?4. 面内剪切试验。

由于材料主向的剪切强度与剪应力正负号无关，因此，在上面已得出了?6的奇函数项系数为0，在（5-14）中只有一项，把?6?S代入得：

F66?5. F12的确定：

在（5-14）式中共有六个基本强度系数，五个可由基本强度破坏试验确定，交叉项系数F12与两个应力?1、?2有关，不能由材料的任

1 2S111 F2?? YtYcYtYc

何单向实验来确定，必须采用双轴向加载试验，可取?1??2??0，

?6?0

而?0是?1??2，代入（5-14）?6?0条件下达到破坏时的极限应力。式，并考虑到以求得的系数得：

?11??1111?1???F12?1???????2??X?0?XXXYY2?0ctc??tcYtYc??t?2????0? （5-15） ??显然，这个理论包含了所有的强度指标，可以说这一理论更具有普遍性。

? 强度参数F12的讨论;

1. 试验测定F12的困难性：双轴试验较复杂，?0值不易精确测定，现在还缺少标准试验方法来确定。 2. F12的取值范围：

考虑特殊情况：取?6?0。Xt?Xc，Yt?Yc 则 F1?1111??0 F2???0 XtXcYtYc2则（5-14）式可变成：F11?12?2F12?1?2?F22?2?1 （5-16）

从数学角度上分析式（5-16），这是一条平面上的二次曲线。判

2别式为： F11F22?F12

?引入正则化强度参数化简方程：F12，?i? （i?1,2）并令

?F12?F12*F11F22?F12?F12F11F22

???1F11??1????2F22??2??2?1?1?F11??2

F22代入（5-16）式则可化为：

??21?2F?????212

?12?1?2?22?1 （5-17）

曲线判别式为：1?F 可能表示三种曲线之一，即：

?由F12的取值所决定。

从强度角度来说，这个曲线方程只能表示椭圆，也就是说，我们

?要把F12的取值限制在椭圆情况内，如图所示。

??于是只有1?F12?1 ?0，即： ?1?1?F122

? 3. F12近似值;

上面给出了取值范围，实际取多大值有待进一步研究。在缺少可靠的双轴向试验数据时，Tsai建议取：

1?F??F?F ∴ 1212F11F22 2?12 这是与各向同性材料中来赛斯（Mises）判据对照得来的。 当?xy?0时，Mises准则可化为：

??1???2?s???2???1?2??????????????s??s122????1 ?对各向同性材料，F11??1???1F11?22?s代入上式并注意到

?1?? ?2??2F22?2 ?s?s??则有： ?1???2??1??2?1 （5-18） ????。 与式(5-17)比较得：2F12??1 即F1212

? 应变空间中的失效判据

在平面应力空间中失效判据（5-11）中的应力，可以通过应力-应变关系，用应变来代替，则用指标表示时为：

?i?Qik?k (i,k?1,2,6)

?1?Q11?1?Q12?2?Q16?6

代入（5-11）式得:

FijQikQif?k?f?FiQij?i?1 (i,j,k,f?1,2,6) （5-19）

Gkf?FijQikQif?? 设： Gj?FiQij? 于是有： Gkf?k?f?Gj?j?1 (5-20)

在单向板正轴向上，如同应力空间式子一样有： G16?G26?G6?0 故（5-19）展开为：

22G11?12?2G12?1?2?G22?2?G66?6?G1?1?G2?2?1 （5-21）

式中; G11?F11Q11Q11?F12Q11Q21?F21Q21Q11?F22Q21Q21

22 ?F11Q11?2F12Q11Q12?F22Q12 22 G22?F22Q22?2F12Q22Q12?F11Q12

2 G12?F11Q11Q12?F12(Q11Q22?Q12)?F22Q12Q22

G66?F66Q66

2G1?F1Q11?F2Q12

G2?F1Q12?F2Q22 (5-22) 这样使用单向板的主向应变来判断是否失效。

? 偏轴下的失效判据

在一般情况下，需将偏轴应力转换成正轴应力，再代入相应的失效判据进行强度校核，但对于Tsai-Wu判据，因为强度参数具有张量属性，使在偏轴时和正轴时判别式的数学形式一样。这就可直接从偏轴应力来进行强度估算。

注意：这只是对Tsai-Wu判据才有此属性，张量具有不变性。由于在正轴时有两种表达形式：应力空间，应变空间。 1. 偏轴应力空间表达式

为了区别主轴应力和偏轴应力，设所有偏轴应力带上标“—”，如

?x??1 ?y??2 ?xy??6

则主向应力为：

?1?m2?x?n2?y?2mn?xy?m2?1?n2?2?2mn?6

?2?n2?1?m2?2?2mn?6

?12??mn?1?n2?y?mn?2?(m2?n2)?62 代入Tsai-Wu应力式（5-14），展开归并得：

222?mnF)? (m4F11?n4F22?2m2nF12661

?2(m2n2F11?m2n2F22?(m4?n4)F12?m2n2F66)?1?2

4422222 ?(nF11?mF22?2mnF12?mnF66)?2

?(4m2n2F11?4m2n2F22?8m2n2F12?(m2?n2)F66)?62

33333 ?2(2m3nF11?2mnF22?2(mn?mn)F12?(mn?mn)F66)?1?6

?2(2mn3F11?2m3nF22?2(m3n?mn3)F12?(m3n?mn3)F66)?2?6

?(m2F1?n2F2)?1?(n2F1?m2F2)?22?2mn(F1?F2)?6?1

令各系数为：F11、F12、F22、F66、F16、F26、F1、F2、F6。 则上式可写成：

222 F11?1?2F12?1?2?F22?2?F66?6?2F16?1?6?2F26?2?6

?F1?1?F2?2?F6?6?1 那么这些系数可写成矩阵形式：

?F11??m4???4?F22??n?F12??m2n2????22?F66??4mn?F??2m3n?16??3??F26????2mn??F11????m42m2n2m2n2??F22?m2n2m4?n4?m2n2??????

4m2n2?8m2n2(m2?n2)2???2mn32(mn3?m3n)mn3?m3n??F12????33333?2mn2(mn?mn)mn?mn??F66????n42m2n2m2n2（5-48）

?F1??m2n2??F1????22??F?nm ??? （5-49） ??2????F6??2mn?2mn???????F2?说明：a. 形式与正轴情况一样，只是F16?0、F26?0、F6?0。 b. Fij~Fij之间的系数矩阵同柔量转换矩阵（4-25）完全一样所以这一转换相当于柔量转换。 c. 增加了矩阵形式（5-49） 倍角函数转换：

在柔量转换中有两种形式，除幂函数形式外，还有倍角函数形式，那么（5-48）式也同样可用倍角函数来表示。

?F11??U1(F)???(F)?F22??U1(F)?F12??U4 ????(F)?F66??U5?F??0?16????F26????0?cos2??cos2?00sin2?sin2?cos4???I????cos4????(F)cos4???U2???? （5-50）

?4cos4?????2sin4?????(F)??2sin4???U3????(F)??F1??1cos2???P12??????F?1?2cos2?? （5-51） ?2?????q(F)??F6???02sin2??????12?说明：式（5-50）中的Ui(F) (i?1,2,3,4,5)表达式与柔量转换时用的Ui 相同，只是要求把P（4-27）中的Sij换成Fij。 2. 应变空间表达式

同样，可使用偏轴应变代入应变空间失效判据，这时Gij~Gij的转换同模量Qij~Qij转换。

?G11??m4???4?G22??n?G12??m2n2????22?G66??mn?G??m3n?16??3??mn?G26?????G11????m42m2n24m2n2??G22?m2n2m4?n4?4m2n2???? （5-52） 2222222??mn?2mn(m?n)????mn3mn3?m3n2(mn3?m3n)??G12????33333?mnmn?mn2(mn?mn)??G66????n42m2n24m2n2

?G1??m2n2??G1???2?2??G?nm ???? （5-53） ?2????G6??mn?mn???????G2?同样，也有倍角转换形式：

?U1(G)?G11??(G)???U1?G22??U(G)?G12??4(G)????U5?G66???G??0?16????G26???0??cos2??cos2?001sin2?21sin2?2cos4????I?cos4?????cos4???(G)???U2??4cos4???? （5-54）

???sin4??????(G)??U3???sin4????当然，Ui(G)与模量式转换中的Ui表达式相同，只是把Qij换成Gij即可。

例题1： 试用Tsai-Wu判据求解碳/环氧单层板材料在??450偏轴下

的拉、压强度。

解; ?1?0 , ?2??6?0?F11?1?Fx?x?1 m?cos450?22 n?sin450? 22F11?m4F11?n4F22?2m2n2F12?m2n2F66

1(1.129?370.7?2?10.23?500.5)?217.97(GPa)?2 41F1?m2F1?n2F2?(?0.387?26.17)?12.89(GPa)?1

2?代入判据式：212.97?12?12.89?1?1?0 代入?1解得：

44.65?0.04465?12.89?12.892?4?212.97?1?(GPa)??GPa?MPa

?105.22?212.97??0.105 即材料在??450偏轴下受载时：

拉伸强度为44.65MPa，压缩强度为105.2MPa

例题2 试求由Tsai-Wu判据求出碳/环氧材料在??450偏轴下的剪切

强度。

解： ?1??2?0 ?6?0

? 判据为： F66?62?F6?62?1

由表5-3得：F66?4m2n2F11????392.3(GPa)?2 F6??26.56(GPa)?1

?392.3?62?26.56?6?1?0

解得：?6???0.09464?94.64Gpa??Gpa

??0.02693?26.93即正剪切时强度为94.64MPa，负剪切时强度为?26.93MPa

注：如何依据纤维方向，画受力后单层板的变形图？

§5-4 强度比

失效判据能方便地进行强度核算，代入即可，但在确定单向板的极限应力时就存在一定的困难，这是因为在一般情况下，单向板上有三个应力（?1,?2,?12)同时作用，要通过一个判据来解出这三个应力极限值不可能（Tsai-Hill,Tsai-Wu）

为解决这个问题，引入“强度比”概念，在一定假设条件下，利用这一参数就可解决极限应力问题。 ? 强度比 1. 强度比定义：

在所作用的应力下，极限应力的某一分量与其对应的作用应力分 量的比值。用R表示，则有;

?i(a)R??i （i=1、2、6） (5-56)

式中：?i——作用的应力分量， ?i(a)——对应于?i的极限应力分量。 2. 假设条件：

对于任一个作用的应力状态，各应力分量以确定的比例逐步增 加，直至失效。于是(5-56)式可进一步写成;

R??1(a)?2(a)?6(a) (5-58) ???1?2?6各应力分量与载荷的关系

3. R的特点

A、R?1时，表示失效，它的具体数值是板的安全余度的一种度量，例如:R?2,表示该板还有一倍的强度余量，还可再加一倍的应力，板便失效。

B、R不能小于1.

? 各种失效判据的强度比方程; 1. Tsai-Wu判据

由强度比方程可得： ?i(a)?R?i (i?1,2,6)

那么把强度值?i(a)代入判据等式右边应该等于1，即应该满足失效判据，所以有:

Fij?i(a)?j(a)?Fi?i(a)?1

2F(??)R?Fi?iR?1?0 代入?i(a)有： ijij上式中：Fij，Fi是与材料有关的强度参数，是已知的。

?i （i?1,2,6）是我们计算时的外力作用时的应力值，也已知。

于是解出R值两个根。一个对应于给定的应力分量。另一个对应于给定的应力大小相同方向相反的应力分量。 求出R后可代入R??i(a)式求出极限应力?i(a)。 ?i由于应力与应变的线性关系，所以还有：

?i(a)?i(a)R???i?i

说明：A、对Tsai-Wu判据可代?i(a)?R?i （偏轴应力）

B、对于其它判据也可写出强度比方程带入，写成用强度比表示的判据式，但必须都是正轴应力。 2. 最大应力判据

?1R?X?0 ?2R?Y?0 ?12R?S?0 ?1?0时用Xt，?1?0时用Xc。?2同。 3. 最大应力判据

?1?VTL?2R?X?0 ?1?0用Xt，?1?0用Xc。 ?2?VTL?1R?Y?0 ?2?0用Yt，?2?0用Yc。 4. Tsai-Hill判据;

2????2???2????12??21212? ??????2????R?1?0 ??xyx?s?????????注意： ?1?0用Xt，?1?0用Xc。?2同。

例题：单层板T300/648受力如图所示，求解在给定载荷下的强度比和恰好发生破坏时的载荷值（即Px、Py和Ps的组合值）。

已知： px??x??100MPa py??y??50MPa

ps??xy??10MPa ??60? Xt?112M Xc?785MPa 0Pa Yt?27.5MPa Yc?98.1MPa S?44.7MPas n?sin? 解： ??60? ???30? m?co?正轴应力：

22?mn2mn???x???78.84???1????????2?2m?2mn???y????71.16???2???n?????mnmnm2?n2??????26.65? ?12?????xy??设破坏应力为：

?1(a)?R?1 ?2(a)?R?2 ?6(a)?R?12 选Tsai-Hill失效判据：

??R?1?2?R?2?2R2?1?2?R?12?2???????????1?0 ??2X?S?????X??Y??解得强度比 R=1.0644 破坏时的载荷组合是： pxcr?Rpx??106.44MPa pycr?Rpy??53.22MPa

pscr?Rps??10.644MPa

主方向加载时的破坏载荷是：

p1cr?R?1??106.44?78.84??83.92MPa

p2cr?R?2??106.44?71.16??75.74MPap6cr?R?6??106.44?26.65??28.37MPa

如果 px??x?10M py??y?50MPa ps??xy?10MPa 0Pa结果又如何？

可解得强度比 R=0.54556

' p1cr?R?1?54.56MPa

p2cr?R?'2?27.28MPa p6cr?R?'6?5.456MPa

注意：

在Tsai-Hill失效判据中，R必须取正值，因为 X、Y由?正负决定；

在Tsai-Wu失效判据中，R可取正、负，但意义不同。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2l5o.html