高考一轮复习教案九(5)直线与圆锥曲线的位置关系(学生)理科用

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公众号：小升初数学压轴题天天练 模块： 九、二次曲线

课题： 5、直线与圆锥曲线的位置关系

教学目标： 掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用；

会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题．

重难点： 运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题．

一、 知识要点

1、 直线与圆锥曲线的位置关系可能通过它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的

个数问题来讨论．

往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与圆锥曲线的相交问题要用好化归思想和等价转化思想．

需要注意的是当直线平行于抛物线的对称轴或双曲线的渐近线时，直线与抛物线或双曲线有且只有一个交点．

2、弦长公式：

若直线b kx y +=与圆锥曲线交于两点()()1122A x y B x y ，，，，则弦长为

12AB x =-

或12AB y y =-． 二、 例题精讲 例1

、已知直线(:tan l y x α=+交椭圆2299x y +=于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且AB 的长不小于短轴的长，求α的取值范围．

例2、已知抛物线212

y x ax =-++与直线2y x =． （1） 求证：抛物线与直线相交；

（2） 求当抛物线的顶点在直线的下方时，a 的取值范围；

（3） 当a 在(2)的取值范围内时，求抛物线截直线所得弦长的最小值

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公众号：小升初数学压轴题天天练 例3、已知双曲线2214x y -=和定点1(2,)2

P . （1）过P 点可以做几条直线与双曲线C 只有一个公共点；

（2）双曲线C 的弦中，以P 点为中点的弦12P P 是否存在？并说明理由

例4、在抛物线24y x =上恒有两点关于直线3y kx =+y =kx +3对称，求k 的取值范围．

例5、已知抛物线2

2y x =及定点(1,1),(1,0)A B M -，是抛物线上的点，设直线,AM BM 与抛物线的另一个交点分别为12,M M ，

求证：当点M 在抛物线上变动时（只要12,M M 存在且1M 与2M 是不同的两点），直线12M M 恒过一定点，并求出定点的坐标．

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公众号：小升初数学压轴题天天练 例6、直线12y x =与抛物线2148

y x =-交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线5y =-交于Q 点．

（1） 求点Q 的坐标；

（2） 当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时，求OPQ ?面积的最

大值．

例7、直线:1l y kx =+与双曲线22

:21C x y -=的右支交于不同的两点A 、B ．

（1） 求实数k 的取值范围；

（2） 是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆通过双曲线C 的右焦点F ？ 若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．

例8、在平面直角坐标系xOy 中，

经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆2

212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．

（1） 求k 的取值范围；

（2） 设椭圆与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得

向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．

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公众号：小升初数学压轴题天天练 三、 课堂练习

1、过点（2，4）作直线与抛物线28y x =只有一个公共点，这样的直线有 ．

2、双曲线22

1x y -=的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是 ．

3、设抛物线2(0)y ax a =>与直线(0)y kx b k =+≠有两个交点，其横坐标分别是12.x x ，而直线(0)y kx b k =+≠与x 轴交点的横坐标是3x ，那么123,,x x x 的关系是 ．

4、若双曲线221x y -=的右支上一点(),P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值为 ．

5、设抛物线2

2y x =与过焦点的直线交于,A B 两点，则OA OB ?的值 ．

6、双曲线221x y -=的左焦点为F ，P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是 ．

四、 课后作业

一、填空题

1、抛物线24y x =截直线2y x b =+得弦AB

，若AB =F 是抛物线的焦点，则FAB 的周长等于 ．

2、已知椭圆22

24x y +=，则以()1,1为中点的弦的长度为 ． 3、已知直线:90l x y -+=，以椭圆22

412x y +=的焦点为焦点作另一椭圆与直线l 有公共点且使所作椭圆长轴最短时，公共点坐标是 ． 4、若直线y x m =+与椭圆2

214

x y +=相交于A B 、两点，当m 变化时，AB 的最大值是 ．

5、在ABC ?中，BC m =，()0AB AC n m n +=<<，则ABC ?的面积的最大值为 ．

6、已知椭圆()2

2

202y x a a +=>与以()2,1A 、()4,3B 为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是 ．

二、选择题

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公众号：小升初数学压轴题天天练 7、已知双曲线C ：x 2－4

2

y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）

A 、1条

B 、2条

C 、3条

D 、4条 8、

已知双曲线中心在原点且一个焦点为)F

，直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为3

2-，则此双曲线的方程是（ ） A 、14

322=-y x B 、1342

2=-y x C 、12522=-y x D 、15222=-y x 9、椭圆221mx ny +=与直线1y x =-交于,M N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的

斜率为2，则m n

的值是（ ） A

、2 B

、3 C

、2 D

、27

三、解答题

10、过点()1,0P 的直线1l 与抛物线2

y x =交于不同的A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，直线2l 过点M 和()1,0Q -．如果1l 的斜率为k ，12

k -和直线2l 的斜率的积为()f k ，求()f k 的函数关系式，并讨论其单调性．

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公众号：小升初数学压轴题天天练 11、已知双曲线22

22:1x y C a b

-=的实轴长等于2，焦距等于10. （1）求双曲线C 的方程；

（2）设M 、N 是双曲线C 的焦点，点P 在双曲线C 上，MP NP ⊥，求PMN ?的周长；

（3）设M 、N 是双曲线C 的顶点，点P 在双曲线C 上，PMN ?的周长等于6，求点P 的坐标．

12、过抛物线()2

20y px p =>上一定点()()00,0P x y y >，作两条直线分别交抛物线于()()1122,,,A x y B x y ．

（1）求该抛物线上纵坐标为2

p 的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求

120y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2kuq.html