材料力学习题综合

剪切与挤压的实用计算

重点 1、剪切变形的受力特点和变形特点；2、正确判断剪切面和挤压面；3、综合运用拉压、剪切和挤压强度条件对连接件进行强度计算； 1、注意区分挤压变形和压缩变形的不同；压缩变形是杆件的均匀受压；挤压变形是在连接件的局部接触区域的挤压现象，当挤压力过大时，会在接触面产生塑性变形或压碎现象。2、当挤压面为圆柱侧面时，挤压面面积的计算； 3、连接件接头的强度计算 1、 掌握剪切和挤压的概念；2、 连接件的受力分析；3、 剪切面和挤压面的判断和剪切面和挤压面的面积计算；4、 剪切与挤压的实用计算及联接件的设计；5、 纯剪切的概念；6、 学会工程实际中联接件的剪切与挤压强度实用计算与剪切破坏计算； 难点 基本知识点 判断 剪切与挤压

1、“挤压发生在局部表面，是连接件在接触面上的相互压紧；而压缩是发生在杆件的内部“ 答案 此说法正确

答疑 构件在相互接触才发生挤压变形；而外力的合力作用下位于构件的轴线上时，构件发生压缩变形。

2、“两块钢板用两个铆钉连接形成接头，虽然两个铆钉的直径不同，但因塑性材料具有屈服阶段的特点，最终使两个铆钉趋于均衡。因此，在计算铆接强度时，两个铆钉的受力仍可按平均分配“

答案 此说法错误

答疑 只有当铆钉的直径相同，且外力的作用线通过铆钉群的形心，铆钉的受力才可以按平均分配。 3、“剪断钢板时，所用外力使钢板产生的应力大于材料的屈服极限。” 答案 此说法错误

答疑 钢板内产生的应力应大于材料的剪切强度极限才能将钢板剪断。

4、“对于圆柱形连接件的挤压强度问题，应该直接用受挤压的半圆柱面来计算挤压应力。” 答案 此说法错误

答疑 计算圆柱连接件的挤压强度时，采用直径平面代替圆柱侧面。 选择 剪切与挤压

1、 在轴、键、轮传动机构中，键埋入轴、轮的深度相等，若轮、键、轴三种材料的许用挤压应力分别为：[ζbs1]，[ζbs2]，[ζbs3]，三者之间的合理关系是 。 A：[ζbs1]>[ζbs2]>[ζbs3] B：[ζbs1]<[ζbs2]<[ζbs3]

C：[ζbs2]>[ζbs1]>[ζbs3] D：[ζbs1]=[ζbs2]=[ζbs3]

答案 正确选择：D

答疑 只有当三者许用挤压应力相等的情况下轴、键、轮传动机构才有足够的强度。否则，总在许用压应力较小的构件上发生挤压破坏。

2、 在平板与螺栓之间加一垫片，可以提高 的强度。 A：螺栓拉伸；

B：螺栓挤压；

C：螺栓的剪切；

D：平板的挤压；

答案 正确选择：D

答疑 加一垫片增大了平板的挤压面的面积，固可以提高平板的挤压强度。螺栓的拉伸强度、剪切强度、挤压强度均没有发生变化。

3、在冲床上将钢板冲出直径为d的圆孔，冲力F与 。 A：与直径d成正比； C：与直径d3成正比；

B：与直径d2成正比； D：与直径d的平方根成正比

答案正确选择：A 答疑将钢板冲出直径为d的圆孔时钢板的剪切面的面积为πdｔ，固冲力F与直径d成正比

、方形销将两块等厚度的板连接在一起，上面的板中同时存在拉应力ζ、剪应力η、挤压应力ζbs，比较其数值大小可得：

A：拉应力ζ最大； B：剪应力η最大； C：挤压应力ζ

bs

最大； D：ζ=η=ζbs；

答案 正确选择：D

答疑 钢板的拉伸应力为ζ＝P/A=P/(2a-a)t=P/at ，剪应力为η=Q/A=P/2/(at/2)=P/at ， 挤压

应力为：ζbs=F/Abs=P/at（图示中：红线代表剪切面、蓝线代表挤压面。）

选择 剪切与挤压

5、图示中接头，水平杆采用a×b的矩形截面，斜杆与水平杆的夹角为α，其挤压面的面积为： A：bh; B：bhtanα C：bh/cosα D：bh/(sinα·cosα)

答案 正确选择：C

答疑接触面为平面时，挤压面取接触面的面积。接触面由图中的红线部分代表，接触的深度为b，高度为h/cosα。

6、厚度均为ｈ的两块钢板用圆锥销连接，圆锥销在上端的直径为D，下端直径为d，则圆锥销受剪面积为 ；挤压面积为 。 A：πD2/4；

B：πd2/4； C：π[(D+d)/2]2/4； D：h(3d+D)/4；

答案 正确选择：受剪面积C、挤压面积D

答疑 剪切面为两组力的作用线相互交错的截面面积，此时两组力的作用线的交错面发生在圆锥销的中间截面处，且是圆截面。交错面处的直径为上、下端直径的平均值；钢板与圆锥销相互接触的部分为圆柱侧面，固挤压面取直径平面。考虑到上半部分的直径平面要大于下半部分的直径平面，固挤压面的面积取下半部分的直径平面、且直径平面的形状为梯形。Abs=((D+d)/2+d)h/2=h(D+3d)/2/2=h(3d+D)/4 7、一联轴器，由分别分布在半径为R1和R2圆周上的8只直径相同的螺栓相连接，则内圈（R1）螺栓横截面上的剪应力η1和外圈（R2）螺栓横截面上的剪应力η2的比值为 。 A：η1/η2=1/1

B: η1/η2=R2/R1

C: η1/η2=R1/R2 D：η1/η2=R12/R22

答案 正确选择：C

答疑 两圈上的螺栓传递扭矩，螺栓采用相同的直径，螺栓受力与其所在的半径成正比，固螺栓的剪应力与其所在的半径成正比。

填空 剪切与挤压

1、判断剪切面和挤压面时应注意：剪切面是杆件的两部分有发生 趋势的平面，挤压面是构件 的表面。

答案 相互错动、 相互压紧

2、在图示的单元体中，长度保持不变的线段是 ，长度伸长的线段是 ，缩短的线段是 。

答案 长度保持不变的线段是 AB、BC、CD、DA ；长度伸长的线段是 AC ；缩短的线段是BD

答疑 在剪应力的作用下，AB、CD、DA、BC只是发生相对错动，没有长度的变化；在左右一对剪应力的作用下，AB段向上错动、CD段向下错动，使得AC伸长、BD缩短，在上下一对剪应力的作用下，AD向左错动、BC向右错动，也使得AC伸长、BD缩短。

3、螺钉受力如图，其剪切面面积为 ，挤压面的面积为 。

答案剪切面面积πdh ，挤压面面积 π(D2-d2)/4

答疑 剪切面为有发生相互错动趋势的平面，此时在螺钉头以直径为d的圆柱侧面有发生相互错动的趋势，固剪切面取圆柱侧面；挤压面是构件相互压紧的表面，此时在螺钉头与构件之间相互压紧，且接触面为平面，取接触面的面积作为挤压面的面积。接触面是内径为d、外径为D的圆环面积。 4、钢板、铆钉的连接接头中，有 种可能的破坏形式。

答案 此接头可能有5种破坏形式

答疑 接头的破坏形式分别为： 钢板的拉伸、钢板的剪切、钢板的挤压；铆钉的剪切、铆钉的挤压。

5、剪应力互等定理指出：在 两个平面内，剪应力成对出现，数值相等，方向是 。 答案 相互垂直的、同时指向公共棱边或同时远离公共棱边。

6、接头如图所示，由受力分析知剪切面面积为 ，挤压面的面积为 。

答案 剪切面的面积ｂｃ、挤压面的面积为ｂｃ

答疑 剪切面为两组力的作用线相互交错的截面，剪切面如图红线所示。挤压面为两物体相互压紧的表面，如图中绿线表示

7、螺栓在拉力P的作用下，已知材料的许用剪应力是许用拉应力的0.6倍。那么螺栓的直径ｄ和螺栓头高度ｈ的合理比值是： 。

答案 ｄ/ｈ＝2.4

答疑 拉力P在螺栓杆横截面上产生的拉伸正应力为ζ=P/A=4P/πd2 ≤[ζ]，螺栓头的剪切面上产生的剪应力η＝Q/A＝P/πdh≤[η]。代入条件[η] =0.6[ζ]。得到ｄ/ｈ＝2.4。

8、图示中的结构由3部分组成,已知:[ζbs]钢>[ζbs]铜>[ζbs]铝,请问应对哪一部分进行挤压强度计算?

答案 应对铝进行挤压强度计算

答疑 铝材的许用挤压应力小，容易发生挤压破坏 9、图示中的剪切面面积 ，挤压面面积 。

A：η B：ａη C：零 D：（1－ａ4）η 答案 正确选择：B

答疑 剪应力的大小与该点到圆心的距离成正比。

10、对于下列的两个剪应力计算公式：①η=T/2πR2t 和 ②η=Tρ/IP，下列结论中是正确的是 。 A：①只适用于各种空心圆轴，②既适用于各种空心圆轴，也适用于实心圆轴；

B：对于空心薄壁圆管①、②虽然形式不同，但描述的剪应力的分布规律是完全相同的； C：①式仅利用平衡条件导出，②式曾利用平面假设和平衡条件； D：①、②两式均根据平面假设导出。 答案 正确选择：C

答疑 ①式描述的是闭口薄壁杆件在扭转变形时的剪应力的均匀分布规律，推导公式时仅利用了平衡条件；②式描述的是圆截面杆件在扭转变形时的横截面上的剪应力沿半径线性分布规律，在公式的推导中，利用了平面假设、变形几何、物理关系和平衡关系。

11、低碳钢圆轴扭转试验时表面上出现的滑移线与轴线的夹角为 。 A：45度； B：0度和90度； C：小于45度； D：大于45度； 答案 正确选择：B

答疑 低碳钢试件扭转变形时的最大剪应力发生在横截面上，且位于横截面的最外缘处；由剪应力互等定理得到在与轴线平行的方位上也有最大的剪应力，固滑移线分别出现在与轴线成0度和90度角的方位上。

12、图示中的圆轴，在极限扭矩的作用下破坏开裂，试判断当轴的材料分别为低碳钢、铸铁、顺纹木时，圆轴的破坏面（裂纹）的方向及原因。

裂纹方向： A：纵向 B：横向 C：+45度角 D：－45度角。 破坏原因： A：纵截面上的最大剪应力； B：横截面上最大剪应力 C：ζ

+45

D:ζ

-45

答案 正确选择： 低碳钢：裂纹的方向B、破坏的原因B

铸铁：裂纹方向D、破坏原因D 顺纹木：裂纹方向A、破坏原因A。

答疑 低碳钢横截面上有最大的剪应力，其抗剪强度低于抗拉强度，在横截面上由最大剪应力引起破坏；铸铁在－45度角的方向上有最大拉应力，抗拉强度低于抗剪强度，在－45度角由最大拉应力引起破坏；顺纹木在横截面和与轴线平行的纵向面上有最大剪应力，但其材料为各向异性，顺纹方向抗剪能力差，在顺纹方向由最大剪应力引起破坏。

13、下列各图中的剪应力的分布正确的是 。（扭矩的方向如图）

答案 正确选择：图1、图5

答疑 对于实心圆截面，某点扭转剪应力的大小与其所在的半径成正比，方向与扭矩的方向同向。图2、图3中圆心左侧部分的扭转剪应力的方向没有与扭矩同向。图4、5为空心圆截面，最小剪应力发生在内径上，剪应力的大小也与该点到圆心的距离成正比，但图4中内径的剪应力为零是错误的。

14、对钢制圆轴作扭转校核时发现强度和刚度均比规定的降低了20％，若安全系数不变，改用屈服极限提高了30％的钢材，则圆轴的 。 A：强度足够、刚度不够； C：强度、刚度均足够； 答案 正确选择：A

答疑 屈服极限提高了，在安全系数不变的条件下，材料的许用应力提高，而构件的最大工作应力没有改变，固强度得到了提高；由于杆件的受力不变，横截面的尺寸不变，而材料的剪变模量也几乎没有变化，固刚度没有提高。

15、圆轴扭转的变形为 。

A：横截面沿半径方向伸长； B：横截面绕轴线偏转； C：横截面绕中性轴旋转； D：横截面沿半径方向缩短。 答案 正确选择：B

答疑 圆轴在外力偶的作用下，任意两横截面象刚性圆盘一样绕轴线发生相对转动，横截面的大小、形状、间距均不发生变化。

16、在______受力情况下，圆轴发生扭转变形。

A：外力合力沿圆轴轴线方向； B：外力偶作用在垂直轴线的平面内； C：外力偶作用在纵向对称面内；D：外力合力作用在纵向对称面内。 答案 正确选择：B

答疑 圆轴扭转变形的受力特点是：外力偶的作用面与杆件的轴线垂直。

17、在同一减速箱中，设高速轴的直径为d1、低速轴的直径为d2，材料相同，两轴的直径之间的关系应当是： 。 A：d1>d2

B：d1＝d2 C：d1

D：无所谓

B：强度不够、刚度足够；

D：强度、刚度均不够

答案正确选择：C

答疑 由轴传递的功率与外力偶之间的关系M=9.549P/n可知，轴的转速越高传递的外力偶矩越小，此时圆轴横截面的内力小，圆轴所需的直径小。

18、等截面的实心圆轴，当两端作用有Mｅ的扭转力偶矩时开始屈服。若将横截面的面积增大一倍（仍为圆形），该圆轴屈服时的扭转力偶矩是： 。 A：1.414Mｅ B：2×1.414 Mｅ C：2Mｅ D：4Mｅ 答案正确选择：B

答疑 等截面的实心圆轴当两端作用有Mｅ的扭转力偶矩时开始屈服有：η＝Mｅ/Wt=ηs , Mｅ＝ηs Wt＝ηsπd3/16。若将横截面的面积增大一倍,设增大后横截面的直径为D，有πD2/4=2×πd2/4 那么直径之

’33

间的关系D=1.414d。此时Mｅ＝ηs Wt’＝ ηsπD/16=ηsπ(1.414d)/16=2×1.414 Mｅ

19、圆轴扭转时横截面上的任意一点的剪应力的大小与该点到圆心的距离成正比，方向与该点的半径垂直，此结论是根据 推知的。 A：变形几何关系、物理关系、平衡关系； C：物理关系；

D：变形几何关系

B：变形几何关系、物理关系；

答案 正确选择：B 答疑

通过变形几何关系得到：γ＝ρdθ/dx，通过物理关系得到η＝Gγ＝Gρdθ/dx。其中材料的剪变模量G、单位长度的转角dθ/dx为常量

20、下列论述中正确的是 。 A：剪应力互等定理仅适应于纯剪切情况；

B：已知A3钢的ηs=120MPa，G＝80 Gpa，则由剪切虎克定律γs=ηs/G=1.5×10-3rad； C：传动轴的转速越高，对其横截面的扭矩越大；

D：受扭杆件的扭矩，仅与杆件所受的外力偶有关，而与杆件的材料及横截面的形状、大小无关； 答案 正确选择：D

答疑剪应力互等定理是由平衡条件导出的，适用于任何情况；当应力达到ηs时剪切虎克定律γ=η/G不再成立；传动轴的转速越高，横截面的扭矩越小；受扭杆件的扭矩仅与外载有关。

填空 扭转剪应力

1、空心圆轴的外径为D，内径为d，其抗扭截面系数为： 答案 πD3(1-(d/D)4)/16

答疑 抗扭截面系数Wt=IP/R=πD4(1-(d/D)4)/32/D/2=πD3(1-(d/D)4)/16

2、一根等直的传动轴，主动轮在B、D，从动轮在A、C、E。设主动轮B、D的输入功率相等，从动轮A、C、E的输出功率也相等，只考虑扭转而不考虑弯曲变形的条件下，危险面位于： 。

答案 危险面位于AB段和 DE段

答疑 设输入的外力偶矩为M，输出的外力偶矩为M’，考虑平衡有2M＝3M’，所以：M’＝2M/3，轴的扭矩图如下，在其中的AB段、DE段有较大的扭矩。

3、铸铁圆截面构件在外力偶的作用下发生破坏，破坏之前的受力为 。

答案 受力如图

答疑 裂纹位于＋45度角的方位上，构件的受力使得裂纹张开。

4、铸铁试件扭转时，沿与轴线成45度角的螺旋面破坏，这是由该面上的 引起的。而木材试件扭转时，沿轴截面（顺纹）破坏，这时由该截面的 引起的 。 答案 最大拉应力、最大剪应力

答疑 铸铁试件扭转时，在45度角的方位上有最大拉应力，且铸铁抗拉强度低于抗剪强度，所以在45度角的螺旋面上由最大拉应力拉断；木材属于各向异性材料，顺纹方向抗剪能力差，最后沿纹理的方向由最大剪应力引起破坏。

5、铸铁圆轴受扭时，在 面发生断裂，其破坏原因是由 应力引起的。在图上画出破坏的截面。

答案 与轴线大约成45度角的螺旋面、最大拉应力，破坏方位如图中红线所示。

答疑在外力偶的作用下构件内与轴线大约成＋45度角的方位上有最大拉应力，铸铁材料的抗拉能力差，最后在此方位上由最大拉应力拉断。

6、阶梯轴承受的外力偶矩如图，圆轴的最大剪应力为 。

答案 η＝T/Wt=16T/πd3

答疑 圆轴各段上的扭矩分别为T（直径为d）、－T（直径为2d），圆轴各段上的内力大小相等，但

3

直径不同，所以最大剪应力发生在直径为d的一段轴内。η＝T/Wt=16T/πd

7、两实心圆轴分别受到1KNm和3KNm的外力偶矩的作用时，它们横截面上的最大剪应力相同，则两轴径之比为________________。 答案 d23/d13=3

答疑 η1＝T1/Wt=16T/πd13=1000×16/πd13, η2＝T2/Wt=16T/πd23=3000×16/πd33, η1=η2, 所以：有d23=3d13 整理得：d23/d13=3

8、圆轴扭转时，任意两横截面间发生________________。 答案 绕轴线发生相对转动。

答疑 圆轴扭转时，任意横截面像刚性平面一样，绕轴线旋转一个角度，不同的两个截面绕轴线旋转的角度不同。

9、已知圆轴所受外力偶矩M，分别画出图示实心圆轴、空心圆轴二种截面上剪应力沿半径各点处的分布规律：

答案 应力分布规律如图

答疑 无论是实心圆轴还是空心圆轴，横截面上的剪应力的分布规律：大小均与半径成正比，方向与该点处的半径垂直，且与横截面上的扭矩的方向同向。实心圆轴的最小剪应力发生在圆心处，为零；空心圆轴的最小剪应力发生在内径处。。

10、圆轴受到____________作用时，发生扭转变形。 答案 作用面与杆件的轴线垂直的外力偶

11、低碳钢扭转破坏的断口表明，塑性材料的 能力低于 能力。 答案 抗剪、抗拉

答疑 低碳钢扭转破坏时横截面有最大的剪应力，在与轴线成45度角的螺旋面上有最大拉应力，但低碳钢扭转破坏的断面位于横截面，低碳钢试件是被剪断的，而不是被拉断的，说明低碳钢的抗剪能力低于抗拉伸能力。

12、长为L，直径为D的圆轴受扭，在两端截面的扭转角为Φ，材料的剪变模量为G，则圆轴的最大剪应力为 。 答案ΦGD/2L

答疑 由圆轴扭转变形的虎克定律Φ=ML/GIP,整理得到圆轴的横截面上的扭矩为M=ΦGIP/L ，代入圆轴扭转的最大剪应力计算公式ηmax=M/Wt得到ηmax=ΦGIP/(LWt) 考虑到IP/Wt=D/2 固圆轴的最大剪应力ηmax=ΦGD/2L。

简述 扭转剪应力

1、解释下列名词：剪应力互等定理；

答案 在单元体相互垂直的两平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，方向同时指向公共棱边或同时远离公共棱边。

2、直径相同、材料不同的两根等长的实心圆轴，在相同的扭矩作用下，其最大剪应力、扭转角、极惯性矩是否相同？

答案 最大剪应力相等、扭转角不同、极惯性矩相同。

答疑 最大剪应力ηmax=M/Wt与扭矩成正比，与抗扭截面系数成反比，在扭矩相同、直径相等的条件下，不同材料的两根实心圆轴的最大剪应力相等；扭转变形的扭转角θ＝ML/GIP不仅与扭矩、杆长、截面尺寸有关，还与材料有关，在扭矩相同、直径相同、杆长相等、材料不同的条件下，两轴的扭转角不同；截面的极惯性矩IP＝πd4/32只与横截面的尺寸有关，与材料无关，固在直径相等的条件下，不同材料的圆轴的极惯性矩相同。

3、在减速箱中,常见到高速轴的直径较小,而低速轴的直径较大。为什么?

答案 根据轴传递的外力偶矩与转速之间的关系M=9.549P/n可知，转速越高，传递的外力偶矩越小，在横截面上产生的扭矩就小。由于内力减小，横截面的直径也就可以相应减小。所以高速轴的直径小、低速轴的直径要大。

4、画出下列低碳钢、铸铁、圆木在扭转变形下的破坏面方位，并阐述破坏由何种应力引起的,为什么会沿此方位破坏。

答案 各破坏面方位见图中红线所示

答疑 普通碳钢扭转破坏的断面位于横截面，在横截面上有最大剪应力，碳钢的抗剪能力低于抗拉能力，是被剪断的；

铸铁扭转破坏的断面位于＋45度角的螺旋面，在此方位上有最大拉应力，铸铁的抗拉能力低于抗剪能力，是被拉断的；

圆木破坏的断面位于纵向面内、顺纹理的方位，圆木的材料属于各向异性，在纹理的方位抗剪能力差，被剪断的。

5、判断下列低碳钢的二种破坏形式，分别为什么变形下的破坏？

答案 a图为低碳钢的拉伸破坏、b图为低碳钢的扭转破坏

答疑 图示中的两种破坏形式的断面均位于横截面，但a图中断面处的横截面尺寸变小了，明显的出现了颈缩现象；图b中断面处的尺寸没有变化，只是沿横截面发生破坏，是由剪应力引起的破坏，即扭转破坏。

6、分别画出圆截面铸铁杆件在拉伸、压缩、扭转破坏时的断面方位。 答案 拉伸 压缩 扭转

答疑 铸铁试件在拉伸破坏时是由于横截面上的最大拉应力引起破坏；压缩破坏是由与在轴线大约成45度角的斜面上存在最大剪应力，由最大剪应力引起破坏；扭转变形时，在与轴线大约成45度角的螺旋面上存在最大拉拉应力，由最大拉应力引起的破坏。

7、若轴传递的功率和轴的材料不变，而转速增加，则轴的直径应如何改变？ 答案 应减小轴的直径。

答疑 根据传递的外力偶矩与转速之间的关系M=9.549P/n可知，转速越高，传递的外力偶矩越小，在横截面上产生的扭矩就小。由于内力减小，横截面的直径也就可以相应减小。

8、圆截面试件受扭如图，说明a、b、c、d四种破坏形式各发生在什么材料制成的试件上，并说明破坏的原因。

答案 a木材、b低碳钢、c铸铁、d铸铁

答疑 裂纹a的方向与轴线平行，说明此方位的抗剪能力差，固顺a方向破坏的材料是木材、且是木材的顺纹方向；

裂纹b位于横截面上，在横截面上有最大的剪应力，是典型的低碳钢扭转破坏的断面； 裂纹c、d与轴线大约成45度角，是典型的铸铁扭转破坏的方位，但在图示中力偶的作用下，铸铁破坏的方位应该是裂纹c方位，如果外力偶与图示中的外力偶反向时，铸铁破坏的方位是裂纹d的方位。

9、低碳钢圆试件在受扭时，在纵、横截面上的剪应力大小相等，为什么试件总是在横截面被剪断？

答案 低碳钢试件在受扭时横截面上有最大的剪应力，低碳钢材料的抗剪能力低于抗拉能力，固断口位于横截面上，被剪断。

在试件的纵、横截面上有大小相等的剪应力，但试件却在横截面上被剪断，因为圆轴的纵向长度总比横向尺寸大的多。圆轴扭转时，在圆轴的表面存在最大剪应力，由于材料的抗剪能力差，即在表面有弱点（缺陷或横截面较小）处开始有裂痕。由于材料的各向同性以及在纵、横面上有最大的剪应力，裂纹可以向纵、横方向发展。如在纵向发展，使较长的纵剖面削弱较小，应力的改变甚微。如果裂纹向横向发展，却意味着削弱了轴的抗扭刚度，同时增加横截面上剪应力的数值，增大的剪应力又进一步扩展裂纹，直至破坏。固圆轴的裂纹容易使横截面削弱，促使横截面上的应力急剧增加，最终在横截面裂开。 10、如果钢轴材料经过锻制或抽拉，有沿轴向的纤维夹杂物，扭转时裂纹会在什么方向上？ 答案 如果钢轴材料经过锻制或抽拉，有沿轴向的纤维夹杂物，此时钢轴具有方向性，破坏时可能与竹、木材一样，在纵截面上出现剪切裂纹。

11、内外径之比为4：5的空心圆轴，若外径D不变，壁厚增加1倍，则该轴的抗扭强度和抗扭刚度分别提高多少？

答案 抗扭强度和抗扭刚度分别提高不到1倍。

答疑 α=d/D=0.8 、D－d=2t ，D-0.8D=2t 壁厚为 t=0.1D 。当外径D不变，当壁厚增加1倍时有 t’

’’’3

=2t=0.2D。α=d/D=(D-2t)/D=(D-0.4D)/D=0.6 。根据最大剪应力的计算公式：ηmax=M/Wt=16M/πD(1-α4)＝16M/πD3(1-0.84) ηmax’=M/Wt＝16M/πD3(1-α’4)= 16M/πD3(1-0.64) ηmax/ηmax’

44

=(1-0.6)/(1-0.8)=0.8704/0.5904=1.47。

θ=T/GIP×180/π=32T/GπD(1-α)×180/π,固扭转刚度与1-α成反比。θ/θ=1.47。

12、用某种塑性很好的材料制成的扭转圆试件，在扭转后，试件表面的母线变成了螺旋线。问母线有没有伸长？试件的长度和直径有无变化？

答案 母线伸长、试件的长度和直径没有变化。

答疑 取长为dx微段为研究对象，受力之前，微段的母线长为dx，受力后，母线发生倾斜（图示中的红线所示），长度有所增大，固圆轴的母线伸长。

4

4

4

’

在扭转试验中观察到的现象是：任意两横向线的大小不变、间距不变；由任意两横向线的大小不变，说明试件的横截面的尺寸没有发生变化，直径无变化；由间距不变，说明在两横截面之间没有发生拉伸或压缩现象，固试件的总长度没有变化。

13、两种材料在交界面牢固结合而形成的组合圆轴的横截面。已知：两部分的截面惯性矩分别为IP1和IP2，剪切弹性模量G1＝2G2，承受的扭矩为M。问应如何推导此组合横截面上的剪应力计算公式？横截面上的剪应力如何分布？

答疑 此问题为静不定，采用三关系法。设两部分各自承担的扭矩分别为M1和M2，两部分共同承担扭矩M，则得到静力学方程为M＝M1＋M2；二部分各自的扭转角为Φ1＝M1L/G1IP1,Φ2=M2L/G2IP2；变形协调关系为：扭转角相等Φ1＝Φ2。由物理关系和变形协调关系联合得到M1L/G1IP1＝M2L/G2IP2 ，将G1＝2G2代入后得到补充方程为： M1/2IP1＝M2/IP2；将补充方程与静力学关系联立求解得到：M1=2IP1M/(2Ip1+IP2)、M2=

IP2M/(2Ip1+IP2)，在各自的内力的作用下，横截面上的剪应力各自按线性分布，与半径成正比、与半径垂直，方向顺扭矩的方向。

1部分的最大剪应力为η1max=M1d/2/Ip1=Md/(2Ip1+IP2)；2部分的最小剪应力为η2min=M2d/2/IP2

=Md/2(2Ip1+IP2)，比1部分的最大剪应力要小；2部分的最大剪应力为η2max=M2D/2/IP2=MD/2(2Ip1+IP2)。固横截面上剪应力的分布规律如下：

14、为什么实心扭转的剪应力计算公式η=Tρ/IP只能在线弹性范围内适应，而薄壁圆筒扭转的剪应力计算公式却在线弹性、非线性弹性、弹塑性情况下都能适应？ 答疑 因为在推导实心圆轴的扭转剪应力计算公式η=Tρ/IP时，应用了剪切虎克定律，而虎克定律的适用范围是线弹性范围；薄壁圆筒扭转的剪应力计算公式的推导过程中只利用了静力平衡，适用于变形过程中的任何阶段。

15、从弹性范围应力分布的角度，说明扭转时为什么空心圆轴比实心圆轴能充分发挥材料的作用。如果圆轴由理想弹塑性材料制成，当扭转到整个截面均屈服时，空心圆轴是否仍然比实心圆轴能较充分发挥材料的作用？

答疑 从圆轴扭转的剪应力的分布规律看：实心圆轴在距离圆心较近处，剪应力数值很小，这一区域内的材料没有充分发挥作用；空心圆轴的最小剪应力在内径上，整个横截面上没有很小的剪应力存在，所以在线弹性范围内，空心圆轴比实心圆轴能够充分发挥材料的作用。

如果圆轴由理想弹塑性材料制成，圆轴最先由外径开始屈服，屈服的区域逐渐向圆心靠近，当扭转到整个截面均屈服时，剪应力在横截面上均匀分布，各处剪应力的大小均等于材料的屈服极限ηS。此时实心圆轴比空心圆轴承担的扭矩要大，实心圆轴的材料能够充分发挥作用。

16、说明：承受扭矩的两根圆轴，一根为封闭的薄壁圆环型截面、另一根为开口薄壁圆环截面上的应力种类，并画出应力的分布规律。

答疑 封闭的薄壁圆环型的横截面上剪应力均匀分布；开口薄壁圆环在每一个与中线垂直的横截面上剪应力按到中线的距离线性分布。

17、铸铁材料的圆轴受扭，画出A点破坏时断口的方位。

答案 断口方位如图中红线所示

答疑 圆轴在扭转变形时，在横截面上有最大剪应力，在与轴线成45度角的方位上存在最大拉应力，由于铸铁材料的抗拉能力低于抗剪能力，所以在A点沿与轴线成45度角的方位上出现裂纹。 18、铸铁试件在纯扭转时，沿与轴线大约成45度角的螺旋线方向断裂；轴向压缩时，沿与轴线大约成45度角方向断裂。请说明两者破坏的原因，并比较此材料抗拉、抗剪、抗压能力之间的关系。 答疑

19、请改正图中的错误。

答案

答疑 低碳钢试件破坏的断面位于横截面，邻近破坏时，横截面上的剪应力几乎均匀分布，大小为材料的强度极限；铸铁试件破坏的断面位于与轴线大约成＋45度角的方位，邻近破坏时的剪应力仍然线性分布，但最外圈的剪应力首先达到材料的强度极限。

20、实心轴和空心轴的横截面面积相等，受相同的扭矩作用，比较两个轴上的最大剪应力。 答案 实心轴的最大剪应力大于空心轴的最大剪应力。

答疑 由实心轴与空心轴的横截面面积相等有，πd12/4=π(D2-d22)/4, 整理得到：d12=D2-d22=D2(1-α2)，

33422

实心轴的抗扭截面系数为：Wt1 =πd1/16 空心轴的抗扭截面系数为： Wt2=πD(1-α)/16=πD(1-α)D(1+

6、悬臂梁受力后与大半径刚性圆柱面贴合，从此后随力P的增加，梁内弯矩 。

A：上升； B：下降； C：不变

答案 正确选择：C

答疑 悬臂梁受力后与大半径刚性圆柱面贴合时满足1/ρ=M(x)/EI。由于梁的抗弯刚度EI为常量，刚性圆柱面的曲率半径为常量，固此后梁承受的弯矩M(x)为常量。所以力P增加，梁内的弯矩不变。 7、矩形截面梁横截面上只有正弯矩。假设材料的拉伸弹性模量和压缩弹性模量的比为3：2，那么确定中性轴Z位置的原则是受拉区I与受压区II 。

A：对Z轴的惯性矩之比IZ1:IZ2＝2:3 B：面积之比A1:A2＝2:3 C：对Z轴的静矩之比 Sz1:SZ2=2:3 D：高度之比y1:y2＝2:3

答案 正确选择：C

答疑 横截面上由弯曲正应力合成的轴力N＝0，有∫ζtbdy-∫ζcbdy=0 而ζt＝Ety/ρ ζc＝Ecy/ρ 代入得到：∫ρEtyt/bdy -∫ρEcyc/bdy =0 其中ρ为中性层处的曲率半径，b为横截面的宽度，对于受拉一侧和受压一侧，二者相等，固整理得到：Et∫ytdy -Ec∫ycdy =0。其中∫ytdy为受拉一侧的面积对中性轴的面矩，∫ycdy为受压一侧对中性轴的面矩。二者之比为St/Sc=Ec/Et=2/3。

8、由两种不同材料粘合而成的梁弯曲变形，若平面假设成立，那么在不同材料的交接面处 。 A：应力分布不连续，应变连续；

B：应力分布不连续，应变连续；

C：应力、应变分布均连续； D：应力、应变分布均不连续； 答案 正确选择：A

答疑两种材料在弯曲变形后中性层处有相同的曲率，而线应变ε＝y/ρ，固线应变与点到中性轴的距离成正比，固应变连续分布。而应力ζ＝Eε，由于材料不同，固应力不连续。

9、一铸铁工字型截面梁，欲在跨中截面腹板上钻一个圆孔，其位置有四种选择，从强度的角度考虑最合理的方案是 。

答案 正确选择：A

答疑 腹板的中点处于弯曲变形的中性层处，弯曲正应力为零，所以在腹板的中间处打孔危险最小。 填空 弯曲正应力

1、高宽比为h/b=2的矩形截面梁,若将梁的横截面由竖放(A)改为横放(B),梁的最大应力是原来的 倍。

答案 梁的最大应力是原来的2倍

答疑 竖放时梁的最大应力为：ζ=M/Wz=M/bh2/6=6M/4b3 ，横放时梁的最大应力为ζ=M/Wz=M/b2h/6=6M/2b3。所以横放是竖放的2倍。

2、在推导平面弯曲正应力的公式时，提出的两个假设为 ， 。 答案 平面假设、纵向纤维间无正应力。

3、梁的某段承受正弯矩时，靠近顶面或底面的纵向纤维分别： 。 答案 受压、受拉

答疑 正弯矩的定义是使得微段梁下凸，横截面上上压下拉。 4、变截面梁的主要优点是： 。等强度梁的条件是： 。 答案

变截面梁的优点：在一定的强度、刚度条件下，节约材料、减轻自重； 等强度梁的条件：各截面上的最大正应力都相等，且都等于材料的许用压力。 5、应用公式ζ=My/Iz时，必须满足的两个条件是 和 。 答案 各向同性的线弹性材料、小变形

答疑 公式ζ=My/Iz的推导过程中应用了虎克定律且在纯弯的条件下推导出来的。

6、图示中两梁的几何尺寸和材料相同。由正应力的强度条件可得（B）梁的承载力是（A）梁的 倍。

答案 （B）梁的承载力是（A）梁的5 倍

答疑 A梁的最大弯矩为qL2/8，B梁的最大弯矩为qL2/40，在几何尺寸相等的条件下，B梁的承载力是A梁的5倍。

填空 弯曲正应力

7、图示中梁受移动载荷P的作用，当P移到 截面时，梁内的压应力最大。

答案 当P移到D截面时，梁内的压应力最大。

答疑 当载荷移到D截面时，梁承受最大正弯矩，大小为M＝P/2×4=2P，此时D截面的顶面受压，最大压应力为ζ=My/Iz=2P×2y1/Iz=4Py1/Iz；当载荷移到C截面处，梁承受最大负弯矩，大小为M＝－3P，此时C截面的底面受压，最大压应力为ζ=My/Iz=3P×y1/Iz=3Py1/Iz。所以当载荷移到D截面时，梁内的压应力最大。

8、直径为ｄ的圆截面杆受力如图，弹性摸量E、载荷P 、梁的尺寸L 、a均已知。则梁在C点处的曲率半径为ρ＝ 。

答案 梁在C点处的曲率半径为ρ＝Eπd4/(6 4Pa) 答疑

C截面处的弯矩为M=Pa，根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI=Pa/EI,所以C截面处的曲率半径的大小为ρ＝EI/Pa= Eπd4/(64Pa)

9、下列四种截面梁均是边长为ａ的正方形截面，若载荷均作用在纵向对称面内，计算四种截面梁的抗弯截面系数WZ＝ 。（b、c两种截面未经粘合）

答案 抗弯截面系数分别为 a3/6；a3/24；a3/6；a3/6

答疑 a图的抗弯截面系数为Wz=bh2/6=a3/6； b图中维粘合，是两个截面的迭放形式，抗弯截面系数取其中的一个Wz=bh2/6=a×(a/2)2/6=a3/24； c图中的也为粘合，相当于梁截面的并列排放，其抗弯截面系数为：Wz=2×bh2/6=2×a/2×a2/6=a3/6； d图截面斜放，但截面是正方形截面，截面对于任意轴的惯性矩相等均为Iz=bh3/12=a4/12，抗弯截面系数为Wz=Iz/ymax= a4/12/

a/2=a3/6

10、直径为d的钢丝绕在直径为D的圆筒上。已知钢丝在弹性范围内工作，弹性摸量为E，钢丝所受的弯矩为 。

答案 弯矩M＝ Eπd/[32(D+d)]

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答疑 钢丝绕在直径为D的圆筒上，得到钢丝的中性层处的曲率半径，大小ρ＝(D+d)/2。根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI=M/EI,得到横截面上弯矩的大小为：M= EI/ρ=Eπd4/64ρ= Eπd4/64×(D+d)/2= Eπd4/[32(D+d)] 简述 弯曲正应力

1、解释下列名词：①平面弯曲；②中性层与中性轴

答疑 平面弯曲：作用在杆件上的所有外力都作用在纵向对称面内，梁的轴线在变形后是一条位于纵向对称面内的一条平面曲线。

中性层：梁在发生平面弯曲时，横截面仍然保持为平面，沿截面高度，由底面纤维的伸长连续地逐渐变为顶面纤维的缩短，中间必有一层纤维的长度不变，此层纤维称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。

2、在房屋的建造中，常常可以看到用空心楼板和波瓦作的屋面，请用弯曲理论解释其好处何在。 答疑 由于楼板承受与楼板平面相垂直的外力，使楼板产生弯曲变形，中性层位于楼板厚度的一半处，在此处既不受拉也不受压，所以在中性层处采用空心既可以满足强度的要求，又减轻了楼板的自重。 波瓦的受力也是与其所在的平面相垂直的外力，采用波浪型是为了在横截面面积几乎不变的条件下，尽可能地提高截面的惯性矩，以减小波瓦的最大弯曲正应力。

3、材料、横截面均相同的两梁，变形后轴线为两个同心圆，那么，最大弯曲正应力哪一个大？

答案 b的弯曲正应力大

答疑 根据曲率半径与弯矩之间的关系1/ρ=M(x)/EI，考虑到ρa>ρb ,得到Ma(x)/EI

弯曲变形的平面假设：变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。

在拉压时的平面假设允许截面的大小发生变化，但横截面只是沿轴线方向有位移；

扭转时的平面假设，截面的大小、形状无变化，只是像刚性圆盘一样绕轴线产生相对转角； 弯曲变形的平面假设，横截面绕中性轴产生旋转，变形后的平面与变形前的平面有一夹角。

5、矩形截面梁的尺寸中，高h为宽度b的2倍，承受铅垂载荷的作用，如果将梁由竖放改为平放，其他条件不变，梁的强度将发生怎样的变化？

答案 梁的强度减低

答疑 竖放时ζ=M/Wz=M/bh2/6=6M/4b3，横放时ζ=M/Wz=M/hb2/6=6M/2b3；所以由竖放改为横放梁的强度降低，最大正应力是竖放时的2倍。 简述 弯曲正应力

6、有一直径为d的钢丝绕在直径为D的圆筒上，钢丝仍然处于弹性范围。为减少弯曲应力，有人认为要加大钢丝的直径，你说行吗？说明理由。 答案 此方案不行

答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI，此时钢丝的曲率半径ρ＝(D+d)/2，整理得到钢丝承受的弯矩为M(x)=2EI/(D+d)；根据弯曲正应力的计算公式ζ=M/Wz，得到ζ=2EIz/(D+d)Wz=2E/(D+d)×(IZ/Wz)=2E/(D+d)×d/2=Ed/(D+d)，由此可见钢丝内的最大正应力与钢丝的直径有关，钢丝的直径增大，钢丝的横截面上的正应力也增大，固不能通过加大钢丝直径的办法来减少钢丝内的弯曲正应力。 7、悬臂梁的刚度为EI，一端固定，另一端自由。刚性圆柱面的半径为R，若使梁变形后与圆柱面完全吻合而无接触压力，应如何加载？。

答案 施加一个瞬时针的力偶，力偶矩的大小为EI/R。

答疑 根据曲率半径为弯矩之间的关系1/ρ＝M(x)/EI，此时梁的曲率半径ρ＝R，所以有M(x)=EI/R。梁的抗弯刚度EI为常量，刚性圆柱面的半径R为常量，所以悬臂梁的横截面的弯矩M为常量，大小为EI/R。 8、用铅笔写字，笔尖折断，是什么应力导致的结果？为什么？ 答案 是拉应力导致笔尖折断

答疑 写字时，笔尖受弯，且是脆性材料，在受拉的一侧应力达到极限应力时，笔尖发生脆性断裂。

9、矩形截面梁承受纯弯曲，分别在1－1、2－2截面处有铅垂和水平方向的直径为ｄ的穿透圆孔如图。分别画出1－1、2－2截面的正应力分布图，并写出此二截面的最大正应力的计算公式。

答案 1－1截面上的正应力分布规律如下图，其最大正应力ζ=M/Wz=Mh/2/(bh3/12-dh3/12)=6M/h2(b-d)。

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