赋值法解答抽象函数的赋值

精心整理

赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略

函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x2，y=x1或y=，且x1

例1定义在(﹣1,1)上的函数f(x),对任意的x,y∈(﹣1,1)都有f(x)+f(y)=f().求证：f(x)是奇函数. 解析：在f(x)+f(y)=f()中，令x=y=0有f(0)+f(0)=f(0)，∴f(0)=0， 又令y=﹣x.有f(x)+f(﹣x)=f(0)=0，即f(x)+f(﹣x)=0，∴f(x)是奇函数. 例2已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x+1)=，(f(x)≠0，1)，若f(1)=2，求f(2002)的值. 解析：在f(x+1)=中，将x换为x+1有，f(x+2)==,1﹣)=﹣， 从而f(x+4)=﹣=﹣)=f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数， 故f(2002)=f(4×500+2)=f(2)==﹣3. 例3已知定义域为(0，+∞)的函数f(x)，对于任意的x>0、y>0时，恒有f(xy)=f(x)+f(y). (1)求证：当x>0时，f()=﹣f(x)；(2)若x>1时恒有f(x)<0，求证：f(x)必有反函数； 解析：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=0，又令y=，得f(x)+f()=f(x·)=f(1)=0， ∴当x>0时，f()=﹣f(x)； (2)设x1>0、x2>0且x11，∴f()<0，又在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=x2，y=， ∴f(x2·)=f(x2)+f().由(1)得，f()=﹣f(x1)，∴f()=f(x2)﹣f(x1)<0，∴f(x2)0时，f(x)>0.试判断f(x)的奇偶性和单调性. 解：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=0，∴f(0)=0， 又令y=﹣x，f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0，即f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数， 再设x1、x2∈R，且x10，∴f(x2-x1)>0，从而f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(-∞.+∞)上是增函数. 例5设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x,y∈[0,],都有

f(x+y)=f(x)·f(y)，且f(1)=a>0，(1)求f()、f()；(2)证明：f(x)是周期函数；(3)记an=f(2n+)，求(lnan).

解析：：(1)在f(x+y)=f(x)·f(y)中，将x、y均换为，f(+)=f()·f()=f2()≥0， 即f(x)=f2()≥0，x∈[0,1]，又x、y均换为，∴f(+)=f()·f()=f2()， 由已知f2()=f(1)=a，所以，f()=a,)，同理f()=a,).

(2)由于函数f(x)的图象关于直线x=1对称，∴f(1－x)=f(x+1)，

∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x－1)=f(x+1)，将x换为x+1得，f(x)=f(x+2)， ∴f(x)是以2为周期的周期函数； (3)略.

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于

精心整理

抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1.已知函数f(x)的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。 2解：f(x)的定义域是［1，2］，是指1?x?2，所以f(x)中的x满足1?x?4 2222从而函数f（x）的定义域是［1，4］ 评析：一般地，已知函数f(?(x))的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知f(?(x))中x的取值范围为A，据此求?(x)的值域问题。 例2.已知函数f(x)的定义域是[?1，2]，求函数f[log的定义域。 解：f(x)的定义域是[?1，2]，意思是凡被f作用的对象都在[?1，2]中，由此可得

1111?1?log(3?x)?2?()?3?x?()?1?x? 2242?11212(3?x)]所以函数f[log1(3?x)]2] 的定义域是[1，114评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）

精心整理

的定义域是A，求函数f(?(x))的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知?(x)的值域B，且B?A，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。

二、求值问题 例3.已知定义域为R的函数f（x），同时满足下?列条件：①f(2)?1，f(6)?1；②f(x?y)?f(x)?f(y)，求f（3），f5（9）的值。 解：取x?2，y?3，得f(6)?f(2)?f(3) 4f(3)?? 因为f(2)?1，f(6)?1，所以55又取x?y?3 得f(9)?f(3)?f(3)??8 5评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取x?2，y?3，这样便把已知条件f(2)?1，f(6)?1与欲求5的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用

技巧。

三、值域问题

例4.设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x?y)?f(x)f(y)总成立，且存在x?x，使得

12精心整理

f(x)?f(x)，求函数f(x)的值域。

12解：令x?y?0，得f(0)?[f(0)]，即有f(0)?0或f(0)?1。

2若f(0)?0，则f(x)?f(x?0)?f(x)f(0)?0，对任意x?R均成立，这与存在实数x?x，使得f(x)?f(x)成立矛盾，故f(0)?0，必有f(0)?1。 1212由于f(x?y)?f(x)f(y)对任意x、y?R均成立，因此，对任意x?R，有 下面来证明，对任意x?R，f(x)?0 设存在x0?R，使得f(x)?0，则f(0)?f(x00?x0)?f(x0)f(?x0)?0

这与上面已证的f(0)?0矛盾，因此，对任意x?R，f(x)?0 所以f(x)?0 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题

例5.设对满足x?0，x?1的所有实数x，函数f(x)满足

f(x)?f(x?1)?1?xx，求f（x）的解析式。

(1)?1中以xx代换其中x，

?1)?1?x解：在f(x)?f(xx精心整理 得：

再在（1）中以?x1代换x，得 ?1(1)?(2)?(3)化简得：

x3?x2?1f(x)?2x(x?1)

?1评析：如果把x和xx分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 五、单调性问题 例6.设f（x）定义于实数集上，当x?0时，f(x)?1，且对于任意实数x、y，有f(x?y)?f(x)?f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。 证明：在f(x?y)?f(x)f(y)中取x?y?0，得f(0)?[f(0)] 2若f(0)?0，令x?0，y?0，则f(x)?0，与f(x)?1矛盾 所以f(0)?0，即有f(0)?1

当x?0时，f(x)?1?0；当x?0时，?x?0，f(?x)?1?0 而f(x)?f(?x)?f(0)?1

?0 所以f(x)?f(1?x)

精心整理

又当x?0时，f(0)?1?0

所以对任意x?R，恒有f(x)?0 设???x?x122???，则x22?x1?0，f(x2?x1)?1

所以f(x)?f[x?(x1?x1)]?f(x1)f(x2?x1)?f(x1)

所以y?f(x)在R上为增函数。 评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例7.已知函数f(x)(x?R，x?0)对任意不等于零的实数x、x都有f(x?x)?f(x)?f(x)，试判断函数f（x）的奇偶性。

121212解：取x又取x11??1，x2?1得：f(?1)?f(?1)?f(1)，所以f(1)?0 ?x2??1得：f(1)?f(?1)?f(?1)，所以f(?1)?0 则f(?x)?f(?1)?f(x)，即f(?x)?f(x) 再取x1?x，x2??1因为f(x)为非零函数，所以f(x)为偶函数。 七、对称性问题

f?1例8.已知函数y?f(x)满足f(x)?f(?x)?2002，求(x)?f(2002?x)的值。

?1精心整理

解：已知式即在对称关系式f(a?x)?f(a?x)?2b中取a?0，b?2002，所以函数y?f(x)的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数y?f(x)的图象关于点（2002，0）对称。

?1所以f?1(x?1001)?f?1(1001?x)?0 ?1将上式中的x用x?1001代换，得f(x)?f?1(2002?x)?0

评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数y?f(x)对一切实数x都满足f(a?x)?f(a?x)?2b，则函数y?f(x)的图象关于点（a，b）成中心对称图形。 八、网络综合问题 例9.定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f(m?n)?f(m)?f(n)，且当x>0时，0

值范围。

解：（1）在f(m?n)?f(m)?f(n)中，令m?1，n?0，得f(1)?f(1)?f(0)，因为f(1)?0，所以f(0)?1。

精心整理

在f(m?n)?f(m)?f(n)中，令m?x，n??x

因为当x?0时，0?f(x)?1 所以当x?0时?x?0，0?f(?x)?1 而f(x)?f(?x)?f(0)?1

?1?0 所以f(x)?f(1?x)又当x=0时，f(0)?1?0，所以，综上可知，对于任意x?R，均有f(x)?0。 设???x1?x2???，则x22?x1?0，0?f(x2?x1)?1 所以f(x)?f[x?(x21?x1)]?f(x1)?f(x2?x1)?f(x1) 所以y?f(x)在R上为减函数。 （2）由于函数y=f（x）在R上为减函数，所以f(x)?f(y)?f(x?y)?f(1) 2222即有x2?y2?1 ，根据函数的单调性，有ax?y?2又f(ax?y?2)?1?f(0)2?0

由A?B??，所以直线ax?y?2?0与圆面x点。因此有2?1，解得?1?a?1。

a2?1?y2?1无公共

评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f（0）的取值问题，二是f（x）>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象

精心整理

函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。

1．判断函数的奇偶性

例1、若f(x?y)?f(x)?f(y)对于实数x、y都成立，且f(x)不恒为零，判断函数f(x)的奇偶性。 解：在f(x?y)?f(x)?f(y)中令x?y?0，得f(0)?0 又在f(x?y)?f(x)?f(y)中令y??x，得f(x?x)?f(x)?f(?x) 即f(0)?f(x)?f(?x)，因为f(0)?0，所以f(?x)??f(x) 由于f(x)不恒为零，所以函数f(x)是奇函数 例2、已知不恒为零的函数f(x)(x?R,x?0)对任意不等于零的实数x、y都有f(xy)?f(x)?f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。 解：取x??1,y?1得f(?1)?f(?1)?f(1)?f(1)?0 又取x?y??1得f(?1)?f(?1)?f(?1)?f(?1)?0 再取y??1得f(?x)?f(x)?f(?1)?f(?x)?f(x)

由于f(x)不恒为零，所以函数f(x)是偶函数 2、讨论函数的单调性

精心整理

例3、设f(x)定义于实数集上，当x?0时，f(x)?1，且对于任意实数x、y都有f(x?y)?f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。

证明：由f(x?y)?f(x)f(y)中取x?y?0，得f(0)?f2(0)

若f(0)?0，令x?0，y?0，则得f(x)?0，与f(x)?1矛盾 所以，f(0)?0，即有f(0)?1 当x?0时，f(x)?1?0 当x?0时，?x?0，f(?x)?1?0，而f(x)f(?x)?f(x?x)?f(0)?1

?0 所以，f(x)?f(1?x)当x?0时，f(0)?1?0 设???x?x12???，则x?x?0，f(x?x)?1 2121所以，f(x)在R上为增函数。 3、求函数的值域 例4、已知函数f(x)在定义域R上是增函数，且满足f(xy)?f(x)?f(y)，求f(x)的值域。

?解：当x?y?1时，f(1)?2f(1)，即f(1)?0

又因为，函数f(x)在定义域R上是增函数，所以

?

精心整理

当x?x12?0时，可设x?mx12222(m?1)

2则f(x)?f(x)?f(mx)?f(x)?f(m)?f(x)?f(x)?f(m)?0

12所以对于x?1时有f(x)?0 当0?x?x时，可设x?mx12112222(0?m?1) 2则f(x)?f(x)?f(mx)?f(x)?f(m)?f(x)?f(x)?f(m)?0 2所以对于0?x?1时有f(x)?0 综上所述，当x?R时，f(x)的值域为全体实数。

?4、判断函数的周期性 例5、函数f(x)的定义域为全体实数，对任意实c)?0，数a、b，有f(a?b)?f(a?b)?2f(a)f(b)，且存在c?0，使得f(2求证：f(x)是周期函数。 cc,b?，代入f(a?b)?f(a?b)?2f(a)f(b) 证明：令a?x?22可得f(x?c)??f(x)

所以f(x?2c)?f[(x?c)?c]??f(x?c)?f(x) 即f(x)是以2c为周期的周期函数。

精心整理

例6、若对于常数m和任意实数x，等式

f(x?m)?1?f(x)1?f(x)恒成立，求证：f(x)是周期函数。

证明：将已知恒等式中的x换成x+m得 又将上式中的x换成x+2m得 故f(x)是以4m为周期的周期函数。 5、解不等式 例7、已知函数f(x)满足(1)f(1)?1；(2)函数的值2域是[-1，1]；(3)在其定义域上单调递减；(4)对于任意实数数x、y恒有f(x?y)?f(xy) 解不等式：f?111(x)f?1()?1?x2 解：由已知条件(2)(3)知，函数f(x)的反函数存在，且f?1(1)?12， 又因为函数f(x)在定义域[-1，1]上单调递减， 设y?f1?1(x1),y2?f?1(x2)，则有x?f(y),11x2?f(y2)，

即x?x12?f(y1)?f(y2)?f(y1y2)，即有yy12?f?1(x1)f?1(x2)?f?1(x1?x2)精心整理

于是原不等式等价于：

11??1??1f(x?)?f(1)x??1??1?x1?x??11???1?1??1?x???1?x???x?01?x1?x????1?x?1??1?x?1??1??1?1?1??1??1??1?x1?x??

故原不等式的解集为{0}。 6、求函数的解析式 例8、设对于满足x?1的所有实数x，函数f(x)满

?33?x)?f()?x，求f(x)的解析式。 足f(xx?11?x33?xx?3f()?f(x)?解：将x取为xx?代入原等式，有(1) ?11?xx?13?xx?33?xf(x)?f()?又将x取为1代入原等式，有(2) ?xx?11?x(1)+(2)得，x3?7xf(x)?(x?1)22?2x 例9、设对于满足x?0,x?1的所有实数x，函数f(x)满

?1)?1?x，求f(x)的解析式。 足f(x)?f(xx?1)?1?x(1) 解：因为，f(x)?f(xx?1?112x?1)?f(?)?将x取为xx代入原等式，有f(xx(2) x?1x精心整理

1x?2又将x取为?x1代入原等式，有(3) f(?)?f(x)??1x?1x?1(1)-(2)+(3)化简得，

x3?x2?1f(x)?2x(x?1)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2kda.html