2012北京市高三二模理科数学分类汇编全集

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北京市地理二模试卷推荐度：
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2012北京市高三二模理科数学分类汇编

一、集合（必修一）

1.（2012年西城二模理1）已知集合2{|log 1}A x x =<，{|0B x x c =<<，其中0}c >．若 A B B = ，则c 的取值范围是（ D ）

A ．(0,1] B.[1,)+∞ C.(0,2] D.[2,)+∞

2.（2012年昌平二模理1）已知全集U = R ，集合}{0

42≤-=x x |x A ，}2{<=x |x B ，则B A =（ B ）

A. {0≥x |x }

B. {20<≤x |x }

C. {42≤

D. {40≤≤x |x }

二、函数（必修一）

1.（2012年朝阳二模理7）直线y x =与函数22,,()42,x m f x x x x m >?=?

++≤?的图象恰有三

个公共点，则实数m 的取值范围是（ A ）

A ．[1,2)-

B ．[1,2]-

C ．[2,)+∞

D ．(,1]-∞-

2.（2012年朝阳二模理13）一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x （x *∈N ）件.当20x ≤时，年销售总

收入为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为，该工厂的年产量为件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入-年总投资）答案：

2**32100,020,,160,20,,N N x x x x y x x x ?-+-<≤∈=?->∈?

3.（2012年海淀二模理6）为了得到函数2

log y =2log y x =的图象上所有的点的（ A ）

A ．纵坐标缩短到原来的

12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 B.纵坐标缩短到原来的1

2倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度

C.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度

D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度

三、导数及其应用（选修2-2）

1.（2012年海淀二模理13）某同学为研究函数)10()1(11)(2

≤≤-++

x x x

x f 的

性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形A B C D 和B E F C ，点P 是边B C 上的一个动点，设C P x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信

息，推知函数()f x 的图象的对称轴是；函数

()4()9g x f x =-的零点的个数是 .

答案：12

x =

；2。

2.（2012年西城二模理19）已知函数2

()1

ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，

求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，2

2()1

x f x x =

+，2

(1)(1)()2

(1)

x x f x x +-'=-+． ………………2分

由 (0)2f '=，得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………3分

（Ⅱ）2

()(1)

()2

x a ax f x x +-'=-+． ………………4分

① 当0a =时，2

2()1

f x x '=

+．

所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ……5分

当0a ≠，2

1()()

()21

x a x a f x a

x +-

'=-+．

② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x

=，()f x 与()f x '的情况如下：

故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a

+∞；单调增区间是1(,

)a a

-． (7)

分

B C D

③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：

所以()f x 的单调增区间是1

(,)a

-∞，(,)a -+∞；单调减区间是1(,)a a

-…9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）得， 0a =时不合题意． ……10分

当0a >时，由（Ⅱ）得，)(x f 在1(0,)a

单调递增，在1(

,)a

+∞单调递减，所以)

(x f 在(0,)+∞上存在最大值2

()0f a a =>．

设0x 为)(x f 的零点，易知2

012a x a

-=，且01x a

．从而0x x >时，()0f x >；0

x x <时，()0f x <．

若)(x f 在[0,)+∞上存在最小值，必有(0)0f ≤，解得11a -≤≤．

所以0a >时，若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，a 的取值范围是(0,1]． ………………12分当0a <时，由（Ⅱ）得，)(x f 在(0,)a -单调递减，在(,)a -+∞单调递增，所以)(x f 在(0,)+∞上存在最小值()1f a -=-．

若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值，必有(0)0f ≥，解得1a ≥，或1a ≤-．所以0a <时，若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，a 的取值范围是(,1]-∞-．

综上，a 的取值范围是(,1](0,1]-∞- ． ………………14分

3.（2012年朝阳二模理18）已知函数2

2()ln (0)a f x a x x a x

=++≠．（Ⅰ）若曲线()

y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：2

1()e 2g a ≤．

解：（I ）()f x 的定义域为{|0}x x >.

()()22210a a

f x x x x '=-+>.

根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=，解得1a =-或32a =

. …3分（II ）()()22222222()(2)10a

a x ax a x a x a f x x x x x x +--+'=-+==>.

（1）当0a >时，因为0x >，

由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >；由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<. 所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减.

（2）当0a <时，因为0x >，

由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-；由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-. 所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增. …9分（III ）由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，

且2

2()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a =-=-+-=---.

2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a -'=-+-=--- ，令()0g a '=，得2

e 2a =-. 当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：

e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点.

所以()2

1111(e )e ln[2(e )]3(e )2

最大值g a g =-

-?-

131e ln e e e 2

所以，当(,0)a ∈-∞时，2

1()e 2

g a ≤成立. …14分

4.（2012年丰台二模理20）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对?x 1，x 2∈R +

，都有

[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若

i i x ==∑

，证明：

l n l n 2n

n i

i i x

x =≥-

∑ *

(,)i n ∈N ．

解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，

则()ln ln(1)ln 1x f x x x x

'=--=-．

令()0f x '=，得12

x =．

当102

x <<时，()0f x '<，()f x 在1

(0,)2是减函数，

当

112

x <<时，()0f x '>，()f x 在1(

,1)2

是增函数，所以 ()f x 在12

x =时取得最小值，即1

1()ln

f =． ……4分

（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，

所以 ()ln ln()ln x f x x a x a x

'=--=-．

所以当2

a x =

时，函数()f x 有最小值．

?x 1，x 2∈R +

，不妨设12x x a +=，则

11221111ln ln ln ()ln()2ln(

x x x x x x x x x x a x a x +++=+--≥?

[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． ………………8分

（Ⅲ）（证法一）数学归纳法

ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立．

ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，

即若1221k

x x x +++= ，则112222ln ln ln ln 2k k k

x x x x x x +++≥- ．

当1n k =+时，

1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++= ．

设1

111112221

2122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++ ，

由（Ⅱ）得

11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-

11111212122

22122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++

11112122

2212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++- ．

由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2k k F x +≥--=-，命题成立．所以当 1n k =+时命题成立．

由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立，

所以若2

i i x ==∑，则 2

ln ln 2n

n i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． ……13分

（证法二）若1221n

x x x +++= ，

那么由（Ⅱ）可得

112222ln ln ln n n x x x x x x +++

1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++- 1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-

12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++- 121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++--- ln 2n =-．

5.（2012年昌平二模理18）已知函数∈+--

=a x a x

a x x f ,ln )1()(R .（Ⅰ）当1>a 时，

求)(x f 的单调区间;（Ⅱ）若)(x f 在]1[e ,上的最小值为2-，求a 的值.

解：（Ⅰ）f (x)的定义域为｛x |0>x ｝……………1分. 2

)

)(1()1(11)(x

a x x x

a a x x

a x

a x f --=

+-+=

='……3分

1>a

令0)(>'x f ，即a x x x a x x ><>--或得1,0)

)(1(2，

∴)(x f 的增区间为（0，1），),(+∞a ……4分令0)(<'x f ，即a x x a x x <<<--1,0)

)(1(2得，

∴)(x f 的减区间为),1(a …………5分（Ⅱ）①当1≤a 时， 0)(≥'x f 在]1[e ,上恒成立， ∴)(x f 在]1[e ,恒为增函数. …… 6分 21)1()]([min -=-==∴a f x f ，得.(3舍去）=a …… 7分

②当e a <<1 时，令0)(='x f ，得1或a x =. 当a x <<1时，0)(<'x f ∴)(x f 在),1(a 上为减函数；当e x a <<时，0)(>'x f ∴)(x f 在),(e a 上为增函数； 2)ln()1(1)()]([min -=+--==∴a a a a f x f ，得（舍）…… 10分

③当e a >时，0)(≤'x f 在],1[e 上恒成立，

此时)(x f 在],1[e 恒为减函数. 2)1()()]([min -=+--==∴a e a e e f x f ，得 .e a = ……12分综上可知 .e a = … 13分

6.（2012年东城二模理19）已知函数1

()()ln f x a x x a x =++-（1a >）．（Ⅰ）试讨论()

f x 在区间(0,1)上的单调性；（Ⅱ）当[)3,a ∈+∞时，曲线()y f x =上总存在相异两点11(,())P x f x ，22(,())Q x f x ，使得曲线()y f x =在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：1265x x +>.

解：（Ⅰ）由已知0x >，2222111()1()()1()1a x a x x a x a a a f x x x x x +-+

+--'=

--=-=-.

由()0f x '=，得11x a =

，2x a =. ……4分因为1a >，所以1

01a <<,且1

a a >．

所以在区间1(0,)a 上，()0f x '<；在区间1(

,1)a

上，()0f x '>.

故()f x 在1(0,

上单调递减，在1(,1)a

上单调递增． …6分

证明：（Ⅱ）由题意可得，当[)3,a ∈+∞时，12()()f x f x ''=（12,0x x >，且12x x ≠）.

即

1111a a a a x x x x +

--=

-- ，

所以121

111x x a a

x x x x ++

，[)3,a ∈+∞. ………8分

因为12,0x x >，且12x x ≠，所以2

12()2

x x x x +<恒成立，

所以

1214()x x x x >

+，又120x x +>，

所以1212

1x x a a x x ++=12

4x x >

+，整理得1241x x a a

. ……11分

令()g a 41a a

，因为[)3,a ∈+∞，所以()g a 在[)3,+∞上单调递减，

所以()g a =

1a a

在[)3,+∞上的最大值为6(3)5

g =

，

所以1265

x x +>

. …13分

7.（2012年海淀二模理19）已知函数2

1()ln()(0)2

f x a x a x x a =--

+<.（Ⅰ）求()

f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且

012a x a +<<+；（Ⅲ）当45

a =-

时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]

x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值.（本题可参考数据：

99ln 20.7,ln

0.8,ln

0.594

≈≈≈）

解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)a +∞.

(1)'()1a x a x

f x x x a

x a

-++=-+=--. …………………1分

令'()0f x =，0x =或+1x a =.

当10a -<<时，+10a >，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：

所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)a +，单调递减区间是(,0)a 和

(1,)a ++ .

……3分

当1a =-时，2

'()01

f x x -=≤+. 所以，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+ .4

分

当1a <-时，+10a <，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：

所以，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)a +，单调递减区间是(,1)a a +和

(0,)+ .

…5分

（Ⅱ）证明：当12(ln 21)0a -<<-<时，由（Ⅰ）知，()f x 的极小值为(0)f ，极大值为(1)f a +.

因为(0)ln()0f a a =->，2

11(1)(1)(1)(1)02

f a a a a +=-+++=

->，且()

f x 在(1,)a ++ 上是减函数，

所以()f x 至多有一个零点. …………7分又因为2

11(2)ln 2[2(ln 21)]02

f a a a a a a +=-

-=-

--<，

所以函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+.……9分解：（Ⅲ）因为412(ln 21)5

-<-

<-，

所以对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=由(Ⅱ)可知：1[0,1)x a ∈+，

20(1,]x a x ∈+，且21x ≥. ………10分

因为函数()f x 在[0,1)a +上是增函数，在(1,)a ++ 上是减函数，所以 1()f x (0)f ≥，2()f x (1)f ≤. ……………11分所以 12()()(0)(1)f x f x f f -?.

当45

a =-

时，1(0)(1)ln(

a f f a a -=-

491ln

>0.

所以 12()()(0)

(1)0f x f x f f -?>. …………13分

所以 21()()f x f x -的最小值为491(0)(1)ln 542f f -=

所以使得21()()f x f x m -≥恒成立的m 的最大值为

491ln 542

-.…14分

四、定积分（选修2-2）

1.（2012年朝阳二模理6）下列命题：:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；

:q 已知向量(1)λ，

=a ，2(1),λ=-b ，(11)-，=c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-； :r 若1

11a

dx =x

（1a >）

，则e =a .其中所有的真命题是（ D ） A ．r B ．,p q C ．,q r D ．,p r 2.（2012年丰台二模理3）由曲线1y x

=与y=x ，x=4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是

（ C ） A ．

3132

B ．

2316

C ．1ln 42

D ．ln 41+

五、三角函数（必修四）

1.（2012年西城二模理9）在△ABC 中，BC =，AC =，π3

A =

，则B = _____．

答案：

π4

2.（2012年海淀二模理1）若sin cos 0θθ<，则角θ是（ D ） A ．第一或第二象限角 B.第二或第三象限角

C.第三或第四象限角

D.第二或第四象限角

3.（2012年朝阳二模理4）在△ABC 中， 2AB = ，3AC = ，0AB AC ?< ，且△ABC 的面积为3

2，则B A C ∠等于（ C ）

A ．60 或120

B ．120

C ．150

D ．30 或150

4.（2012年丰台二模理7）已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数 log ()a y x b =+的图象可能是（ C ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5.（2012年昌平二模理9）在?ABC 中，4,2,2π==

=A b a 那么角C =_________. 答案：127π

。

6.（2012年东城二模理11）在平面直角坐标系xOy 中，将点A 绕原点O 逆时针旋

转 90到点B ，那么点B 的坐标为____，若直线O B 的倾斜角为α，则sin 2α的值为．

7.（2012年海淀二模理11）在A B C ?中，若 120=∠A ，5c =，A B C ?的面积为，则a = .

8.（2012年西城二模理15）已知函数22

π()cos ()sin 6

f x x x =-

-．

（Ⅰ）求π()12

f 的值；

（Ⅱ）若对于任意的π

[0,]2

x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围．

解

：

（

Ⅰ）

ππππ()cos ()sin

cos

1212

f =-

-==

………………

5分（Ⅱ） 1π1()[1cos(2)](1cos 2)2

f x x x =

- ………………7分

1π13[cos(2)cos 2]2cos 2)2

x x x x =

………………8分

π)23

x =

．

………………9分因为 π

[0,]2

x ∈，所以 ππ4π

,]3

x +

∈， ………………10分

所以当 ππ232

x +

=，即 π12

x =

时，()f x 2

． ………………11分

所以 π[0,]2x ?∈，()f x c ≤ 等价于

c ≤．

故当 π

[0,]2

x ?∈，()f x c ≤时，c 的取值范围是)2

+∞． ………………13分

9.（2012年朝阳二模理15）已知函数()2

cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图

象过点π(

,0)12

M .（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△A B C 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，

b ，

c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．

解：（Ⅰ）由(

)1sin 2(cos 21)2

f x x x m =

-++π1sin(2)6

x m =-

+．…3分

因为点π

(,0)12

M 在函数()f

x 的图象上，

所以ππ1sin(2)01262m ?

--+=，解得1

m =. …5分 (Ⅱ) 因为cos +cos =2cos c B b C a B ，

所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，

所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =. ……7分又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2

B =. ……8分

又因为(0,B ∈π)，所以π3

B =，2π3

A C +=

. ……10分

所以2π

A <<

， ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -∈1(,1]2-.…12分

所以()f A 的取值范围是1

(,1]2

-. ……13分

10.（2012年丰台二模理15）

已知函数()cos sin )f x x x x =--．

（Ⅰ）求()3

f π

的值；

（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,

π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．

解：

因为()cos sin )f x x x x =--

sin cos x x x --

1cos 21)sin 22

x +--

1cos 2sin 22

x x -

＝cos(2)6

x π+

．

（Ⅰ）()cos(2)3

2f πππ=?

=22-

=7分

（Ⅱ）因为 [0,]2

x π∈，所以

x ππ7π≤+≤．

当 26

x π+=π，即512

x π=

时，函数()y f x =

有最小值是12

--．

当512

x π=

时，函数()y f x =

有最小值是12

． …13分

11.（2012年昌平二模理15）已知向量a (cos ,sin ),θθ= b = (13-,), 2

π≤θ≤π-.（Ⅰ）

当b a ⊥时，求θ的值;（Ⅱ）求||b a +的取值范围.

解：（Ⅰ） a ⊥b ∴b a ?0sin cos 3=-=θθ ……… 2分

得3tan =

θ 又∵2

2π≤

θ≤π- ……… 4分

即：θ=

π ……6分

（Ⅱ）||b a +=4)sin cos 3(21||2||2

+-+=

+?+θθb b a a

sin(45π-

θ ……… 9分

π≤≤π-θ 6

5π≤π-≤π-

∴θ … 11分

1)3sin(1≤

π-

≤-∴θ 4)3sin(42≤π-

-≤-∴θ

∴

33≤+≤||b a … 13分

12.（2012年东城二模理15）已知函数()s in ()f x A x =+ω?（其中∈R x ，0A >，ππ0,22

ω?>-

）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）已知在函

数()f x 的图象上的三点,,M N P 的横坐标分别为

解：（Ⅰ）由图可知，1A =，最小正周期428T =?=.

由2π

8T =

=ω

，得4

π=

ω. ………3分

又π(1)sin()14

f ?=+= ，且ππ22

，

所以

ππ42

?，即4

π=? . ………5分

所以π()sin(

)sin

(1)44

f x x x =+

=+π

. ………6分（Ⅱ）因为(1)0,(1)1,f f -==π(5)sin

(51)1,4

f =+=-

所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --. …………7分所以MN PN MP =

由余弦定理得3cos 5

M N P ∠==-

. ………11分

因为[)0,M NP ∠∈π，所以4sin 5

M N P ∠=

. ……13分

六、数列（必修五）

1.（2012年朝阳二模理14）在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足1

1,,12

,j j i a a i -==，

1,1,1,(,)N i j i j i j a a a i j *

+++=+∈，则此数表中的第5行第

3列的数是；记第3行的数3，5，8，13， 22， ??? 为数列{}n b ，则数列{}n b 的通项公式为 .

答案：16，1

1n n a n -=++

2.（2012年丰台二模理18）已知数列{a n }满足14a =，131n

n n a a p +=+?+(n *∈N ，p 为

常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2

n n n

b a n

-，证明：49

n b ≤

．

解：（Ⅰ）因为14a =，131n n n a a p +=+?+，

所以1213135a a p p =+?+=+；2

3231126a a p p =+?+=+．

因为1a ，26a +，3a 成等差数列，

所以2(26a +)=1a +3a ，即610124126p p ++=++，所以 2p =．

依题意，1231n

n n a a +=+?+，

所以当n ≥2时，1

21231a a -=?+，

32231a a -=?+，

……

1223

1n n n a a ----=?+，

第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 …

123

1n n n a a ---=?+．

相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++- ，

所以 1

13(13

)

(1)13

n n a a n ---=+--，

所以 3n n a n =+．

当n=1时，11314a =+=成立，所以 3n n a n =+． ………8分（Ⅱ）证明：因为 3n n a n =+，

所以 2

2(3)3

n n

n b n n

+-．

因为 2

1+1

(1)22+1

n n n n

n n n n n b b +++-+-=

，*()n ∈N ．

若 22+210n n -+<，则2

n >，即 2n ≥时 1n n b b +<．

又因为 113

b =，249

b =

，

所以49

n b ≤

． ………13分

3.（2012年昌平二模理20）实数列 3210a ,a ,a ,a ，由下述等式定义

123,0,1,2,3,.n

n n a a n +=-= （Ⅰ）若0a 为常数，求123,,a a a 的值；（Ⅱ）求依赖于0a 和

n 的n a 表达式；（Ⅲ）求0a 的值，使得对任何正整数n 总有1n n a a +>成立.

解：（Ⅰ）0131a a -=,0291a a +-=,03277a a -= … 2分

（Ⅱ）由123,n

n n a a +=-得

(3)

n n n n n

n a a +++-

--- … 3分

令(3)

n n n

a b =

-，所以11

(3)

n n n n b b ++-=

所以121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-

231

(3)

n n

b -=+

----

11222()[()()()

3n b -=+-

-+-++-

122()(1()

)

3()

1()

3n b --

--=+---

122(1()

),15

n b -=+

… 6分

所以

122(1()

)(3)

n n n

a a -=

---- … 7分

所以1

(3)

[(3)32

]15

n n n n a a --=?-+

-+?1

02(13)(3)

[(3)32

]15

n n n a --=--+-+?

01[2(1)

3](1)35

n n

a -=+-?+-?? …… 8分

（Ⅲ）

101[2

(1)3](1)

5n n n n n n n a a a +++++-=

+-?+-??1

01[2(1)

3](1)35

n n n n n

a --

+-?--??

0112(1)43(

a =?+-??-

所以

101121()()(1)4()3

535

n n

n n n

a a a +-=+-??- …… 10分如果

05a ->，利用n 无限增大时，2()3

的值接近于零，对于非常大的奇数n ，有1

0n n a a +-<；如果01

05a -<，对于非常大的偶数n ，10n n a a +-<，不满足题目要求.

当015

a =时，112,5

n n a a +-=

?于是对于任何正整数n ，1n n a a +>，因此015

a =

即为所

求. …… 13分

4.（2012年海淀二模理15）已知公差不为０的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，

346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列1{}n

S 的前n 项和

公式.

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为0d 1.

因为346S a =+，所以1132

3362

a a d 创+

=++. ① ………………………3分

因为1413,,a a a 成等比数列，

所以2111(12)(3)a a d a d +=+. ② ………………5分

由①，②可得：13,2a d ==. ………………6分

所以21n a n =+. ……………7分

（Ⅱ）由21n a n =+可知：2(321)22n n n S n n ++ =

=+.…9分所以1

1111()(2)22n

S n n n n ==-++. …………………11分所以12311

1111n n S S S S S -+++++

11111111111()2132435112

n n n n =-+-+-++-+--++ 21111135()212124(1)(2)

n n n n n n +=+--=++++. 所以数列1

{}n S 的前n 项和为2354(1)(2)n n n n +++. ……13分

七、不等式（必修五）

1.（2012年西城二模理12）已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数 b =_____；不等式(1)||f x x -< 的解集为_____．答案：0，{|12}x x <<。

2.（2012年朝阳二模理1）已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则=?B C A U （ B ）

A ．{}04x x ≤<

B ．{}04x x <≤

C ．{}10x x -≤≤

D ．{}14x x -≤≤

3.（2012年东城二模理13）已知函数sin 1()1x x f x x -+=

+()x ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为__.

答案：2。

八、极坐标、参数方程（选修4-4）

1.（2012年西城二模理3）椭圆 3cos 5sin x y ?

=??=?(?是参数)的离心率是（ B ） A ．3

5 B.4

5 C.9

25 D.16

2.（2012年朝阳二模理5）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,4x t y t =??=+?

（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C

的极坐标方程为)4ρθπ

=+，则直线l 和曲线C 的公共点有（ B ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．无数个

3.（2012年海淀二模理3）直线11x t y t =+??

=-?（t 为参数）的倾斜角的大小为（ D ） A ．4-π

B.4π

C.2π

D.34π

4.（2012年丰台二模理9）在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．答案：(1,)2π

。

5.（2012年昌平二模理4）已知直线l ：为参数）t t y t x (1??

?+==，圆C ：2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离是（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 1

6.（2012年东城二模理10）若圆C 的参数方程为3cos 1,3sin x y =+??=?

θθ（θ为参数），则圆C 的

答案：(1,0)；2

九、常用逻辑用语（选修2-1）

1.（2012年西城二模理4）已知向量(,1)x =a ，(,4)x =-b ，其中x ∈R ．则“2x =”是“⊥a b ”的（ A ）

A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2.（2012年东城二模理1）下列命题中，真命题是（ A ）

A ．x ?∈R ,210x --< B.0x ?∈R ,2001x x +=- C.21,04

x x x ?∈-+

>R D.2

000,220x x x ?∈++

3.（2012年海淀二模理2）已知命题p ：0x ?∈R ，0

21x =．则p ?是（ A ） A ．0x ?∈R ，0

21x ≠

B.0x ??R ，021x ≠

C.0x ?∈R ，021x ≠

D.0x ??R ，0

21x ≠

十、平面向量（必修四）

1.（2012年丰台二模理6）在△ABC 中，∠BAC=90o，D 是BC 中点，AB=4，AC=3，则AD BC ?

（ B ） A ．7- B ．72

C ．

D ．7

2.（2012年东城二模理5）若向量a ，b 满足1=a

，=

b ()⊥a a +b ，则a 与b

的夹角为（ C ）

A ．

π B.

π C.

π D.

十一、线性规划、直线与圆的方程（必修二）

1.（2012年朝阳二模理11）若实数,x y 满足10,

x y x -+≤??≤?则22x y +的最小值

是 . 答案：

2.（2012年昌平二模理3）“1=a ” 是“002=-=+y a x y x 和直线直线垂直”的

（ A ） A. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.（2012年海淀二模理4）若整数,x y 满足???

???

≤≥+

≤-2

311

y y x y x 则2x y +的最大值是（ B ） A ．1 B.5 C.2 D.3

4.（2012年昌平二模理13）若变量 x , y 满足约束条件??

??≤-≥≤400x y y x 表示平面区域M ，则当

-42≤≤a 时，动直线a y x =+所经过的平面区域M 的面积为_____________. 答案：7。

十二、圆锥曲线（选修2-1）

1.（2012年朝阳二模理3）已知双曲线

=（0m >）的右焦点与抛物线2

12y x

=的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ C ）

A ．6

B ．

C ．

D ．

2.（2012年海淀二模理5）已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆

上的一个动点，那么12PF PF +

的最小值是（ C ）

A ．0 B.1 C.2 D.

3.（2012年丰台二模理10）已知椭圆

1(7

x y

m m

m +

-上一点M 到两个焦点的距离

分别

是5和3，则该椭圆的离心率为______．

。

4.（2012年昌平二模理10）已知双曲线的方程为

=-y

，则其渐近线的方程为

____________,若抛物线px y 22=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =. 答案：x y 2

1±

=, 52。

5.（2012年东城二模理7）若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2

x m

+=的离心率为

（ D ）

A ．

或

6.（2012年西城二模理18）已知抛物线2

4y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，

B 两点．（Ⅰ）若2AF FB =

，求直线A B 的斜率；（Ⅱ）设点M 在线段A B 上运动，原点

关于点M 的对称点为C ，求四边形O A C B 面积的最小值．

解：（Ⅰ）依题意(1,0)F ，设直线A B 方程为1x my =+． ………………1分

将直线A B 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2

440y my --=． …………3分

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