天津市蓟县第二中学高三第一次模拟考试数学（文）试卷

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天津市蓟县第二中学高三第一次模拟考试

数学（文）试题

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

注意事项：

1． 答案第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.

3． 考试结束、监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式：

1V?Sh3，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 锥体的体积公式：

球的表面积公式：S?4πR，其中R是球的半径． 如果事件A，B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)．

一、选择题：(本大题共 10 小题；每小题 5 分，满分 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。请将答案填入答题卷中。) 1．已知集合A?xx?3,B??1,2,3,4?，则（

2??RA）∩B = （ ）

A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{4} 2.复数(1?ai)(2?i)的实部和虚部相等，则实数a等于( ) A.?1 B.

11 C. D.1 323．已知数列{an}是等比数列，且a1?a3??3,a2a4?4，则公比q的值是 （ ）

A．2 B．-2 C．?2 D．?2

24．下列命题错误的是（ ）

2 A．命题的逆否命题为“若x?1，则x?3x?2?0” “若x?3x?2?0,则x?1” B．若p?q为假命题，则p，q均为假命题

C．对于命题P:存在x?R,使得x?x?1?0,则?p为:任意x?R,均有

2x2?x?1?0

“x?2”是“x?3x?2?0” D．的充分不必要条件

2,x?0,?x?3　5. 已知函数f(x)??2若f(a)?f(4),则实数a=（ ）

x?0,?x,（A）4 （B） 1或?1 （C）?1或4 （D）1, ?1或4

6．给出右边的程序框图，那么输出的数是 （ ）

A．2450 B．2550 C．5050 D．4900 7．函数y?sinx?sin(A.图象关于点（?B.图象关于点（?C.图象关于点（?（ ）

?3?x)具有性质（ ）

?3，0）对称，最大值为2 ，0）对称，最大值为2 ，0）对称，最大值为1

?6?3D.图象关于直线x=??3对称，最大值为1

8、已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是 A、

9．若直线2ax?by?2?0(a,b?R)平分圆x?y?2x?4y?6?0,则

A．1 B．5 C． 2 24 2 D．3?10．已知函数y?f(x)(x?R)满足f?x???f?x?1?，且x?[?1,1]时，f(x)?x，则y?f(x)与

2?2213111cm B、cm3 C、cm3 D、 cm3 2361221?的最小值是( ) aby?log5x的图象的交点个数为( )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上 3．本卷共12小题，共100分。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）

11. 某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人. 为了调查他们的身体情况，用分层抽样的方

法从他们中抽取了n个人进行体检，其中有6名老年人，那么n=_________.

?x?y?3?12、设实数x,y满足线性约束条件?x?y?1，则目标函数z?2x?y的最大值为_________

?y?0?13．已知|a|?2,|b|?2,a与b的夹角为45?,要使?b?a与a垂直，则?= . x2y2??1的焦点为顶点,一条渐近线为y=2x的双曲线的方程 . 14．以椭圆

42015．如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD， AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则 ∠CBD= 。

16．已知直线l,m,平面?,?,?，给出下列命题：

①l//?,l//?,????m,则l//m; ②?//?,?//?,m??,则m??; ③???,???,则??PACOBD?; ④l?m,l??,m??,则???.

其中正确的命题的序号是 。

三、解答题（本题共6道大题，满分76分） 17、（本小题满分12分）

在?ABC中，b?4,A??3,面积s?23 （1）求BC边的长度；

sin2(A4??)?cos2B（2）求值：

cotC4C 2?tan2

18．（本小题满分12分）

某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介

于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组?13,14)；第二组?14,15)……第五组

?17,18?．下图是按上述分组方法得到的频率分布直

方图.

（I）若成绩大于或等于14秒且小于16秒

认为良好，求该班在这次百米测试中 成绩良好的人数；

频率组距0.380.320.160.080.06O131415161718秒19题图 （II）设m、n表示该班某两位同学的百米

测试成绩，且已知m,n??13,14)??17,18?. 求事件“m?n?1”的概率.

19．（本小题满分12分）

如图,四棱锥P?ABCD中，ABCD为菱形，PA?平面ABCD, ?BCD?60?，

BC?1,E为CD的中点,PC与平面ABCD成角60?.

（1）求证：平面EPB?平面PBA；

（2）求二面角B?PD?A的平面角正切值的大小．

P D A E C

B

20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x?2x?x?4,g(x)?ax?x?8. （I）求函数f(x)的极值；

（II）若对任意的x?[0,??)都有f(x)?g(x),求实数a的取值范围。

21．（本小题满分14分）

已知数列?an?,a1?2,an?2an?1?2⑴求证：{n322?n?2?

an}为等差数列； n2⑵求?an?的前n项和Sn；

22.(本小题满分14分)

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0,?1)，且其右焦点到直线

x?y?22?0 的距离为3．

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 是否存在斜率为k(k?0)，且过定点Q(0,3)的直线l，使l与椭圆交于两个不同

2的点M、N，且|BM|?|BN|？若存在，求出直线l的方程;若不存在,请说明理由．

参 考 答 案

一、选择题：

1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 6、A 7、C 8、C 9、D 10、B 二、填空题：

11、36 12、6 13、2

y2x2??1 15、300 16、 ①②④ 14、164三、解答题：

17．解：（1）解：在?ABC中 S?1bcsinA21323??4?c?

222分 4分

c?2

a?b2?c2?2bccosA?16?4?2?2?4?1?23 2ab?sinAsinB234?3sinB2sinB?1

0?B?? B??2 C??6

6分

sin2(（2）

?A??)?cos2Bsin2?cos?311344?(?1)sinC?? =

CCCC4216cossincot?tan2?222CCsincos22 12分

18、解：（1）由直方图知，成绩在?14,16?内的人数为：50?0.16?50?0.38?27（人）

所以该班成绩良好的人数为27人.

（2）由直方图知，成绩在?13,14?的人数为50?0.06?3人，设为x、y、z；

成绩在?17,18? 的人数为50?0.08?4人，设为A、B、C、D.

4分 5分 6分

若m,n??13,14)时，有xy,xz,yz3种情况；若m,n??17,18?时，有AB,AC,AD,BC,BD,CD6种情况；

若m,n分别在?13,14?和?17,18?内时， A B C D x y z xA yA zA xB yB zB xC yC zC xD yD zD 共有12种情况.

所以基本事件总数为21种 9分 事件“m?n?1”所包含的基本事件个数有12种. ∴P（m?n?1）=

1221?47 19．解：（1）? E为CD的中点，BC?1,ABCD为菱形，

?CE?12 又?BCD?60?，??BEC?90? ?BE?AB,又PA?平面ABCD

?PA?BE，PA?面PAB，AB?面PAB，PAAB?A

?BE?面PABBE?面PBE?面PBE?面PAB （2）过B点作BF?AD于F，过F作FM?PD于M，联结BM

BF?AD BF?PA ?BF?面PAD

BM为面PAD的斜线，MF为BM在面PAD的射影，?BM?PD

?BMF为二面角B-PD-A的平面角 PC与面ABCD成角600，?PCA=600 PA=3 BF=

32 MF=3210 tan?BMF?303 所以二面角B-PD-A平面角正切值为

303 20．解：（I）f?(x)?3x2?4x?1, 令f?(x)?0, 解得：x11??1或x2??3. 当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下：

11分

12分

4分

8分

12分

…………1分

…………2分

?当x??1时,f(x)取得极大值为-4；

当x??13时,f(x)取得极小值为?11227. （II）设F(x)?f(x)?g(x)?x3?(2?a)x2?4

?F(x)?0在[0,??)恒成立?F(x)min?0,x?[0,??)若2?a?0,显然F(x)min?4?0, 若2?a?0,F?(x)?3x2?(4?2a)x 令F?(x)?0,解得x?0,x?2a?43 当0?x?2a?43时,F?(x)?0. 当x?2a?43时,F?(x)?0. ?当x?[0,??),F(x)2a?4min?(3)?0,

即(2a?43)3?(2?a)(2a?423)?4?0,

解不等式得：a?5,?2?a?5 当x?0时，F(x)?4满足题意。

综上所述a的取值范围为(??,5] 21．解：⑴∵a1?2,an?2an?1?2n?n?2?

∴

an2a2n?n?12n?1?anan?12n?2n?1?1

…………6分

…………8分 …………10分 分

…………12

∴{ana1为等差数列，首项为}?1，公差d=1 …………6分 n122⑵由⑴得

an?1?(n?1)?1?n ∴an?n?2n …………8分 n2－

∴Sn=1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n1＋n·2n

2Sn=1·22＋2·23＋3·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1 两式相减得：－Sn=21＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1

=

2(1?2n)1?2?n?2n?1 ∴Sn=2－2n+1＋n·2n+1=(n－1)·2n+1＋2

22.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为x2y2a2?b2?1,(a?b?0),

由已知得b?1. 设右焦点为(c,0)，由题意得

c?222?3,?c?2. ?a2?b2?c2?3. ?椭圆的方程为x23?y2?1. （Ⅱ）直线l的方程y?kx?32，

代入椭圆方程,得

(1?3k2)x2?9kx?154?0. 设点M(x1,y1),N(x2,y2),

则x1?x2??9k1?3k2. 设M、N的中点为P， 则点P的坐标为(?9k32?6k2,2?6k2). |BM|?|BN|,?点B在线段MN的中垂线上. …………14分

…………2分

…………3分

…………4分 ……………5分 分

………………6

?kBP3?122?6k1???. …………………8分 k?9k2?6k232化简,得k?2. …………………10分 2由??0得,k?5.

122?5.?k??6. …………………12分 3123所以,存在直线l满足题意，直线l的方程为

63x?y?32?0或63x?y?32?0

………………14分

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