线性代数讲义1

第一章 行列式

行列式是线性代数中的一个基本概念，其理论起源于解线性方程组，它在自然科学的许多领域里都有广泛的应用.本章主要介绍n阶行列式的定义、性质和计算方法以及用行列式解线性方程组的克莱姆（Cramer）法则.

§1.1 二阶与三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

在实际问题中，线性方程组的应用很广，但三元以上的线性方程组的求解是很复杂的.现在讨论简化线性方程组的求解过程和求解公式.先从二元线性方程组开始讨论.

对于二元线性方程组

?a11x1?a12x2?b1 ? （1-1-1）

?a21x1?a22x2?b2利用加、减消元法可得

?(a11a22?a12a21)x1?a22b1?a12b2 ?(aa?aa)x?ab?ab12212112211?1122如果a11a22?a12a21?0，那么线性方程组（1-1-1）有唯一解：

x1?b1a22?b2a12a11a22?a12a21 x2?b2a11?b1a21a11a22?a12a21

以上两个式子可作为公式使用，但不便于记忆，为方便起见，把a11a22?a12a21记为a11a21a12a22，叫做二阶行列式.其中aij叫做行列式的元素，横的叫行，竖的叫列.

由二阶行列式的定义得 D?a11a21a12a22=a11a22?a12a21 （1-1-2）

（1-1-2）右端的式子叫做二阶行列式D的展开式.

二阶行列式可用如下的对角线法则进行计算

a11a21

1

a12 a22实线上两数的乘积取正号，虚线上两数的乘积取负号，然后相加得

a11a22?a12a21

引入二阶行列式的概念后，线性方程组（1-1-1）的解可表示为：

b1x1?b2a11a21a12a22a12a22a11b1b2a12a22 x2?a21a11a21

如果记 D1?b1b2a11a21a12a22b1b2?b1a22?b2a12

D2??b2a11?b1a21

则方程组（1-1-1）的解可表示为：

x1?D1Dx2?D2D （1-1-3）

D是线性方程组（1-1-1）中未知数的系数按原来顺序不变所构成的行列式，叫做方

程组（1-1-1）的系数行列式； D1是把D中第一列元素分别换成对应的常数项而得到，D2是把D中第二列元素分别换成对应的常数项而得到.

例1 解方程组

?3x1?2x2?5 ??2x1?x2?8解 方程组的系数行列式为

D?322?1??3?4??7?0

D1、D2分别为

582?13258D1???21 D2??14

由式子（1-1-3）得方程组的解为：

2

x1?D1D??21?7?3x2?D2D?14?7??2.

二、三元线性方程组与三阶行列式

对于三元线性方程组

?a11x1?a12x2?a13x3?b1??a21x1?a22x2?a23x3?b2 （1-1-4） ?ax?ax?ax?b3223333?311同讨论方程组（1-1-1）的解法类似，利用加、减消元法，当

a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a13a22a31?a11a23a32?a12a21a33?0

时，可得方程组的解为

x1?a22a33b1?a13a32b2?a12a23b3?a23a32b1?a12a33b2?a13a22b3a11a22a33?a12a23a31?a13a32a21?a13a22a31?a11a23a32?a12a21a33a23a31b1?a11a33b2?a13a21b3?a21a33b1?a13a31b2?a11a23b3a11a22a33?a12a23a31?a13a32a21?a13a22a31?a11a23a32?a12a21a33a21a32b1?a12a31b2?a11a22b3?a22a31b1?a11a32b2?a12a21b3a11a22a33?a12a23a31?a13a32a21?a13a22a31?a11a23a32?a12a21a33x2?x3?

解的这种表达式太复杂，既不便记忆又不便计算.仿照二阶行列式，我们把x1,x2,x3的分母记为

a11D?a21a31a12a22a32a13a23 a33叫做三阶行列式.由于行列式D中元素的排列顺序与方程组（1-1-4）的未知数的系数的排

列顺序一致，所以把D叫做方程组（1-1-4）的系数行列式.

根据三阶行列式的定义

a11D?a21a31a12a22a32a13a23 a33=a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a13a22a31?a11a23a32?a12a21a33

3

（1-1-5） 等式右端的代数式叫做三阶行列式的展开式，这个代数式的值就是三阶行列式的值.从展开式的各项可以看出，三阶行列式的值可按下述图形所示的方法进行计算.

a11a21a31a12a22a32a13a23a33a11a21a31a12a22 a32自左上方到右下方的实线所串起来的三个数连乘后取正号；自右上方到左下方的虚线所串起来的三个数连乘后取负号，然后相加.这种求行列式值的方法叫做“对角线法”. 根据三阶行列式的定义，方程组（1-1-4）的解x1,x2,x3的分子可分别表示为下列形式的行列式：

b1a12a22a32a13a33a11a31b1b2b3a13a33a11a31a12a22a32b1b2 b3 D1=b2b3a23 D2=a21a23 D3=a21于是当D?0时，方程组（1-1-4）的解可表示为 x1?例2 解方程组

?3x1?2x2?x3?14? ?x1?x2?x3?10?2x?3x?x?123?1D1Dx2?D2Dx3?D3D （1-1-6）

解 方程组的系数行列式

3D?1214D1?101213132131410111??5?0 ?1132131410??35 11??5 D2?1?121??10 D3?1?12由式（1-1-6），得方程组的解为：

4

x1?D1D?1x2?D2D?2x3?D3D?7

上面，我们通过解二元、三元线性方程组引入了二阶、三阶行列式的概念，并进一步利用二阶、三阶行列式的计算简化二元、三元线性方程组解的过程.在以后的讨论中， 我们将二阶、三阶行列式的概念推广到n（其中n是任意的正整数）阶，并用n阶行列式来解n元线性方程组.

1. 计算下列行列式的值.

(1)24(2)ab83a2b22. 解下列线性方程组.

(1)?2x?1?5x2?1 ?3x 1?7x2?2?x1?x2?x3?4(3)??x1?3x2?x3??2 ??3x1?x2?2x3?6

习题1.1

10?1ab(3)350(4)bc041cb (2)?2x?1?3x2?4?4x1?5x 2?10?x1?2x2?x3?1 (4)??4x1?3x2?x3?3 ??2x1?5x2?3x3??95

ca a

§1.2 n阶行列式及其性质

一、n阶行列式的定义

定义1 由n2个元素排列而成的n行n列的式子

a11a12?a1na21a22?a2n????an1an2?ann

称为n阶行列式，它代表一个由确定的运算关系所得到的数.

行列式D中，横的叫行，竖的叫列，aij叫做行列式的元素，i表示元素所在的行，

j表示元素所在的列.

n阶行列式像二阶和三阶行列式一样，表示的也是一个多项式，多项式的值就是行列式的值.该多项式中含有n!项，其中每一项都是具有确定符号的、位于D的不同行、不同列上的n个元素的乘积.

二、行列式的性质

从行列式的定义出发直接计算行列式的值是比较麻烦的.为了进一步讨论n阶行列式，简化n阶行列式的计算，下面介绍n阶行列式的一些性质.对于这些性质，仅就二阶行列式加以验证或说明，但它们对于任意阶行列式都是适用的.

定义2 将行列式D的行与相应的列互换后，得到的新行列式称为原行列式的转置行列式，记为D?（或D).

即，如果

a11D?a21?an1a12a22?an2????a1na2n?anna11a21a22?a2n????an1an2?annT 则 D??a12?a1n

性质1 行列式转置后其值不变，即D=D?. 通过二阶行列式来验证该性质的正确性. D?a11a21a12a22?a11a22?a12a21

6

D??a11a12a21a22?a11a22?a12a21?D

这个性质表明，在行列式中行与列的地位是对称的，凡是行列式对行成立的性质对列也成立，因此，以后我们讨论行列式的性质时，只讨论行的性质.

性质2 互换行列式中两行（列）的位置，行列式的值只改变符号. 通过二阶行列式来进行验证： D?a11a21a22a12a12a22?a11a22?a12a21

a21a11??a11a22?a12a21??D

性质3 如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，则该行列式的值等于零. 事实上，把行列式中相同的两行元素互换，行列式不变，但根据性质2知，两者的符号应相反.如果用D表示这个行列式，那么D=－D，于是得D=0.

性质4 行列式中某行（列）元素的公因子可以提到行列式符号之外. 例如，对于行列式

a11ka21a12ka22?ka11a22?ka12a21?k(a11a22?a12a21)?ka11a21a12a22

推论1 一个数乘行列式等于该数乘行列式中某一行（列）的所有元素.

推论2 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部为零，那么这个行列式的值等于零.

性质5 如果行列式的两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 该性质可利用性质3和性质4进行证明.

性质6 如果行列式中某行（列）的各元素均为两项之和的形式，则该行列式可表示为两个行列式之和的形式. 例如

a11?a11a21a31'''a12?a12a22a32a13?a13a23a33a11a12a22a32a13a33a11a31'a12a22a32'a13a23 a33'=a21a31a23+a21上面式子的正确性，可通过三阶行列式的“对角线法”进行验证.

性质7 把行列式某一行（列）的各元素乘以常数k加到其它行（列）的对应元素上，行列式的值不变.

例如：

a11a21a12a22把第一行的每个元素乘以k加到第二行的对应元素上得行列式

7

a11a21?ka11a12a22?ka12

而

a11a21?ka11a12a22?ka12=

a11a21a12a22+

a11ka11a12ka12=

a11a21a12a22

利用行列式的性质，可以简化行列式的计算.在实际应用中，我们常用如下符号表示对应的行列式的变换，并且在计算过程中把符号写在等号上方（或下方）. 第i行与第j行（或第i列与第j列）互换，记为ri?rj（或 ci?cj）.

第i行（或列）乘数k，记为kri（或kci） .

第j行（或列）元素乘数k加到第i行（列）对应元素上，记为krj?ri（或kcj?ci）. 注：进行行或列互换时也可记为（ri,rj）（或 （ci,cj））. 例1 计算下列行列式的值.

2(1)D?04275 (2)121331390?34484622

?2?4?3200?2r1解 （1） Dr1?r442075?2?2?4?16 4?r2?r1?r3?3r1?r410003?5000?3448?12?2?2?0

（2） Db?cc?aa?babc例2 证明q?rr?pp?q?2qpr

y?zz?xx?yxyz 8

bc?aa?bcc?aa?b证 左端=qr?pp?q?rr?pp?q

yz?xx?ybc?aacaa?bzz?xx?ybcrzacapxbq y=qr?pp?rpp?q=qyz?xxzxx?yp?rxzyabqycr=右端 z=2px 证毕

三、行列式的展开式

行列式的计算除利用性质进行简化外，也常常通过降阶来达到计算的目的. 1． 余子式与代数余子式 对于n阶行列式

a11??D?ai1?an1????a1j?aij?anj?????a1n?ain?ann

划去元素aij所在的行和列得到的n-1阶行列式

a11?ai?11ai?11?an1??????a1j?1?ai?1j?1ai?1j?1?anj?1a1j?1?ai?1j?1ai?1j?1?anj?1i?j??????a1n?ai?1nai?1n?ann

叫做元素aij的余子式，记作Mij.Aij?(?1)Mij叫做元素aij的代数余子式.

9

14875中元素a23=5的余子式M23 例如 D?2?111410，而代数余子式

1110122?3A23?(?1)M23??111410.

2．行列式的展开式

定理1 n阶行列式等于任意一行（列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?,n) (j?1,2,?,n)

或 D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj 这里我们用三阶行列式来验证定理的正确性.

a11a31a12a32a13a23 a33D?a21a22 按第一行展开得：

a11A11?a12A12?a13A13?a11a22a23a32a33?a12a21a23a31a33?a13a21a22a31a32

?a11a22a33?a12a23a31?a13a32a21?a11a23a32?a12a21a33?a13a31a22?D

同样可以验证D关于其它某行（或列）的对应结果.

这个定理告诉我们，一个n阶行列式可按行列式中某行（或列）进行展开.行列式进行展开后，阶数降了一阶.因此,可利用定理1对行列式进行降阶,然后利用较低阶行列式去计算高阶行列式的值.

例3 计算行列式D的值.

a11D?0?0a12a22?0????a1na2n?ann

解 根据定理1可得

10

a22D?a110?0a23a33?0????a2na3n?anna33a34a44?0????a3na4n?ann=a11a220?0

=??a11a22?ann 利用行列式的性质1可得：

a11a21?a1n0?0a22?0???=??a11a22?ann

a2n?ann 行列式

a110?0a12a22?0????a1na2n?anna110?0a21?a1na22?0???与

a2n?ann分别叫做上三角行列式和下三角行列式，并统称为三角行列式.由上面讨论可知，三角行列式的值恒等于其对角线上元素的乘积. 例4 计算行列式D的值.

?13D?41000200319?154210?60708 00解 把行列式按第五行展开

?1D?5?(?1)5?300204210?67080341

再按第二列展开

?1D?5?2?(?1)3?242?670 031 11

最后按第三列展开

D??10?7?(?1)1?3312?6?1400

从本例可以看出，行列式在进行展开时，尽量选择零元素较多的行（或列），有时也可利用行列式的性质，把行列式中某行（或列）的元素尽可能多的化为零，然后再按该行（或列）展开.实际计算行列式的值时，常用行列式的性质把行列式化为三角行列式，再进行计算.

例5 计算行列式D的值.

?2D?1325?9?182r1?1135?7?r237?5?10

1?95?1813?15?773?5?10?3r1?r3?2r?r14?9?1326261325717解 Dr1?r2??2321?000?34?26?33?24

2r2?r32r2?r4?1000?9137178101?9?130013251607178 32?132500321617

?1716r3?r40?00??(?13)?16??312

例6 证明 1x1x1x1231x2x2x2231x3x3x3231x4x4x423=(x2?x1)(x3?x1)(x4?x1)(x3?x2)(x4?x2)(x4?x3)

12

?xr?xr?xr11?r212?r?r310001x2?x1x2(x2?x1)221x3?x1x3(x3?x1)1x4?x1x4(x4?x1)2证 左端

134

x2(x2?x1)x3(x3?x1)x4(x4?x1)11x321x4 x42=(x2?x1)(x3?x1)(x4?x1)x2x2x32?xr?r2121(x2?x1)(x3?x1)(x4?x1)001x3?x2x3(x3?x2)1x4?x2x4(x4?x2)?xr22?r3

=(x2?x1)(x3?x1)(x4?x1)(x3?x2)(x4?x2)1x31x4

=(x2?x1)(x3?x1)(x4?x1)(x3?x2)(x4?x2)(x4?x3) =右端.

故原式成立.

证毕 定理2 行列式的某一行（或列）的各元素与另一行（或列）的对应元素的代数余子式乘积之和为零，即

ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0(i?j,i,j?1,2,?n)

或 a1jA1i?a2jA2i???anjAni?0(i?j,i,j?1,2,?n)

13

习题1.2

1. 计算下列行列式的值.

4?1?23518401(1)31?12?1321 (2)

23?1?1?23?305?1122?3?459

11?2363x1a2(3)24820296309 (4)a1x2a1a21961722a1a22. 证明下列等式.

a2abb2 (1)2aa?b2b?(a?b)3

111?abacae(2)bd?cdde?4abcdef

bfcf?efy?zz?xx?yxyz(3)x?yy?zz?x?2zxy z?xx?yy?zyzxa1?ka2?la3a2?ma3a3a1a2a3(4)b1?kb2?lb3b2?mb3b3?b1b2b3 c1?kc2?lc3c2?mc3c3c1c2c3

14

a3a4a3a4x3a4a3a4

§1.3克莱姆(Cramer)法则

这一节讨论含有n个方程、n个未知数的线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1??a21x1?a22x2???a2nxn?b2 ? （1-3-1）

???????????ax?ax???ax?bn22nnnn?n11的行列式解法.

将方程组（1-3-1）的系数行列式记为D，即

a11??D?ai1?an1????a1j?aij?anj?????a1n?ain?ann

用常数b1,b2,?bn代替D中的第j列，组成的行列式记为Dj，即

a11Dj?a21?an1????a1j?1a2j?1?anj?1b1b2?bna1j?1a2j?1????a1na2n?ann(j?1,2,?n)

anj?1?定理1 （克莱姆法则）若线性方程组（1-3-1）的系数行列式D?0，则存在唯一

解：

x1?D1D,x2?D2D,?,xn?DnD.

证 用D中第j列各元素的代数余子式A1j,A2j,?Anj(j?1,2,?n)，依次乘方程组（1-3-1）的第一、第二、?、第n个方程，再将等式两端分别相加，并整理得

(a11A1j?a21A2j???an1Anj)x1+?+(a1jA1j?a2jA2j???anjAnj)xj

+?+(a1nA1j?a2nA2j???annAnj)xn =b1A1j?b2A2j???bnAnj

15

根据§1.2的定理1和定理2可得DxDjDj?Dj

所以当D?0时，xj?(j?1,2,?n)

证毕.

例1 解线性方程组

?x1?x2?2x3?13??x1?x2?x3?10 ?2x?3x?x?123?11?113213?1121??5

解 D?121??5?0 D1?10?12113?1?1131310??35 1113D2?11021??10 D3?121?1由克莱姆法则，得方程组的唯一解为：

x1?D1D??5?5?1,x2?D2D??10?5?2,x3?D3D??35?5?7.

例2 解线性方程组

?x1?x2?2x4??5??3x1?2x2?x3?2x4?6 ?4x?3x?x?x?0234?1?2x?x?03?11?123002?5?0

解 D?342?1?2?1?1?10

16

?5?1D1?6001D3?342230?123002?10 D2?13422?20 D4?1342?5600?123002??15

?1?2?1?1?1?50?1?2?1?1?10?1?1?10?5600??25

6?20?100所以

x1?x3?D1DD3D??105205?2,x2??4,x4?D2DD4D???155?255??3,

??5. 用克莱姆法则求解含有n个方程、n个未知数的线性方程组，需要计算n+1个n阶行列式，这样的计算量是很大的.所以，在一般情况下，我们不采用克莱姆法则求解线性方程组.那么，克莱姆法则有什么作用呢？它的作用很多，比较重要的有以下两点： （1）克莱姆法则在理论上是相当重要的.它告诉我们，当含有n个方程、n个未知数的线性方程组的系数行列式不等于零时，线性方程组有唯一解.这说明我们只要根据方程组的系数，就能分析出它的解的情况，这表明了行列式的重要性.

（2）克莱姆法则还告诉我们：当线性方程组的系数行列式不等于零时，线性方程组的唯一解可用公式xj?DjD(j?1,2,?n)表示，这充分体现了线性方程组的解与它的

系数、常数项之间的关系.

如果方程组（1-3-1）的常数项全为零，即

?a11x1?a12x2???a1nxn?0??a21x1?a22x2???a2nxn?0 （1-3-2） ????????????ax?ax???ax?0n22nnn?n11则方程组（1-3-2）叫做齐次线性方程组.而方程组（1-3-1）称为非齐次线性方程组.

对于齐次线性方程组（1-3-2），由于行列式Dj中第j列的元素全为零，所以Dj?0（j=1,2,?,n）.当线性方程组（1-3-2）的系数行列式D?0时，根据克莱姆法则，（1-3-2）

的唯一解是

17

xj?0(j?1,2,?n)

定理 如果含有n个方程、n个未知数的齐次线性方程组（1-3-2）有非零解，则它的系数行列式D=0.

例3 问?为何值时，齐次线性方程组

??x1?x2?2x3?0??x1??x2?x3?0 ??x3?0?只有零解. 解

?D?1012?1??(?2?0?1)

?当??0,???1时，方程组只有零解.

习题1.3

1. 用克莱姆法则解下列方程组.

?x1?x2?x3?x4?5?x2?2x3?1??x1?2x2?x3?4x4??2?(1)?x1?x2?4x3?1 (2)?

2x?3x?x?5x??2234?1?2x?x?22?1?3x?x?2x?11x?0234?1?x2?x1?2x2?3x3?0??x1?(3)?2x1?3x2?4x3?0 (4)??x1?x?5x?7x?123?1?x?1?x3?x4?1?x3?x4?2?x2?x4?3?x2?x3?4

2. 问当a为何值时，齐次线性方程组

?ax1?x2?3x3?0??x1?3x2?x3?0 ?ax?x?3x?023?1有非零解.

18

第一章 综合习题

1. 试用行列式的性质计算下列行列式.

a(1)bbbbabbbbabbbba1?a11?a111111 （2）

1111?b111?b其中ab?0.

2. 把下列行列式化为上三角行列式，并计算其值.

?22?110?43?2505?310?5402520?10321?4 03 (1)432 (2)72?31?1?5?3013. 按第三列展开行列式，并计算其值.

10?1abcd1?1?101234134124123 (1)0?1?1?11 （2）

234

4. 按第三行展开行列式，并计算其值.

24a35x1x2121x23232x?32b?143c412d3

5. 求出行列式

x1x 包含x和x的项.

43?300?243中元素2和-2的代数余子式. 16. 求行列式52 19

x0yx0y??00007. 计算n阶行列式

0y??????0000??x0yx的值.

x?1x0?00008. 计算行列式

0?1??????????anan?1an?2?a2a1?x的值.

提示：从最后一列开始每列乘以x加于前一列.

122343?45??n129. 计算行列式3n的值.

??????12?n?1提示：各列均加于第一列，提出公因子，再从第n-1列乘（-1）加于第n列?直到第一行乘（-1）加于第二行. 10. 用克莱姆法则解线性方程组.

?5x1?6x2?1?x1?3x2?5x3?x4??3?x1?5x2?6x3?2????5x1?2x2?7x3?2x4?4(1)? (2)?x2?5x3?6x4?2

?x?5x?6x?2?2x1?x2?4x3?x4??145?3??3x?4x?6x?3x?101234???x4?5x5?411. 计算下列方程组的系数行列式，并验证所给的数是它的解.

?2x1?3x2?4x3?3x4?0??3x1?x2?11x3?13x4?0(1)? x1?x2?x3?x4?c（c为任意常数） ?4x1?5x2?7x3?2x4?0?13x?25x?x?11x?01234??x1?2x2?3x3?x4?3??3x1?2x2?x3?x4?5(2)?

5x?5x?2x?1023?1?2x?3x?x?x?5234?1

20

x1?1?cx2?1?cx3?0x4?c （c为任意常数）

?kx?y?z?0?12．如果齐次线性方程组?x?ky?z?0有非零解，k应取什么值.

?2x?y?z?0?

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