近世代数一

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一、单项选择题(每小题3分，共12分)

1.设A=R(实数集)，B=R+(正实数集) υ:a→10a+1,?a∈A 则?是从A到B的( )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 2.剩余类加群Z6中，元素［１］的阶是( )。 A.1 B.2 C.3 D.6 3.7阶循环群的生成元个数是( )。 A.1 B.2 C.6 D.7

?a0??4.设R=??那么R关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( )。 ?0b?a、b?Z?，

????A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环 D.有单位元的非可换环 二、填空题(每小题3分，共24分)

1.设集合A含有m个元，则A的子集共有_____个. 2.每一个有限群都和一个_____群同构. 3.设a、b是群G的两个元，则(ab)-2=_____.

4.在3次对称群S3中与元(1 2 3)不可交换的元有_____个. 5.剩余类环Zm是无零因子环的充要条件是_____. 6.设F是域，则F［x］与欧氏环的关系是_____. 7.设Q为有理数域，S={2,3}，则Q(S)=____. 8.42i在Q上的次数是_____.

三、(本题共3小题，第1小题14分，第2、3小题各10分，共34分) 1.设B4={e、a、b、ab}乘法表为

0 e a b ab

以上定义的群叫做Ktein四元群(简称四元群) (i)找出B4的所有子群.

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e e a b ab a a e ab b b b ab e a ab ab b a e www.4juan.com 专注于收集历年试题试卷和答案

(ii)找出与B4同构的S4(4次对称群)的子群. 2.设Z是整数环，

(i)找出整数环Z的所有理想. (ii)找出整数环Z中的全部可逆元.

3.设F是域，问多项式环F［x］的主理想(x2)含有哪些元?F［x］/(x2)含有哪些元? 四、(本题共3小题，每题10分，共30分)

1.设群G除单位元外的每一个元的阶均为2，证明G是交换群. 2.证明阶为10的可换群是循环群.

3.设A是Z上的二阶方阵环，N是元素为偶数的所有二阶方阵所成的集合。 (i)证明N是A的一个理想. (ii)问A/N含有哪些元素?

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1. 设R是实数集，σ(a)=??a?1 a?0则σ是R的( )。 a?0?a A. 满射变换 B. 单射变换 C. 一一变换 D. 不是R的变换 2. 下列法则，哪个不是有理数集Q的代数运算( )。 A. a?b=

11(a+b) B. a?b=a2-2ab+b2 C. a?b=10a+b D. a?b=〔a(a+1)+b(b+1)〕 223. 设集合G={a,b},在G中规定代数运算如下表，则G关于哪个代数运算可作成群。( )

O1 a a b b a b A. a

B. O2

a b a a a b b b b 2

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C. D.

O3 a b a a b b b a O4 a b a b a b a b 4. 设M2(R)=???????ab?? a,b,c,d∈R，R为实数域?按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵?cd?????环，那么这个方阵环是( )。

A. 有单位元的交换环B. 无单位元的变换环C.无单位元的非交换环D. 有单位元的非交换环 5. 在非零有理数乘群Q*中，阶为2的元有( )。 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无限个 二、填空题(每小题3分，共27分) 1.剩余类加群Z12有_________个生成元. 2.6阶循环群有_________个子群.

3.5次对称群S5中，(12543)2(13542)-1=_________. 4.模8的剩余类环Z8的子环有_________个. 5.剩余类环Zn是域?n是_________. 6.整数环Z的理想有_________个. 7.唯一分解环与欧氏环的关系是_________. 8.设Q是有理数域，S={2i},则Q(S)=________. 9.1?3在有理数域Q上的极小多项式是_________.

三、本题共3大题，第1、2大题各10分，第3大题14分，共34分

1.设A={a,b,c}对代数运算来说作成一个群，且a是单位元，试作出A的乘法表. 2.找出模18的剩余类加群Z18的所有子群.

3.试分别写出剩余类环Z5和Z6中的全部零因子与可逆元. 四、证明题(每题8分，共24分)

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1. 设G是2p阶群(p是素数)，证明G的每个真子群都是循环群.

2. 设偶数环R=2Z,N={4r|r∈Z},证明N是R的一个理想，R/N是怎样的环?N是否与(4)相

等?R/(4)是不是域?

3.设Z〔i〕={a+bi|a,b∈Z},试确定Z〔i〕/(1+i)含有哪些元素?Z〔i〕/(1+i)是否是域?为什么? 一、单项选择题((每小题3分，共15分

1.设A=R（实数域）， B=R+（正实数域）?:a→10a ?a∈A则?是从A到B的( )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射

D.既非单射也非满射

2.设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( )。 A.x→10x

B.x→2x C.x→|x|

D.x→-x

3.设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )。 A.1

B.2

C.3

D.4

4.整数环Z中，可逆元的个数是( )。 A.1个

B.2个

C.4个

D.无限个

5.剩余类加群Z18的子群有( )。 A.3个

B.6个

C.9个

D.12个

二、填空题(每空3分，共27分)

1.设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个. 2.n次对称群Sn的阶是____________.

3.一个有限非可换群至少含有____________个元素.

4.设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有____________个. 5.除环的理想共有____________个.

6.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________. 7.设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是____________. 8.在2, i+3, π2, e-3中，____________是有理数域Q上的代数元. 9.2+

3在Q上的极小多项式是____________.

三、解答题(第1、2小题各12分，第3小题10分，共34分)

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1.设G是6阶循环群，找出G的全部生成元，并找出G的所有子群. 2.求剩余类环Z6的所有子环，这些子环是不是Z6的理想？

3.设Z是整数环，则(2)∩(3)、(2,3)是Z的怎样一个理想？(2)∪(3)是Z的理想吗？为什么？四、证明题(每小题8分，共24分)

1.设a、b是群G的元素，a的阶为2，b的阶为3，且ab=ba，证明ab的阶是6. 2.证明：在n阶群G中每个元都满足xn=e. 3.设A=?????ab???0c??? a、b、c∈?关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明

????00?A1=???0x?????x∈?是A的子环，找出A到A1的一个同态满射f,求f的核N.

??一、单项选择题((每小题3分，共15分

1. 设集合A含有n个元素，那么A的子集共有多少个?( ) A. n! B. n2 C. 2n D. 2. 下列法则，哪个是集A的代数运算( )。 A. A=N a?b=a-b B. A=Z a?b=

n(n?1) 2aab C. A=Q a?b= D. A=R a?b=a+π 2bd d d d a

3. 设S={a,b,c,d}, S中规定一个代数运算如下表，

0 a b c d a d a a d b a c b d c a b c d 则S关于所给代数运算作成的代数体系中的可逆元素为( )。

A. a与b B. b与c C. c与d D. d与a 4. 以下命题中，正确的是( )。

A. 任意一个环R，必含有单位元 B. 环R中至多有一个单位元 C. 环R有单位元，则它的子环也有单位元

D. 一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同 5. p(素数)阶有限群的子群个数为( )。

A. 0 B. 1 C. 2 D. p

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