第二章 控制系统的数学模型习题及答案

自动控制原理

第二章 控制系统的数学模型习题及答案

2-1 试建立下图所示各系统的微分方程。其中电压ur(t)和位移x(t)为输入量；电压uc(t)和位移y(t)为输出量；R（电阻），C（电容），k（弹性系数），和f（阻尼系数），均为

常数。 解：

（a）应用复数阻抗概念可写出

1

I(s) U(s) （1） Ur(s) cR1

cs

R1

I(s)

Uc(s)

（2） R2

联立式（1）、（2），可解得：

Uc(s)R2(1 R1Cs)

Ur(s)R1 R2 R1R2Cs

微分方程为:

ducR1 R2du1

uc r ur dtCR1R2dtCR1

（b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 k1(x x1) f(对B点有 f(

dx1dy

) （1） dtdt

dx1dy

) k2y （2） dtdt

联立式（1）、（2）可得：

k1k2k1dxdy

y

dtf(k1 k2)k1 k2dt

2-2 试证明下图所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式的数学模型）。

自动控制原理

解：

(a) 取A、B两点分别进行受力分析，

如图解所示。对A点有

y ) f1(y y 1) (1) k2(x y) f2(x

对B点有

y 1) k1y1 (2) f1(y

对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量y1，整理后得

f1f22ff

s (1 2)s 1k1k2k1k2f1f2s2 (f1k2 f2k1)s k1k2Y(s) = 2X(s)122

s (1 2 2)s 1f1f2s (f1k2 f2k1 f2k2)s k1k2

k1k2k1k2k1

(b) 由图可写出

Uc(s)

= 1R2

C2s

Ur(s)1R1

C1s1

R2

1C1s

R1

C1s

整理得

Uc(s)R1R2C1C2s2 (R1C1 R2C2)s 1

= 2

Ur(s)R1R2C1C2s (R1C1 R2C2 R1C2)s 1

比较两系统的传递函数，如果设R1 k1,R2 k2,C1 f1,C2 f2,则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。

2-3 求下图所示各有源网络的传递函数

Uc(s)

。

Ur(s)

自动控制原理

解： (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出

Uc(s)R

2

Ur(s)R1

1

(b)

Uc(s)

Ur(s)R1

C1s

R2

11R2

U(s)R2 (c) c Ur(s)R1R1(1 R2Cs)

R2

2-4 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 c(t) 1 2e 2t e t，试求系统的单位脉冲响应和传递函数。 解

k(t)

dc(t)

4e 2t e t dt

(s) L[k(t)]

2-5 系统传递函数

413s 2 s 2s 1(s 1)(s 2)

C(s)2

(0) 0时系统在输 2，试求初始条件为c(0) 1、c

R(s)s 3s 2

入r(t) 1(t)作用下的输出c(t)。

(0) 0时，由 (t) 3c (t) 2c(t) 2r(t)得 解： c(0) 1,cc

(0) 3sC(s) 3c(0) 2C(s) 2R(s) sC(s) sc(0) c

2 s2 3s142

代入初始条件得：C(s)

s(s 1)(s 2)ss 1s 2

c(t) 1 4e

t

2

2e 2t

自动控制原理

2-6 飞机俯仰角控制系统结构图如图所示，试求闭环传递函数Qc(s)Qr(s)。

解： 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数

Qc(s)0.7(s 0.6)

3

Qr(s)s (0.9 0.7K)s2 (1.18 0.42K)s 0.68

2-7 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数

X1(s) G1(s)R(s) G1(s)[G7(s) G8(s)]C(s) X( s) G(s)[X(s) G(s)X(s)] 22163 X(s) [X(s) C(s)G(s)]G(s)3253 C(s) G4(s)X3(s)

C(s)

。 R(s)

解： 系统结构图如下：

利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为

G1G2G3G4C(s)

R(s)1 G2G3G6 G3G4G5 G1G2G3G4G7 G1G2G3G4G8

2-8 试用结构图等效变换法化简下图所示系统，并求各系统的传递函数

解： （a）

C(s)

。 R(s)

自动控制原理

所以： （b）

G1G2G3G4C(s)

R(s)1 G1G2 G3G4 G2G3 G1G2G3G4

所以：

C(s)G1 G2

R(s)1

G2H

（c）

所以：

G1G2G3C(s)

R(s)1 G1G2 G2G3 G1G2G3

2-9 试用梅逊增益公式求下图中各系统的闭环传递函数。

解： （a）图中有1条前向通路，4个回路

P1 G1G2G3G4， 1 1

L1 G2G3H1，L2 G1G2G3H3，L3 G1G2G3G4H4，

L4 G3G4H2， 1 (L1 L2 L3 L4)

G1G2G3G4C(s)P1 1

R(s) 1 G2G3H1 G1G2G3H3 G1G2G3G4H4 G3G4H2

（b）图中有4条前向通路，5个回路

P1 G1，P2 G1G2，P3 G2，P4 G2G1，

L1 G1，L2 G1G2，L3 G2，L4 G2G1，L5 G1G2，

1 2 3 4 1， 1 (L1 L2 L3 L4)，

自动控制原理

C(s)P1 1 P2 2 P3 3 P4 4

R(s)

G1 G1G2 G2 G2G12G1G2 G1 G2

1 G1 G1G2 G2 G2G1 G1G21 G1 G2 3G1G2

（c）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路

P1 G1G2G3， 1 1，P2 G4G3， 2 1 L1， L1 G1G2H1，L2 G3H2，L3 G2H3， 1 (L1 L2 L3) L1L2，

G1G2G3 G4G3(1 G1G2H1)C(s)P1 1 P2 2

R(s) 1 G1G2H1 G3H2 G2H3 G1G2G3H1H2

2-10 已知系统的结构图如下，图中R(s)为输入信号，N(s)为干扰信号，试求总输出C(s)。

解：（a）令N(s) 0，求

C(s)

。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。 R(s)

P1 G1G2， 1 1，P2 G1G3， 2 1 L1 1 G2H，

L1 G2H，L2 G1G2，L3 G1G3， 1 (L1 L2 L3) L1L3，

则有

G1G2 G1G3(1 G2H)C(s)P1 1 P2 2

R(s) 1 G2H G1G2 G1G3 G1G2G3H

C(s)

。有3条前向通路，回路不变。 N(s)

令R(s) 0，求

P1 1， 1 1 L1，P2 G4G1G2， 2 1，

P3 G4G1G3， 3 1 L1， 1 (L1 L2 L3) L1L3，

C(s)P1 1 P2 2 P3 3 1 G2H G4G1G2 G4G1G3(1 G2H)

N(s) 1 G2H G1G2 G1G3 G1G2G3H

C(s)

R(s)[G1G2 G1G3(1 G2H)] N(s)[ 1 G2H G4G1G2 G4G1G3(1 G2H)]

1 G2H G1G2 G1G3 G1G2G3H

自动控制原理

（b）令N1(s) 0，N2(s) 0，求

C(s)

。图中有1条前向通路，1个回路。 R(s)

P1

Ks2K(s 1)

， 1 1，L1 ， 1 L1， s 2s 2

则有

C(s)P1 1Ks

R(s) (2K 1)s 2(K 1)

C(s)

。图中有1条前向通路，回路不变。 N1(s)

令R(s) 0，N2(s) 0，求

P1 s， 1 1，则有

C(s)P1 1s(s 2)

N1(s) (2K 1)s 2(K 1)

C(s)

。图中有1条前向通路，回路不变。 N2(s)

令R(s) 0，N1(s) 0，求

P1

2K

， 1 1s 2

则有

P C(s) 2K

11

N2(s) (2K 1)s 2(K 1)

C(s)

ksR(s) s(s 2)N1(s) 2kN2(s)

(2k 1)s 2(k 1)

C(s)

。图中有3条前向通路，2个回路。 R(s)

（c）令N(s) 0，求

P1 G2G4， 1 1，P2 G3G4， 2 1，P3 G1G2G4， 3 1，

L1 G2G4，L2 G3G4， 1 (L1 L2)，

则有

C(s)P1 1 P2 2 P3 3G2G4 G3G4 G1G2G4

R(s) 1 G2G4 G3G4

C(s)

。有1条前向通路，回路不变。 N(s)

令R(s) 0，求

P1 G4， 1 1， 则有

G4C(s)P1 1

N(s) 1 G2G4 G3G4

C(s)

2-11

R(s)[G2G4 G3G4 G1G2G4] N(s)G4

1 G2G4 G3G4

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Y(s)

G1(1 G3H3) G4G3H3H2H1G1

R(s)

1 G1H1 G3H3 G1G2G3H1H2H3 G1H1G3H3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2k04.html