2022-2022学年河北省衡水市故城高中高三(上)第二次月考数学试卷(

第1页（共18页） 2016-2017学年河北省衡水市故城高中高三（上）第二次月考数

学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知等差数列{a n }中，a 2=5，a 4=11，则前10项和S 10=（ ） A ．55 B ．155 C ．350 D ．400

2．已知向量=（4，2），=（x ，3），且∥，则x 等于（ ） A ．9 B ．6 C ．5 D ．3

3．若实数a ，b 满足a +b=2，则3a +3b 的最小值是（ ）

A ．18

B ．6

C ．2

D ．2

4．已知D 为△ABC 的边BC 上的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足++=0，则等于（ ）

A ．

B ．

C ．1

D ．2 5．数列{（﹣1）n （2n ﹣1）}的前2 016项和S 2016等于（ ）

A ．﹣2 016

B ．2 016

C ．﹣2 015

D ．2 015

6．若正数x ，y 满足x +3y=5xy ，则3x +4y 的最小值是（ ）

A ．

B ．

C ．5

D ．6

7．如果实数x 、y 满足

，目标函数z=kx +y 的最大值为12，最小

值3，那么实数k 的值为（ ）

A ．2

B ．﹣2

C ．

D ．不存在 8．设函数f （x ）满足

（n ∈N *），且f （1）=2，则f （20）为（ ）

A ．95

B ．97

C ．105

D ．192 9．已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（

，﹣1）则|2﹣|的最大值，最小值分别是（ ）

A ．4

，0 B ．4，4 C ．16，0 D ．4，0

第2页（共18页）

10．数列a n =，其前n 项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n +1）x +y +n=0在y 轴上的截距为（ ）

A ．﹣10

B ．﹣9

C ．10

D ．9

11．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．

B ．

C ．（1，+∞）

D ． 12．已知整数的数对列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…则第60个数对是（ ）

A ．（3，8）

B ．（4，7）

C ．（4，8）

D ．（5，7）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若?=0，则tanθ= ． 14．已知点x ，y 满足不等式组

，若ax +y ≤3恒成立，则实数a 的取值

范围是 ． 15．已知a ，b ，μ∈（0，+∞）且+=1，则使得a +b ≥μ恒成立的μ的取值范围是 ．

16．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，a n +2=3a n +1﹣2a n ，则{a n }的前n 项和S n = ．

三、解答题（本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17．已知不等式mx 2﹣2x ﹣m +1＜0．

（1）若对于所有的实数x ，不等式恒成立，求m 的取值范围；

（2）设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围． 18．求证：

（1）a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac

（2）（ac +bd ）2≤（a 2+b 2）（c 2+d 2）

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19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =

﹣1（n ∈N *）．

（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）在数列{b n }中，b 1=5，b n +1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式．

20．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足

．

（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）若，试求的最小值．

21．设数列{a n }满足a n +1=a n 2﹣na n +1（n ∈N *）

（1）当a 1=2时，求a 2、a 3、a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； （2）当a 1≥2时，证明：对?n ∈N *，有a n ≥n +1．

22．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商在第一年初到大陆创办一座120万元的蔬菜加工厂M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第七年开始，每年初M 的价值为年初的75%．

（1）求第n 年初M 的价值a n 的表达式；

（2）设A n =，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：必须在第九年初对M 更新．

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2016-2017学年河北省衡水市故城高中高三（上）第二次

月考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知等差数列{a n }中，a 2=5，a 4=11，则前10项和S 10=（ ）

A ．55

B ．155

C ．350

D ．400

【考点】等差数列的前n 项和．

【分析】根据已知等差数列{a n }中，a 2=5，a 4=11，我们易构造出基本量（首项与公差）的方程组，解方程组后，即可得到首项与公差，代入等差数列前n 项和公式，即可得到答案．

【解答】解：∵等差数列{a n }中，a 2=5，a 4=11，

a 1+d=5，a 1+3d=11，

解得a 1=2，d=3，

则S 10=2×10+

=155

故选C

2．已知向量=（4，2），=（x ，3），且∥，则x 等于（ ）

A ．9

B ．6

C ．5

D ．3 【考点】平行向量与共线向量．

【分析】利用向量共线定理即可得出．

【解答】解：∵

，∴2x ﹣12=0，解得x=6． 故选B ．

3．若实数a ，b 满足a +b=2，则3a +3b 的最小值是（ ）

A ．18

B ．6

C ．2

D ．2

第5页（共18页） 【考点】基本不等式．

【分析】先判断3a 与3b 的符号，利用基本不等式建立关系，结合a +b=2，可求出3a +3b 的最小值

【解答】解：由于3a ＞0，3b ＞0，

所以3a +3b

=

= =6．当且仅当3a =3b ，a=b ，即a=1，b=1时取得最小值．

故选B

4．已知D 为△ABC 的边BC 上的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足++=0，则等于（ ）

A ．

B ．

C ．1

D ．2 【考点】向量加减混合运算及其几何意义．

【分析】由于D 为△ABC 的边BC 的中点，可得

=2．由于满足++

=，可得=2．即可得出答案． 【解答】解：由于D 为BC 边上的中点，

因此由向量加法的平行四边形法则，易知

=2， 即2﹣（

）=2++= 因此结合++=即得：

=2． 因此易得P ，A ，D 三点共线且D 是PA 的中点，

所以

=1． 故选：C

5．数列{（﹣1）n （2n ﹣1）}的前2 016项和S 2016等于（ ）

A ．﹣2 016

B ．2 016

C ．﹣2 015

D ．2 015

第6页（共18页）

【考点】数列的求和．

【分析】由相邻两项之和为2，可求和

【解答】解析 S 2016=﹣1+3﹣5+7+…﹣（2×2 015﹣1）+（2×2 016﹣1）

=2×1008=2 016．故选B ．

6．若正数x ，y 满足x +3y=5xy ，则3x +4y 的最小值是（ ）

A ．

B ．

C ．5

D ．6

【考点】基本不等式在最值问题中的应用．

【分析】将x +3y=5xy 转化成=1，然后根据3x +4y=（）（3x +4y ），展开后利用基本不等式可求出3x +4y 的最小值．

【解答】解：∵正数x ，y 满足x +3y=5xy ，

∴=1

∴3x +4y=（）（3x +4y ）=++

+≥+2=5 当且仅当

=时取等号 ∴3x +4y ≥5

即3x +4y 的最小值是5

故选：C

7．如果实数x 、y 满足

，目标函数z=kx +y 的最大值为12，最小

值3，那么实数k 的值为（ ）

A ．2

B ．﹣2

C ．

D ．不存在 【考点】简单线性规划．

【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再通过对斜率的分类讨论得到最大最小值点，与原题相结合即可得到答案．

【解答】解：可行域如图：得：A （1，4.4），B （5，2），C （1，1）．

第7页（共18页）

所以：l 1：x ﹣4y +3=0的斜率k 1=；L 2：3x +5y ﹣25=0的斜率k 2=﹣． ①当﹣k ∈（0，）时，C 为最小值点，A 为最大值点； ②当﹣k ＞时，C 为最小值点，A 为最大值点，；

③当﹣＜﹣k ＜0时，C 为最小值点，A 为最大值点，； ④当﹣k ＜﹣时，C 为最小值点，B 为最大值点， 由④得k=2，其它情况解得不符合要求．

故k=2．

故选：A ．

8．设函数f （x ）满足

（n ∈N *），且f （1）=2，则f （20）为（ ） A ．95 B ．97 C ．105 D ．192

【考点】数列递推式；数列的函数特性．

【分析】由已知，

，即，可用叠加法求f （n ），f （20）即可求．

【解答】解：∵

，化简整理得，，

…

第8页（共18页） （n ≥2）

以上各式叠加得，

∴

且对n=1也适合． ∴

故选B

9．已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（

，﹣1）则|2﹣|的最大值，最小值分别是（ ）

A ．4，0

B ．4，4

C ．16，0

D ．4，0 【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的最值．

【分析】先表示2﹣，再求其模，然后可求它的最值．

【解答】解：2﹣=（2cosθ﹣

，2sinθ+1）， |2﹣|=

=

，最大值为 4，最小值为 0． 故选D ．

10．数列a n =，其前n 项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n +1）x +y +n=0在y 轴上的截距为（ ）

A ．﹣10

B ．﹣9

C ．10

D ．9

【考点】数列与解析几何的综合．

【分析】由题意因为数列a n =，其前n 项之和为，有数列通项的特点利用裂项相消得方法得到n 的方程解出n 的值是直线（n +1）x +y +n=0的方程具体化，再利用直线在y 轴上的截距求出所求．

【解答】解：因为数列{a n }的通项公式为

且其前n 项和为： +

+…+ =1﹣

==，

第9页（共18页）

∴n=9，

∴直线方程为10x +y +9=0．

令x=0，得y=﹣9，

∴在y 轴上的截距为﹣9．

故选B

11．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．

B ．

C ．（1，+∞）

D ．

【考点】一元二次不等式的解法．

【分析】结合不等式x 2+ax ﹣2＞0所对应的二次函数的图象，列式求出不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上无解的a 的范围，由补集思想得到有解的实数a 的范围．

【解答】解：令函数f （x ）=x 2+ax ﹣2，

若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上无解，

则，即，解得．

所以使的关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解的a 的范围是（

，+∞）．

故选A ．

12．已知整数的数对列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…则第60个数对是（ ）

A ．（3，8）

B ．（4，7）

C ．（4，8）

D ．（5，7）

【考点】归纳推理．

【分析】根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律，然后找出第60对数的两个数的和的值以及是这个和值的第几组，然后写出即可．

【解答】解：（1，1），两数的和为2，共1个，

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（1，2），（2，1），两数的和为3，共2个，

（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共3个，

（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），两数的和为5，共4个

…

∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，

∴第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）．

故选D ．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设0＜θ＜

，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，﹣cosθ），若?=0，则tanθ=

．

【考点】

平面向量数量积的运算．

【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos 2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ

【解答】解：∵ =sin2θ﹣cos 2θ=2sinθcosθ﹣cos 2θ=0，0＜θ＜， ∴2sinθ﹣cosθ=0，∴tanθ=，

故答案为：．

14．已知点x ，y 满足不等式组

，若ax +y ≤3恒成立，则实数a 的取值

范围是 （﹣∞，3] ．

【考点】简单线性规划．

【分析】画出不等式满足的平面区域，由ax +y ≤3恒成立，结合图形确定出a 的范围即可．

【解答】解：满足不等式组的平面区域如右图所示， 由于对任意的实数x 、y ，不等式ax +y ≤3恒成立，

第11页（共18页）

根据图形，可得斜率﹣a ≥0或﹣a ＞k AB =

=﹣3，

解得：a ≤3，

则实数a 的取值范围是（﹣∞，3]．

故答案为：（﹣∞，3]．

15．已知a ，b ，μ∈（0，+∞）且+=1，则使得a +b ≥μ恒成立的μ的取值范围是 0，16 ．

【考点】基本不等式．

【分析】先利+=1，使a +b=（a +b ）（+）展开后利用均值不等式求得a +b 的最小值，进而根据a +b ≥μ恒成立求得μ的取值范围

【解答】解：∵a ，b ∈（0，+∞）且+=1，

∴a +b=（a +b ）（+）=10+（

+）≥10+2=16， ∴a +b 的最小值为16．

∴要使a +b ≥μ恒成立，需16≥μ，∴0＜μ≤16．

故答案为：（0，16]

16．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，a n +2=3a n +1﹣2a n ，则{a n }的前n 项和S n = 2n ﹣n ﹣1 ．

【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法．

【分析】由a 1=0，a 2=1，a n +2=3a n +1﹣2a n ，可得a n +2﹣a n +1=2（a n +1﹣a n ），利用等比数列的通项公式可得a n ﹣a n ﹣1，再利用“累加求和”即可得到a n ，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出S n ．

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【解答】解：由a 1=0，a 2=1，a n +2=3a n +1﹣2a n ，

可得a n +2﹣a n +1=2（a n +1﹣a n ），

∴数列{a n +1﹣a n }是以a 2﹣a 1=1为首项，2为公比的等比数列，

∴（n ≥2）．

∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1

=2n ﹣2+2n ﹣3+…+2+1+0

==2n ﹣1﹣1．

∴S n =（1+2+22+…+2n ﹣1）﹣n

==2n ﹣n ﹣1．．

故答案为：2n ﹣n ﹣1．

三、解答题（本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17．已知不等式mx 2﹣2x ﹣m +1＜0．

（1）若对于所有的实数x ，不等式恒成立，求m 的取值范围；

（2）设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．

【考点】一元二次不等式的应用．

【分析】（1）当m=0时，经检验不满足条件；解得m ≠0时，设f （x ）=mx 2﹣2x ﹣m +1，则由题意可得有，解得 m ∈?．综合可得结论．

（2）由题意﹣2≤m ≤2，设g （m ）=（x 2﹣1）m +（1﹣2x ），则由题意可得

，由此求得x 的取值范围．

【解答】解：（1）当m=0时，1﹣2x ＜0，即当

时不等式恒成立，不满足条

件．… 解得m ≠0时，设f （x ）=mx 2﹣2x ﹣m +1，由于f （x ）＜0

恒成立，则有

第13页（共18页）

，解得 m ∈?．

综上可知，不存在这样的m 使不等式恒成立．…

（2）由题意﹣2≤m ≤2，设g （m ）=（x 2﹣1）m +（1﹣2x ），则由题意可得g （m ）＜0，故有，

即

，解之得， 所以x 的取值范围为

． …

18．求证： （1）a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac

（2）（ac +bd ）2≤（a 2+b 2）（c 2+d 2）

【考点】不等式的基本性质．

【分析】（1）利用做差法证明不等式的大小即可；

（2）利用做差法和平方差公式即可证明不等式成立．

【解答】证明：（1）∵a 2+b 2+c 2﹣（ab +bc +ac ）

= [（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2]≥0，

∴a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac ；

（2）∵（a 2+b 2）（c 2+d 2）﹣（ac +bd ）2

=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2﹣a 2c 2﹣2acbd ﹣b 2d 2

=（ad ﹣bc ）2≥0，

∴（ac +bd ）2≤（a 2+b 2）（c 2+d 2）．

19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =

﹣1（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）在数列{b n }中，b 1=5，b n +1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式．

【考点】数列递推式；数列的求和．

第14页（共18页）

【分析】（I ）当n=1时，，a 1=2．当n ≥2时，∵，

，由此得a n =3a n ﹣1，从而能够得到数列{a n }的通项公式．

（II ）由b n +1=b n +a n ，得b n =b n ﹣1+2?3n ﹣2，b 3=b 2+2×3，b 2=b 1+2×30，相加得b n =b 1+2

×（3n ﹣2+…+3+30）=5+，由此能求出数列{b n }的通项公式．

【解答】解：（I ）当n=1时，，∴a 1=2． 当n ≥2时，∵①

②

①﹣②得：，即a n =3a n ﹣1， ∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列．

∴a n =2×3n ﹣1．

（II ）∵b n +1=b n +a n ，

∴当n ≥2时，b n =b n ﹣1+2?3n ﹣

2，

b 3=b 2+2×3，

b 2=b 1+2×30，

相加得b n =b 1+2×（3n ﹣2+…+3+30）

=5+．

（相加，求和，结果1分）

当n=1时，31﹣1+4=5=b 1，

∴b n =3n ﹣1+4．

20．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，

b ，

c ，且满足．

（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）若，试求的最小值．

【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．

第15页（共18页）

【分析】（1）根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式，得到关于三角形边和角的等式关系，根据正弦定理把变化为角，逆用两角和的正弦公式，得到角B 的余弦值，根据角的范围写出角．

（2）本题要求向量的数量积的最值，而这两个向量的夹角是上一问求出的B ，在表示向量数量积时，只有两边之积是一个变量，因此要表示出两边之积，根据余弦定理和基本不等式得到ac 的范围，得到结果．

【解答】解：（Ⅰ）∵

，

∴（2a +c ）accosB +cabcosC=0，

即（2a +c ）cosB +bcosC=0，

则（2sinA +sinC ）cosB +sinBcosC=0

∴2sinAcosB +sin （C +B ）=0，

即， B 是三角形的一个内角，

∴

（Ⅱ）∵

， ∴12=a 2+c 2+ac ≥3ac ，即ac ≤4

∴

=，

即

的最小值为﹣2 21．设数列{a n }满足a n +1=a n 2﹣na n +1（n ∈N *）

（1）当a 1=2时，求a 2、a 3、a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式； （2）当a 1≥2时，证明：对?n ∈N *，有a n ≥n +1．

【考点】数学归纳法；数列递推式．

【分析】（1）由a 1=2，a n +1=a n 2﹣na n +1，把n=1，2，3分别代入可求a 2，a 3，a 4的值，归纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出a n 的一个通项公式．

（2）a n ≥n +1的证明可以使用数学归纳法，先证明n=1时不等式成立，再假设n=k 时不等式成立，进而论证n=k +1时，不等式依然成立，最终得到不等式a

n

≥n+1恒成立．

【解答】解：（1）由a1=2，得a2=a12﹣a1+1=3

由a2=3，得a3=a22﹣2a2+1=4

由a3=4，得a4=a32﹣3a3+1=5

故猜想a n=n+1；

（2）用数学归纳法证明：

①当n=1时，a1≥2=1+1，不等式成立．

②假设当n=k时不等式成立，即a k≥k+1，

=a k（a k﹣k）+1≥（k+1）（k+1﹣k）+1=k+2．

那么a k

+1

≥（k+1）+1

也就是说，当n=k+1时，a k

+1

据①和②，对于所有n≥1，有a n≥n+1．

22．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商在第一年初到大陆创办一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第七年开始，每年初M的价值为年初的75%．

（1）求第n年初M的价值a n的表达式；

（2）设A n=，若A n大于80万元，则M继续使用，否则须在第n 年初对M更新，证明：必须在第九年初对M更新．

【考点】数列的应用；数列的函数特性．

【分析】（1）根据题意，当n≤6时，数列{a n}是一个等差数列，当n≥7时，数列{a n}中从a6开始的项构成一个等比数列，分别确定它们的首项和公差，公差，写出通项公式，然后进行合并即可．

（2）先对n进行公类，表示出A n，利用数列的单调性质确定其最佳项，并与80比较大小，确定n的值．

【解答】解：（1）当n≤6时，数列{a n}是首项为120，公差为﹣10的等差数列，

故a n=120﹣10（n﹣1）=130﹣10n，

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当n ≥7时，数列{a n }从a 6开始的项构成一个以a 6=130﹣60=70为首项，以为公比的等比数列，

故，

∴第n 年初M 的价值a n =． （2）设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得： 当1≤n ≤6时，S n =120n ﹣5n （n ﹣1），

=120﹣5（n ﹣1）=125﹣5n ， 当n ≥7时，由于S 6=570，

故S n =570+（a 7+a 8+…+a n ）

=570+70×

=780﹣210×

， =， ∵{a n }是递减数列，∴{A n }是递减数列， ∵≈82.734＞80，

≈76.823＜80，

所以必须在第九年初对M 更新．

2017年2月5日

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