解圆锥曲线中点弦问题的通法

Ｘ

圆锥

’

线差

Ａ（２，１），所以ｚ，＋ｘ２一玉兹煞娑＝４，

所以ｋ＝－－詈，直线方程为ｙ－－ｌ一一詈（ｚ一２），即

９ｚ＋８ｙ－－２６＝０．

巾点题的曲弦逦法去

‘，

●●

蟛毒裳曩嘉案曩鏊嚣等萋萎釜兰星奏蓑喜考

弦的中点坐标联系起来，相互转化，进而求解；另外涉及垂直关系往往也是利用韦达定理、设而不求来简化运算．

■ｒ’，．

◇河北张艳红

名例２已知双曲线ｚ２—２ｙ２—４，求以（１，１）为中

点的弦的长度．

圆锥曲线中点弦问题是高考常考内容之一，这部分内容是对数学知识的综合考查，注重对数学思想和方法的运用，因此考生接受起来比较困难，但我们只要掌握解此类题的通性通法，淡化特殊技巧，便可使复杂问题简单化．下面我们就来谈谈在圆锥曲线中有关中点弦问题的通性通法．１通法归纳

１）韦达定理法

将直线方程代人圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．

２）点差法

２（ｙ｝一ｙ２）．故此弦斜率志一ｚＹｌ一－ｚＹ．＿＿丝ｚ２＝淼＝２１．

雁＝Ｊ４－４ｘ（－９）一＿√ｌ＋｛一５抠．

决，这就是“点差法”的灵活应用．

■Ｐ’，

Ｑ／解析

依题意，设弦端点为Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘｚ，ｙｚ），则ｚ－－２ｙｉ一４，ｚ；一２ｙ；－－－－４，所以ｚｉ—ｚ；一

此弦直线方程ｙ一１＝专（ｚ一１），即ｙ一丢ｚ＋丢

代人ｚ２－－２ｙ２＝４，整理得Ｘ２—２ｚ一９—０，所以Ｘ１２２一－－９，ｚ，＋ｚ：＝２，所以ｌＡＢ

ｌ一√乏ｉ干ｊ五Ｆ＝丽

鸯．舞芝耋２，嚣篓主揣僦Ｘ据ｌ，，Ｙ只ｌ是），

为了叙述的方便需要，通过消元，进而使问题得以解

若直线￡与圆锥曲线Ｃ有两个交点Ａ和Ｂ，一般地首先设出交点坐标Ａ（ｘ－，ｙ１）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），代人曲线方程，通过作差，构造出Ｘｌ＋Ｘ２，Ｙ１＋Ｙ２，ｚ１一ｚ２，Ｙｔ—ｙｚ，从而建立中点坐标和斜率的关系，进而求解．

３）导数法

设Ａ，Ｂ是圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）或圆上不同两点，且弦ＡＢ不与ｚ轴垂直，Ｍ（ｘ。，ｙ。）是弦ＡＢ的中点，则弦ＡＢ的斜率为ｙ：在中点Ｍ（ｘ。，ｙｏ）的值．２举例分析

。名例３已知双曲线Ｃ：２２２一ｙ２—１与点Ｐ（１，２）．

（１）是否存在过点Ｐ的弦ＡＢ，使ＡＢ的中点为Ｐ？

（２）若Ｑ（１，１），试判断以Ｑ点为中点的弦是否存在？

ｏ

ｊ■ｒ

将双曲线方程２ｘ２一Ｙ２—１两边对ｚ求导

数，得４／解析数，得４Ｘ－－２列，一ｏ，Ｙ，一譬．２列７一ｏ，’一等．

（１）假设以点Ｐ为中点的弦ＡＢ存在．

ｙ７

ｔ７例１过点Ａ（２，１）弓Ｉ直线与椭圆嚣＋等一１相

交于Ｐ，Ｑ两点，若点Ａ恰是线段ＰＱ的中点，求直线ＰＱ的方程．

ｘ＝ｌ，ｙ＝２－－孕笋＝１，由性质知，ｋ＾Ｂ一１，所求直

线方程为：ｙ－－２＝１ （ｘ－－１），即了一ｚ＋１．

Ｑ

设直线ＰＱ的斜率为足，则直线ＰＱ的方程为ｙ一１一ｋ（ｘ一２），代入Ｘ而－１－百ｙ－一１得

由｛荔挚１，消去ｚ得∥－２—２＝ｏ’△＿

（一２）２～４ １ （一２）＝１２＞０，所以存在过点Ｐ的弦ＡＢ，使Ａ，Ｂ的中点为Ｐ，弦ＡＢ所在直线方程为ｙ＝

ｚ＋１．

１２８）＝０，所以Ｘｌ＋ｘ２一玉群．

万方数据

￡－４－．［ｋ（ｘ－２）＋１７２．：１．”

１６

９

即（１６ｋ２‘＋９）ｚ２＋（一６４ｋ２＋３２ｋ）Ｘ＋（６４ｋ２—６４ｋ一（２）假设以点Ｑ为中点的弦存在．

Ｙ７Ｉ。一ｌｔ，：，一气型一２，由性质知，所求直线方程

在内篡芝轰糍复麓譬瓮鬻聂笺：篡■觯毛蚪滁规

在内心底层．还是那个时候，我们懂得了营造一个寄存心灵归宿的巢．

船壶化

、。Ｉ“…。

为：ｙ一１＝２ （ｚ一１），即ｙ＝２ｚ一１．

由２ｘ：写三，消去稍２ｘ２－－４ｘ＋２＿ｏ，△＝

（一４）２—４ ２ ２＝ｏ，所以这样的直线不存在．

彰彝菜耋竺嚣妻等，毫嚣毒嘉羹萋萋擎莴

容的一个重要结合点，为我们提供了新的解题工具．关于求过定点且以该点为中点的弦的方程问题，要注意弦的存在性，最后要通过△检验．

■■—Ｕ＿

气名ｔ；例４抛物线Ｃ：Ｙ２＝４ｘ上是否存在两点Ｐ１，Ｐ２关于直线ｚ：ｙ一一告ｚ＋ｆ对称？若存在，请求出ｔ的

取值范围；若不存在，请说明理由．

◇河北班风宁

线性规划在实际生活中应用比较广泛，尤其是一些求最值问题，因其能够很好地考查考生的建模能力、思维能力及运算能力，备受命题人的青睐．本文针对不同的目标函数，提出相应的求解策略，以期对同学们有所帮助．１利用直线的截距

Ｑ

一

设Ｐ－，Ｐｚ是Ｃ上不同两点，且关于直线ｚ：

ｙ＝一告ｚ＋ｔ对称．设Ｐ１，Ｐ２的中点为

Ｍ（ｘｏ，ｙｏ）．将抛物线方程Ｙ２＝４ｘ两边对ｚ求导，得

ｙ７２多 因为乜Ｐ２一弘ｚ，ＰｌＰ２Ｊ－ｚ，所以Ｙ旦ｏ＝２，Ｙｏ＝１，

愚Ｐ１Ｐ２２２．

对于目标函数是形如ｚ＝口ｚ＋缈型问题，通常先

设斜率为２的直线与抛物线３，２＝４ｘ相切的切点坐标为（ｚ１，了１），Ｙ７

ｘｆｆｉＸｌ＇Ｙ，Ｙｌ

将其化为ｙ＝－－争＋詈，再根据ｚ的几何意义（直线

在Ｙ轴上的截距的ｂ倍）确定最优解的位置，最后将最优解代入原式解决问题．

ｆ２ｚ＋ｙ≤４０，

２景２２，ｙｌ一１，代入

Ｙ２＝４ｘ，得Ｚｌ＝｛．

所以点Ｍ的轨迹为射线３，＝１（ｚ＞÷）．

Ｃ上存在２点Ｐｌ，Ｐ：关于Ｚ对称等价于Ｃ与点

陟＝１，

１Ｍ的轨迹有公共点．由．｛．．得公共点

Ｐ一一百ｚ１－“

野例１若变孰ｙ满足慰：：≤５０’肌咄＋

２ｙ的最大值是——．

Ｑ

作出约束条件的

／解析可行区域，如图１阴影部分，把目标函数转化为ｙ＝一了３ｚ＿ｒ万２：，因为－－２＜一百３＜一万１，当

ｂ，≥Ｏ，

Ｍ（２（ｔ－－１），１），因为点Ｍ在射线Ｙ＝１（ｚ＞寺）上，所

以２（ｔ－－１）＞１，即￡＞詈．故当￡＞詈时，ｃ上存在两

点关于Ｚ对称．

图１

彰彝罢篙差嚣！亲喜嚣嚣荸篱篡翟

用来解决与圆锥曲线的弦的中点有关问题，其解题过程自然流畅，简洁明快，给入以耳目一新的感觉．

综上，解圆锥曲线的中点弦问题时要注意推理与计算有机结合，分步设问，且分层递进．基本思路是：

直线ｙ－－－－一萼ｚ＋号经过

点Ａ时ｚ取最大值，而点Ａ是两直线的交点．

由｛竺嚣黟禹》以一７。．

４ｂ彝当ｂ＞Ｏ，ｙ２一矿ａ十詈的截距最大时，ｚ取

得最大值，截距最小时，２取得最小值；当ｂ＜Ｏ，ｙ＝

“代点作差”或“联立方程组——消元——韦达定理”，

另外如果借助导数来求解，常可收到意想不到的效果．

（作者单位：河北省承德县六沟高中）

一争＋孛的截距最大时，ｚ取得最小值，截距最小

时。ｚ取得最大值．

袖也

万方数据

迈出坚定的第一步，就相信以后的路可以这样继续下去．执掌人生，Ｉｔｉｌｔ的舵手只有一个，

不是我，更不是他，是自己——我们都已长大！

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