第1章工程随机数学基础习题_答案

第1章 随机事件及其概率

习题 1

1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 解：以n表示该班的学生数，总成绩的可能取值为0,1,2,3,...,100n，所以试验的样

本空间为

iS?{|i?0,1,2,...,100n}.n

（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

4,5,...,18} 解：S?{3,（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

解：设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为

11,12,...} S?{10?k|k?0,1,2,...}或写成S?{10,（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如

连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解：采用0表示检查到一件次品，以1表示检查到一件正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可以表示为

S?{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}.

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 解：S?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}

（6）实测某种型号灯泡的寿命。 解：S?{x|x?0}

2．设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件，。

（1）A发生，B与C不发生。

（2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C中至少有一个发生。 （4）A，B，C都发生。 （5）A，B，C都不发生。

（6）A，B，C中不多于一个发生。 （7）A，B，C至少有一个不发生。 （8）A，B，C中至少有两个发生。

解：以下分别用D(i?1,2,...,8)表示(1),(2),...,(8)中所给出的事件。注意到一个事件 i1

不发生即为它的对立事件的发生，例如事件A不发生即为A发生。

（1）

（2）

A发生，B与C不发生，表示A,B,C同时发生，故D1D1?A?B?C。

?ABC或写成

A与B都发生而C不发生，表示A,B,C同时发生，故D2?ABC或写

成D2?AB?C。

（3） 由和事件的含义知，事件A?B?C即表示A,B,C中至少有一个发

生，故D3?A?B?C。

也可以这样考虑：事件“A,B,C至少有一个发生”是事件“A,B,C都

不发生”的对立事件，因此D?ABC。

3也可以这样考虑：事件“A,B,C中至少有一个发生”表示三个事件中

恰有一个发生或恰有两个发生或三个事件都发生，因此，D3又可写成

D3?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC。

（4） D4?ABC。 （5） D?ABC。

5（6） “A,B,C中不多于一个发生”表示A,B,C都不发生或A,B,C中恰有

一个发生，因此D6?ABC?ABC?ABC?ABC。

又“A,B,C中不多于一个发生”表示“A,B,C中至少有两个不发生”，亦即A,B,C中至少有一个发生，因此又有D6?AB?BC?AC。

又“A,B,C中不多于一个发生”是事件G?“A,B,C中至少有两个发生”的对立事件，而事件G可写成G?AB?BC?CA，因此又可将

D6写成

D6?AB?BC?CA?AB?BC?CA。

（7） “A,B,C中不多于两个发生”表示A,B,C都不发生或A,B,C中恰有 一个发生或A,B,C中恰有两个发生。因此，

D7?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC。又“

A,B,C中不多与两个发生”表示A,B,C中至少有一个不发生，亦即

A,B,C中至少有一个发生，即有D7?A?B?C。

2

又“A,B,C 中不多于两个发生”是事件“A,B,C三个都发生”的对

立事件，因此又有D7?ABC。

（8） D?AB?BC?CA，也可写成

8D8?ABC?ABC?ABC?ABC。

3． 从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概率：

（1）三位数是奇数； （2）三位数为5的倍数； （3）三位数为3的倍数； （4）三位数小于350。 解

（1）构成三位数有A5种情况，而三位数是奇数则要求最后一位为1，3，5三个数

之一，有C3，余下的两位数则在剩余的四个数字之间选择一个，有A4。则三

12C3A43位数是奇数的概率如下：? 3A552A41（2）三位数为5的倍数，则最后一位必然为5，有：3?

A55312（3）三维数为3的倍数，则必有一个3，另外为：1，2；1，5；2，4；4，5。共4

34?A32种组合。 ?3A55（4）首位为1，2，最后两位有4，3种选择，首位为3，最后两位有3，3种选择。

1211C2A4?A3A311 ?3A520

4．某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？

解： E：在17桶油漆中任取9桶给顾客。以A表示事件“顾客取到4桶白漆，3桶

黑漆与2桶红漆”，则有N(S)????17??10??4??3????????，故 ,N(A)?????????9??4??3??2??17?252。

????9?2431??P(A)?N(A)/N(S)????10??4??3????????????4??3??2?

5．在1700个产品中有500个次品、1200个正品。任取200个。

（1）求恰有90个次品的概率；

3

（2）求至少有2个次品的概率。

11090CC解：（1）1200500?…

200C1700

（2）以A表示事件“没有取到次品”，以B表示事件“取到一个次品”。以C表示 事件“至少有两个次品”。

2001199CCC12005001200则有P(C)?1?P(A)?P(B)?1?=… ?200200C1700C1700

6．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。

解：十本书任意放有10!?10?9?8?7?6?5?4?3?2?1种排列方法，而将三本书看作一个整体（此三本书之间有3!种排布）与其他7本书（共有8个元素）在一起排列共有

3!?8!?(3?2?1)?(8?7?6?5?4?3?2?1)种情况，设三本放在一起为事件A，

那么：

P(A)?3!?8!1? 10!15

7． 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？

解： E：从5双不同的鞋子中任取四只。以A表示事件“所取4只鞋子中至少有两只配成一双鞋子”，则A表示事件“所取4只鞋子无配对”。先计算P(A)较为简便。考虑4只鞋子是有次序一只一只取出的。自5双（10只）鞋子中任取4只共有10?9?8?7种取法，N(S)?10?9?8?7。现在来求N(A)。第一只可以任意取，共有10种取法，第二只只能在剩下的9只中且除去与已取的第一只配对的8 只鞋子中任取一只，共8种取法。同理第三只、第四只各有6种、4种取法，从 而 N(A)?10?8?6?4。

故

P(A)?1?P(A)?1?N(A)/N(S)?1?10?8?6?4?13。

10?9?8?721

8．把长度为a的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。 解： 设两段长度分别为X、Y , XY满足方程X+Y

a2a21??。 足X+Y>a/2 X

9．甲乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的，若甲船停泊时间一小时，乙船停泊时间二小时，求它们中任意一艘不需要等待码头空出的概率。

解：本题是一道几何概型的题目，设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“甲、乙两船都不需要等待码头空出”。则要想使甲乙两船都不要等待，那么甲船应该

4

早于乙船1一小时以上或乙船早于甲船2小时以上，即有y?x?1或x?y?2。

?0?x?24?0?y?24?又有0?x?24,0?y?24，根据?做出图形，

?y?x?1??x?y?2求出其围成的面积与?具体如下图1-1：

y24y=x+1y=x-2?0?x?24围成的面积之比，即为事件A的概率。

?0?y?2410-2图 1-124x

考虑平面直角坐标系的第一象限上，0?x?24,0?y?24的正方形区域，其中（x，y）表示甲船于x时刻，乙船于y时刻到达码头。记录y?x?1为直线L1，x?y?2为直线L2，则L1上方区域表示甲船先到，乙船在 1小时之后的某个时间到；L2下方区域表示乙船先到，甲船在2小时之后的某个时间 到。而L1与L2之间的带状区域是有一船需要等候码头的情况。所求的概率即为带状区域之外的两个三角形面积和占正方形面积的比例。

即为：

11?23?23??22?222P(A)?2?0.879 24?24

10．已知P(A)?解:

111,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(B),P(A?B)。 432P(AB)?P(A)P(B|A)?

112

P(B)?

P(AB)11?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A|B)6，3

5

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