等比数列求和课堂实录

前言：

这是06年陈孟伟老师在教材分析时提供的一份案例。老师们可以参考。 希望老师们能将教学中的得意之处用叙事的方式记录下来，共其他教师借鉴，这是目前教学研究中常用的方式，也是非常有意义的事情，其中的内容完全可以作为教学科研的重要铸成部分。

------------------闻岩

一节课的教学设计： 《数列》教学建议

北京八中 陈孟伟

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《等比数列前n项和》课堂实录(浙江省优质课一等奖) 师：同学们，你们喜欢动漫吗？ 生：(异口同声)喜欢！

师：那我们就来看一段最新版的西游记后传。(漫画演示) 话说猪八戒自西天取经回到高老庄，从高员外手里接下高老庄集团，摇身变成了CEO。可好景不长，因资金周转不灵而陷入窘境，急需大量资金投入，于是就找孙悟空帮忙。悟空一口答应：“行！我每天投资100万元，连续一个月(30天)，但有一个条件作为回报，从投资的第一天起必须返给我l元，第二天返还2元，第三天返还4元?即后一天返还数为前一天的2倍。”八戒听了，心里打起了小算盘：“第一天：支出l元，收入100万；第二天：支出2元，收入100万，第三天：支出4元，收入100万元?哇，发财了！”他越想越美。再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“这猴子老是欺负我，会不会又在耍我？” 师：各位同学，假如你是高老庄集团企划部的高参，帮八戒分析一下，按照悟空的投资方式，30天后，八戒能吸纳多少投资？又该返还给悟空多少钱？ （学生学习热情高涨，思维异常活跃） 生：八戒能吸纳3000万元，还给悟空的钱是1,2,22,23,?，229的和。 师：这些数有什么特征？ 生：成等比数列。

师：也就是说要还给悟空的钱数是这个等比数列的前30项和。今天我们就来研究一下等比数列的前n项和。

［点评］依托市场经济背景，运用学生熟悉的人物编拟故事，以趣引思。

师：这个数列的前30项和怎么求？请同学们思考。(学生自主探究，教师巡回指导) 生1：(在黑板上板书并说明)S30?1?2?4???229，①

等式两边同时乘以2，得2S30?2?4?8???230，②,再②一①，得S30?230?1。 这样做的好处是等式两边同乘以2后，可以错位相减抵消很多项。 师：这位同学说得很好，乘以2之后会产生很多相同的项，减一减就可以抵消很多项。我们称这种方法为错位相减法。(教师板书)

师：大家看一下最后的结果230?1,如果我们用计算器把具体值算出来的话，大约是 10.74亿，比悟空给八戒的投资多很多，所以这种投资方式千万不能接受。刚才我们是用错位相减法得到了一个首项为1，公比为2的等比数列的前30项和，那对于公比为q的等比数列{an}，它的前n项和怎么求？请同学们用错位相减法或其他方法在式子Sn?a1?a2?a3???an?1?an??和Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?1??中任选一个进

行研究，可以相互讨论。一会儿请同学们白己展示研究成果。

生2：(实物投影展示)我的方法就是刚才所运用的错位相减法。

Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?2?a1qn?1，①

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qSn?a1q?a1q2?a1q3???a1qn?1?a1qn，②

a1(1?qn)①一②，得(1?q)Sn?a1?a1q。所以，Sn?。

1?qn生3：(实物投影展示)Sn?a1?a2?a3???an?1?an，①

qSn?a1q?a2q?a3q???an?1q?anq，即qSn?a2?a3?a4???an?anq，②

①一②，得(1?q)Sn?a1?anq，所以，Sn?a1?anq。 1?q(教师在学生投影的同时板书Sn的两个式子)

师：刚才这两位同学用同一种方法得到了Sn的不同结果，那这两个式子等价吗？为什么？

生4：等价。因为anq?a1qn?1q?a1qn。

师：很好，我们通过通项公式把两者联系起来，它们的确等价。大家还有不同意见吗？ (利用学生实物投影说明推导过程中要分q?1和q?1两种情况进行讨论，提醒学生注意思维的填密性)

生5：我的方法是：

aa?a3?a4??anS?a1a2a3a4 ?????n?q。2?q?na1a2a3an?1a1?a2?a3??an?1Sn?an整理，得(1?q)Sn?a1?anq。

(教师利用学生实物投影说明推导过程中还需要注意分母不等于0。) 生6：我的方法与他们都不同：Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?2?a1qn?1

?a1?q(a1?a1q???a1qn?2)?a1?q(Sn?a1qn?1)，所以，(1?q)Sn?a1?a1qn。

师：刚才，同学们用许多方法得出等比数列前n项和公式，其中有些方法的技巧性较强。这节课我们着重要掌握错位相减法，运用这种方法还可求某些类型数列的前n项和。

［点评］从特殊到一般，从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高。 ?a1(1?qn),q?1?师：在第一个公式Sn??1?q中涉及哪些量？

?na,q?1?1 3

生：Sn,a1,q,n。 师：第二个公式呢？ 生：Sn,a1,an,q。

师：如果已知a1、q、n或者已知a1、an、q就可以求出Sn。现给出条件，请同学们口答出Sn。在公比为q的等比数列{an}中 (1)若a1?21，q?，则Sn?_____________； 33(2)若a1?1，q?1，则Sn?_____________； 师：再请大家判断是非(幻灯片显示)： (1)1?2?4?8???(?2)生7：错！公比是?2。

1?(1?2n)(2)1?2?2?2???2?

1?2生8：2n应该是2n?1。

师：公式当中，前n项对应n次，即“项数决定次数”。

23nn?11?(1?2n) ?1?2c2[1?(c2)n](3)若c?0且c?1，则c?c?c???c?

1?c2生9：因为分母不等于O，所以这里的c也不能等于?1。

师：很好，同学们在公式运用时都注意到了两点：公比是不是等于1，项数决定着次数。下面我们继续研究公式的具体运用。

2462n例1 已知{an}是等比数列，请完成下表

题号 1 2 3 a1 q 1 22 3n 8 an Sn 1 2 8 27 ?2 (着重强调公式的选择，用幻灯显示结果) [点评]如此简洁明快，可谓水到果成。

?96 ?63 师：由表格可知a1,an,q,Sn,n这五个量中知道其中三个量可求出另两个量，也就是“知

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三求二”，这体现了数学中的方程思想。现在把表格中的第1题改编一下，请大家思考。 例2 求等比数列生10：a5?111,,,?的第5项到第10项的和。 24811，q?，第5项到第10项的和可看成首项是a5的等比数列前6项和。 322生11：前10项的和减去前5项的和。

生12 ：应该是前10项的和减去前4项的和，即a5?a6???a10?S10?S4。 1111师：我把这些数变一下：数列1,2,3,4,?的前n项和怎么求？

2488生13：把它们分成两组，一组等差，一组等比再分开求和。

师：可通过分组把此数列转化成一个等差数列和一个等比数列，然后利用公式求和。

如果这里的数值再改变一下：数列

1234,,,,?的前n项和怎么求？它有什么特征？ 24816生14：分子成等差数列，分母成等比数列，但是没法分组求和了。

师：这位同学观察得很仔细。这道题虽然没法分组处理，但可以用我们今天介绍的错位相减法进行求和，请同学们课后试一试。

[点评]这些问题都源于课本，高于课本，无疑加大了数学思维的梯度和强度。 师：今天，我们这节课主要学习了哪知识？ 生：等比数列前n项和公式。

师：在公式推导过程中，我们运用了错位相减法，运用这种方法时要注意三点：等式两边是同乘以公比q；分q?1和q?1两种情况进行讨论；在公式涉及的五个量中，可以“知三求二”，体现了方程思想。在剖析例题时，我们运用了分组求和的方法，它又隐含转化的思想。

师：数学并不抽象，它来源于实际，又服务于生活。“神舟六号”刚刚发射成功，我就收到一条短信：“请你把中国神六发射成功的消息转发给10位朋友，并且注明您是第x位接收此消息的?”假定这家公司发出的10条短信中的x值均为1，以后每一位收到短信后将x值都增加1，再将信发出。据统计，所发短信中x的最大为10。试问通过这家公司最多发了多少短信？请同学们课后思考这个问题。 师：课后请同学们完成下面的作业。

(1)书面作业必做题：课本第129页第3题的(1)和习题3.5的第1题。

选做题：画一个边长为2cm 的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，这样一共画了10个正方形，求这10个正方形的面积的和。 (2)研究性作业：查阅“芝诺悖论”，并从数列求和的角度加以解释。(在此，教师提供了一个网站，供学生查阅参考资料)。

[点评]提供参考网站，让学生开展研究性学习，很有创意，很有意义。

摘自《中学数学教育》2006年第3期

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