高考数学玩转压轴题专题1.8极值点偏移第六招 - - 极值点偏移终极套路201711293157

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值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.

下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法. ★已知f?x??xlnx?12mx?x，m?R．若f?x?有两个极值点x1，x2，且x1?x2，22求证：x1x2?e（e为自然对数的底数）．

解法一：齐次构造通解偏移套路

?x2?x2?1??ln?lnx2?lnx1??x2?x1???x1?x1．

于是lnx1?lnx2?x2x2?x1?1x11?t?lnt?x2又0?x1?x2，设t?，则t?1．因此，lnx1?lnx2?，t?1．

x1t?1要证lnx1?lnx2?2，即证：

?t?1?lnt?2t?1， t?1．即：当t?1时，有lnt?2?t?1?．设t?1 1

2?t?1?12?t?1??2?t?1??t?1???0， 函数h?t??lnt?，t?1，则h??t???22tt?1t?t?1??t?1?所以，h?t?为?1.???上的增函数．注意到，h?1??0，因此，h?t??h?1??0．

2于是，当t?1时，有lnt?解法二 变换函数能妙解

2?t?1?2．所以，有lnx1?lnx2?2成立，x1x2?e． t?12证法2：欲证x1x2?e，需证lnx1?lnx2?2．若f?x?有两个极值点x1，x2，即函数f??x?有两个零点．又f??x??lnx?mx，所以，x1，x2是方程f??x??0的两个不同实根．显然m?0，否则，函数f??x?为单调函数，不符合题意．

由??lnx1?mx1?0?lnx1?lnx2?m?x1?x2?，

lnx?mx?0?22

解法三 构造函数现实力

证法3：由x1，x2是方程f??x??0的两个不同实根得m?lnxlnx，令g?x??，xxg?x1??g?x2?，由于g??x??1?lnx，因此，g?x?在?1,e??，?e,????． 2x2?e2?e2设1?x1?e?x2，需证明x1x2?e，只需证明x1?只需证明f?x1??f??，??0,e?，

x2?x2? 2

?e2?即f?x2??f??，即f?x2???x2??e2?f???0． ?x2??1?lnx??e2?x2??e2?即h?x??f?x??f???x??1,e??，故h?x?在?1,e??，h??x???0，22xe?x??e2??e2?故h?x??h?e??0，即f?x??f??．令x?x1，则f?x2??f?x1??f??，因为x2，

?x??x1?e2e2??e,???，f?x?在?e,????，所以x2?，即x1x2?e2． x1x1解法四 巧引变量（一）

证法4：设t1?lnx1??0,1?，t2?lnx2??1,???，则由??lnx1?mx1?0得

lnx?mx?0?22?t1?met1kekkt12t1?t2k?t?t?0t?，设，则，．欲证x1x2?e，t???e?1212t2kke?1e?1t2?t2?me

解法五 巧引变量（二）

证法5：设t1?lnx1??0,1?，t2?lnx2??1,???，则由??lnx1?mx1?0得

lnx?mx?0?22?t1?met1t1klnklnkt1t1?t2?k?0,1t?t?，设，则，． ??e???12t2tt?mek?1k?1t22?22欲证x1x2?e，需证lnx1?lnx2?2，

即只需证明t1?t2?2，

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即

?k?1?lnk?2?lnk?2?k?1??lnk?2?k?1??0，

k?1k?1k?122?k?1??k?1??0k??0,1??，g??k??设g?k??lnk?， ?2k?1k?k?1?故g?k?在?0,1??，因此g?k??g?1??0，命题得证．

★已知函数f(x)?x?(a?2)x?alnx，若方程f(x)?c有两个不相等的实数根x1,x2，求证：f?(2x1?x2)?0. 2

x1?x2a)?0?f?()，结合f?(x)的单调性， 22x?x2a即证：1?

22欲证：f?(x1?2x12x1?2x2x2x12?2x1?x22?2x2?ln??等价于证明：x1?x2?

xxx?xx1?lnx1?x2?lnx21212?1x22令t?x12t?2,(0?t?1)，构造函数g(t)?lnt?,(0?t?1)， x2t?1求导由单调性易得原不等式成立，略.

4

法二：接后续解:

由得：(x1?x2)(x1?x2)?(a?2)(x1?x2)?alnx1x?0 2构造函数m(t)?lnt?2(t?1)t?1,(0?t?1)， 求导由单调性易得m(t)?0在t?(0,1)恒成立， 又因为a?0,x1?x2?0，故f?(x1?x22)?0成立. 法三：接④后续解：

x2(x?x2)4x2(x?x2视12)1为主元，设g(x)?lnx?lnx2?x?x,g?(x)??x2?2?02x(x?2)(x?x2)则g(x)在x?(0,x2)上单调递增，故g(x)?g(x2)?0，

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再结合a?0,xx1?x21?x2?0，故f?(2)?0成立. 法四：构造函数h(x)?f(aaa2?x)?f(2?x),(0?x?2)，

则h?(x)??f?(a2?x)?f?(a4x22?x)??0， (a2?x)(a2?x)从而h(x)在(0,a)上单调递增，故h(x)?h(0)?0，即f(a?x)?f(a222?x) 对x?(0,a2)恒成立，

从而f(x)?f(a?x),(0?x?a2)，则f(x2)?f(x1)?f(a?x1)， 由xaa2,a?x1?(2,??)，且f(x)在(2,??)单调递增，

故x2?a?x1， 即

x1?x22?a2，从而f?(x1?x22)?0成立. 招式演练：

★已知函数f?x??lnx?ax?b?a,b?R?有两个不同的零点x1,x2． ?I?求f?x?的最值；

?II?证明： x1?x2?1a2． 【答案】（1）f?x?max??lna?1?b，无最小值 （2）见解析

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7

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明.

★已知函数g?x??xe?2?a?x?a?R?， e为自然对数的底数.

（1）讨论g?x?的单调性；

（2）若函数f?x??lng?x??ax的图象与直线y?m?m?R?交于A、B两点，线段AB中

2点的横坐标为x0，证明： f??x0??0（f??x?为函数f?x?的导函数）

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【答案】（1）见解析（2）见解析

（2）∵f?x??lnxe∴f??x????2?a?x??ax2?lnx??2?a?x?ax2(x?0)，

?2x?1??ax?1?1??2?a??2ax??， xx当a?0时， f??x??0,y?g?x?在?0,???上单调递增，与直线y?m不可能有两个交点，故a?0．

令f??x??0，则0?x?11?1?；令f??x??0，则x?，故y?g?x?在?0,?上单调递增，aa?a?在?1?1?,???上单调递减．不妨设A?x1,m?,B?x2,m?，且0?x1??x2，

a?a?要证f??x0??0，需证ax0?1?0， 即证x0?122?2??x1?x2??x2??x1?f?x2??f??x1?， aaa?a?又f?x1??f?x2?，所以只需证f?x1??f?1?2??x1?，即证：当0?x?时，

a?a? 9

?2?f??x??f?x??0． ?a?设F?x??f??2??x??f?x??ln?2?ax??ln?ax??2ax?2， ?a?22?ax?1??a1则F??x????2a???0，

2?axxx?2?ax?∴F?x??f??2??1??1??21??x??f?x?在?0,?上单调递减，又F???f?????a??a??a??aa??1?f???0， ?a?故F?x??f??2??x??f?x??0，原不等式成立． ?a?32★已知函数f?x??ax?lnx?2的图象的一条切线为x轴.（1）求实数a的值；（2）令3g?x??f?x??f??x?，若存在不相等的两个实数x1,x2满足g?x1??g?x2?，求证： x1x2?1.

x0?1【答案】（1）{2（2）见解析

a?3 10

当x?1时， 0?

1?1， x记G?x??g?x??g???1???1??hx?????h????f?x??f??x????x???x???1??1?f???f???， ?x??x? 11

记函数y?f??x?的导函数为y?f???x?，则

G??x??f??x??f???x??1?1?1?1????f?f???? x2?x?x2?x??1??11?1?1?1?x?2 ??x?????2??2??x??2??x???xxxx22xx??????????x?1??x?1x?1?2?0， 2xxxx故G?x?在?1,???上单调递增， 所以G?x??G?1??0，所以g?x??g??1???0， ?x?不妨设0?x1?1?x2，则g?x1??g?x2??g??1??， ?x2?而0?x1?1， 0?11?1，有单调性知x1?，即x1x2?1. x2x2★已知函数f?x??lnx?12ax?bx且函数y?f?x?图象上点?1,f?1??处的切线斜率为20.

（1）试用含有a的式子表示b，并讨论f?x?的单调性；

（2）对于函数图象上的不同两点A?x1,y1?,B?x2,y2?如果在函数图象上存在点

M?x0,y0?,?x0??x1,x2??使得点M处的切线lAB，则称AB存在“跟随切线”.特别

地，当x0?x1?x2时，又称AB存在“中值跟随切线”.试问：函数f?x?上是否存在两点2A,B使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出A,B的坐标，若不存在，说明理由.

【答案】（1）见解析（2）不存在

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令t?x1x,(0?t?1)， 2构造函数g?t??lnt?2?t?1?t?1,(0?t?1)，

则g?t??14t??t?1?2??t?1?2t?t?1?2， 则t??0,1?时，g?t??0恒成立，

故y?g?t?在?0,1?上单调递增从而得出不存在 试题解析：

函数y?f?x?的定义域为?0,???，且f'?x??1x?ax?b， 又f'?1??0，整理得b?a?1. （1）f'?x??1x?ax?b?1x?ax?a?1??ax?1???x?1?x. 1）当a?0时，易知x??0,1?， f'?x??0,x??1,???时f'?x??0， 故y?f?x?在?0,1?上单调递增，在?1,???上单调递减. 2）当a?0地，令f'?x??0，解得x?1或x??1a，则 ①当?1a?1，即a??1时，

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f'?x??0在?0,???上恒成立，则y?f?x?在?0,???上递增.

当?1?a?0时，y?f?x?在?0,1?及??调递减.

当a??1时， y?f?x?在?0,???上递增. 当a??1时， y?f?x?在?0,?1??1??,???上单调递增：y?f?x?在?1,??上单

a??a????1??1?及上单调递增； 在1,??y?fx???????,1?上递减. a??a? 14

点睛：对于导数问题，做题要特别注意在讨论时单调性受参数的影响，可以通过分析导数零点的大小来逐一分析，对于此题第二问的类型，要注意函数的构造和假设，分析函数单调性求最值从而得出结论.

★已知函数f?x??xlnx?ax?x?a?a?R?在其定义域内有两个不同的极值点.

2（1）求a的取值范围.

2（2）设f?x?的两个极值点为x1,x2，证明x1x2?e.

【答案】（1）

1?a?0（2）见解析 ?2e 15

试题解析：（1）依题意，函数f?x?的定义域为?0,???，所以方程f??x??0在?0,???有两个不同根.即方程lnx?2ax?0在?0,???有两个不同根. 转化为，函数g?x??又g??x??lnx与函数y??2a的图象在?0,???上有两个不同交点 x1?lnx，即0?x?e时， g??x??0， x?e时，g??x??0， 2x1所以g?x?在?0,e?上单调增，在?e,???上单调减，从而g?x?极大=g?e??.

e又g?x?有且只有一个零点是1，且在x?0时，g?x????，在x? g?x??0，??时，所以由g?x?的图象，

lnx与函数y??2a的图象在?0,???上有两个不同交点， x11只需0??2a?，即?a?0

e?2e要想函数g?x??（2）由（1）可知x1,x2分别是方程lnx?ax?0的两个根，即lnx1?ax1， lnx2?ax2，

x1xx2设x1?x2?0，作差得， ln1?a?x1?x2?，即a?.

x2x1?x2ln2原不等式x1x2?e等价于lnx1?lnx2?2 ?a?x1?x2??2 ?lnx12?x1?x2? ?x2x1?x2 16

令

2?t?1?x1x2?x1?x2??t，则t?1，ln1?， ?lnt?x2x2x1?x2t?12?t?1?t?1设g?t??lnt??t?1?， t?1，g??t??2t?t?1?2?0，

∴函数g?t?在?1,???上单调递增， ∴g?t??g?1??0，

即不等式lnt?2?t?1?t?12成立，故所证不等式x1x2?e成立.

点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数h?x??f?x??g?x?.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. ★已知函数f?x??x?1，A?x1,m?，B?x2,m?是曲线y?f?x?上两个不同的点. ex（Ⅰ）求f?x?的单调区间，并写出实数m的取值范围； （Ⅱ）证明：x1?x2?0.

【答案】（Ⅰ）m的取值范围是?0,1?；（Ⅱ）见解析.

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【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.

在高考创新试题层出不穷的大环境下，学生首先要掌握基本的知识方法和解题策略，对新题、难题的突破，更需在掌握双基的前提下，淡化特殊技巧、重视思想方法、去模式化的解题策略，以不变应万变，培养学生分析问题、解决问题的能力.只有学生学会自我分析，

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利用熟知的知识方法去解决各类未知的创新试题，教师才算成功培养学生解题思维，同时对学生认知的广阔性、逆向性也是一种需要.

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