2008年江苏专转本高等数学真题（附答案）

2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1、设函数f(x)在(??,??)上有定义，下列函数中必为奇函数的是 （ ） A、y??f(x) C、y??f(?x) 2

、

设

函

数

B、y?x3f(x4) D、y?f(x)?f(?x)

f(x)可导，则下列式子中正确的是

（ ） A、limx?0f(0)?f(x)??f'(0)

xB、limx?0f(x0?2x)?f(x)?f'(x0)

x、

limC、?x?0f(x0??x)?f(x0??x)?f'(x0)

?xD

lim?3

x?0f(x0??x)?f(x0??x)?2f'(x0)

?x、

设

函

数

f(x)??t2stdtin，

2x1则

f'(x)等于

（ ） A、4xsin2x

2B、8xsin2x

2C、?4xsin2x

2D、

?8x2sin2x

b?(3,2,4)，4、设向量a?(1,2,3)，则a?b等于 （ ）

A、（2，5，4） 5，4）

B、（2，－5，－4）

C、（2，5，－4）

D、（－2，－

????y在点（2，2）处的全微分dz为 （ ） x111111A、?dx?dy B、dx?dy C、dx?dy D、

22222211?dx?dy 225、函数z?ln6、微分方程

y''?3y'?2y?1的通解为

（ ）

A、y?c1e?x?c2e?2x?1 C、y?c1ex?c2e?2x?1

B、y?c1e?x?c2e?2x??2xD、y?c1e?c2ex1 21? 2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

x2?17、设函数f(x)?，则其第一类间断点为.

x(x?1)a?x,x?0,8、设函数f(x)??tan3xx32,x?0,在点x?0处连续，则a＝.

9、已知曲线y?2x?3x?4x?5，则其拐点为. 10、设函数f(x)的导数为cosx，且f(0)?11、定积分

1，则不定积分?f(x)dx＝. 22?sinx??11?x2dx的值为.

1xn12、幂函数?的收敛域为. nn?1n?2?三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限：lim(x??x?23x) x?x?t?sint,dyd2y14、设函数y?y(x)由参数方程?t?2n?,n?Z所决定，求,2

dxdx?y?1?cost,x3dx. 15、求不定积分：?x?116、求定积分：

17、设平面?经过点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，5），求经过点P（1，2，1）且与平面?垂直的直线方程.

?10exdx.

y?2z18、设函数z?f(x?y,)，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求.

x?x?y19、计算二重积分

2x??dxdy，其中D是由曲线y?D1，直线y?x,x?2及y?0所围成x的平面区域.

20、求微分方程xy'?2y?x2的通解.

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、求曲线y?1(x?0)的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此最小值. x22、设平面图形由曲线y?x2，y?2x2与直线x?1所围成. （1）求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.

（2）求常数a，使直线x?a将该平面图形分成面积相等的两部分.

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）

23、设函数f(x)在闭区间?0,2a?(a?0)上连续，且f(0)?f(2a)?f(a)，证明：在开区间(0,a)上至少存在一点?，使得f(?)?f(??a). 24、对任意实数x，证明不等式：(1?x)ex?1.

2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、B 2、A 3、D 4、C 5、A 6、B 7、0 8、3 9、（2，17） 10、?cosx?1x?c 11、? 12、??2,2? 2xxx?23x22?613、lim()?lim(1?)3x?lim(1?)2，令y??，那么

x??x??x??2xxxlim(x??x?23x11)?lim(1?)?y?6?6.

x??xye‘’‘’‘’14、y(t)?sint，x(t)?1?cost，y(t)?cost，x(t)?sint.

‘’dyy’(t)sintd2yy，，(t)x，(t)?y，(t)x(t)?1?，?，2??. 32‘dxx(t)1?costdx(1?cost)x(t)??x3x3?1d(x?1)dx??dx??dx??(x2?x?1)dx?lnx?1?C 15、?x?1x?1x?1x3x2???x?lnx?1?C. 3216、

?e011x2dx??ed(x)?2?e001x1211x212211x2?xdx?2?ede?2(xe0121211x212121x210??edx)

011x212＝2e?2e0?dx?2e?2ex?121210?2e?2e?2?2.

?3，0)，AC?(?2,0,5)，那么法向量为 17、由题意得：AB?(－2，??30－2－2?2?2????(15,10,6). n?AB?AC??，－，0530??05??zy，?2z，1，，y‘1’‘’?f1?2f2.18、?f，11＋f12－2(f21?f‘22) ?xx?x?y2xx''＝f11?y''y''1''1f12－2f2'?2f21?3f22 xxxx1x19、

??xdxdy??dx?D013020x2dy??dx?x2dy

1221x0??xdx??20、积分因子为?(x)?e，1x4xdx?410x2?221?137?? 424??2dxx?elnx?2?1. 2xdy2y??x. dxx1dy2y1?3?. 在方程两边同乘以积分因子2，得到2xxxdxx化简原方程xy?2y?x为

2d(x?2y)1?. 化简得：

dxxd(x?2y)1??dx. 等式两边积分得到通解?dxx故通解为y?xlnx?xC 21、令F(x,y)?221?1?y，那么x和y的偏导分别为Fx(x0,y0)?2，Fy(x0,y0)??1. xx0所以过曲线上任一点(x0,y0)的切线方程为：

x?x0y?y0??0. 21x0当X＝0时，y轴上的截距为y?1?y0. x02当y＝o时，x轴上的截距为x?x0y0?x0.

令F(x0,y0)?12?y0?x0y0?x0，那么即是求F(x0,y0)的最小值. x0111?x0??x0?2(?x0)?4，故当x0?y0?1时，取到最小值4. x0x0x014410而F(x0,y0)?3?x522、（1）V???(4x?x)dx?05（2）由题意得到等式：化简得：

?13?. 5?a0(2x2?x2)dx??(2x2?x2)dx

a?a0x2dx??x2dx.

a31解出a，得到：a?11，故a?1. 22323、令g(x)?f(x?a)?f(x)，那么g(a)?f(2a)?f(a)，g(0)?f(a)?f(0). 由于g(a)g(0)?0，并且g(x)在?0，a?上连续.

故存在??(0，a)，使得g(?)?0，即f(?)?f(??a).

11x?x2???? 1!2!1121213x代入不等式左边：(1?x)e?(1?x)(1?x?x????)?1?x?x?????1

1!2!23x24、将e用泰勒公式展开得到：e?1?x

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