江苏省2014届高三百校联合调研测试（一）数学试题

江苏省2014届高三百校联合调研测试（一）

数学试题

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.选修测试历史的而考生仅需做第I卷，共160分，考试用时120分钟.选修测物理的考生需做第I卷和第II卷，共200分考试用时150分钟.

第I卷（必做题 共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上。 1．已知集合A?{x|2?1},B?{x|x?1},则A?B? ． 2．复数

xa?2i(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为 ． 1?2i频率/组距0.00050.00040.00030.00020.0001月收入（元）10001500200025003000350040003．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人． 4．某算法的伪代码如图所示,若输出y的

值为1,则输入x的值为 ．

x2y25．已知双曲线??1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的渐近线方程为

4b________.

6．已知2sin??3cos??0，则tan2??________.

7.已知正三棱柱底面边长是2，，外接球的表面积是16?，则该三棱柱的侧棱长 ．

Read x

If x≤0 Then y←x＋2 Else

y←log2014x End If Print y （第4题）

8. 在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则不等式x⊙(x－2)＜0的解集是 ． 9．投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a,又

n(A)表示集合的元素个数,A??x||x2?ax?3|?1,x?R?,则n(A)?4的概率为 10．函数

f(x)?2sin(?x)?1,x?[?2,4]的所有零点之和为 ． 1?x11．如图，PQ是半径为1的圆A的直径，△ABC是边长为1的正三角形，则BP?CQ的最大值

CQ

APB

为 ．

212. 已知数列{an}的首项a1?a，其前n和为Sn，且满足Sn?Sn?1?3n(n?2)．若对任意的

n?N*，an?an?1恒成立，则a的取值范围是 ．

13. 已知圆C:(x?2)?y?1，点P在直线l:x?y?1?0上，若过点P存在直线m与圆C交于

22A、B两点，且点A为PB的中点，则点P横坐标x0的取值范围是 ．

14．记实数x1,x2,?,xn中的最大数为max{x1,x2,?,xn}，最小数为min{x1,x2,?,xn}.已知实数

?1x??1x?1?x?y且三数能构成三角形的三边长，若t?max?,,y??min?,,y?，则t的取值范围

?xy??xy?是 ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

????15. (本小题满分14分)已知a?(3,?cos(?x))，b?(sin(?x),3)，其中??0，函数f(x)?a?b的最小正周期为?.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且f()?3，a?A23b，求角A、B、

C的大小．

16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P?ABC中，PA?PC，AB?PB，E,F分别是PA，AC的中点． 求证：（1）EF∥平面PBC； （2）平面BEF⊥平面PAB．

17. (本小题满分14分)某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间t（秒）的变化规律大致可用

E A P F B

C

t?2t?)x?20(sin)x（t为时间参数，x的单位：m）来描述，其中地面可作6060为x轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y轴。 y??(1?4sin2（1）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；

（2）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？

x2y2318. (本小题满分16分)如图，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，以椭圆C的左

2ab222顶点T为圆心作圆T：(x?2)?y?r(r?0)，设

y圆T与椭圆C交于点M与点N．

（1）求椭圆C的方程； PM????????（2）求TM?TN的最小值，并求此时圆T的方程；

（3）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S，O为坐标原点，求证：OR?OS为定值．

19. (本小题满分16分)已知数列?an?满足下列条件：①首项a1?a,(a?3,a?N)；

*RTNSOx②当an?3k,(k?N)时，an?1?（I）当a4?1，求首项a之值； （II）当a?2014时，求a2014；

*an*；③当an?3k,(k?N)时，an?1?an?1 3（III）试证：正整数3必为数列?an?中的某一项；

20. (本小题满分16分) 已知函数f(x)?a?blnx(a,b?R)，其图像在x?e处的切线方程为

x?ey?e?0．函数g(x)?(Ⅰ)求实数a、b的值；

kf(x)． (k?0)，h(x)?xx?1（Ⅱ）以函数g(x)图像上一点为圆心，2为半径作圆C，若圆C上存在两个不同的点到原点O的距离为1，求k的取值范围；

（Ⅲ）求最大的正整数k，对于任意的p?(1,??)，存在实数m、n满足0?m?n?p，使得

h(p)?h(m)?g(n)．

第Ⅱ卷（附加题 共40分）

21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A．选修4—1 几何证明选讲

如图，已知⊙O的半径为1，MN是⊙O的直径，过M点作⊙O的切线AM，C是AM的中点，AN交⊙O于B点，若四边形BCON是平行四边形.求AM的长；

解析：连接BM，则?MBN?90?，因为四边形BCON是平行四边形，所以BC∥MN，因为AM是⊙O的切线，所以

MN?AM，可得BC?AM，又因为C是AM的中点，所以

BM?BA，得?NAM?45?，故AM?2. B．选修4—2 矩阵与变换

???1?已知二阶矩阵M有特征值??3及对应的一个特征向量e1???，并且矩阵M对应的变换将点

?1?(?1,2)变换成(3,0)，求矩阵M。

?ab??ab??1??1??a?b?3?3，则由条件得，从而， ?????????cd??1??1??c?d?3?cd??ab???1??3???a?2b?3又???2???0?，从而??c?2d?0，联立，解之得a?1,b?2,c?2,d?1

cd????????12?故M?? ??21?解析：设矩阵M??

C．选修4—4 参数方程与极坐标

?x??3t?2,?5已知曲线C的极坐标方程是??2sin?，直线的参数方程是?（为参数）．

4?y?t5?设直线与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求MN的最大值.

解析：曲线C的直角坐标方程为x2?y2?2y?0，故圆C的圆心坐标为(0,1)，半径r?1

直线l的直角坐标方程y??4(x?2), 令y?0,得x?2,即M点的坐标为(2,0).

3从而MC?5,所以MN≤MC?r?5?1.即MN的最大值为5?1。

D．选修4—5 不等式证明选讲

22已知x?y?2，且x?y，求

1?x?y?2?1?x?y?

2的最小值．

解析：?x2?y2?2,??x?y???x?y??4 ,

2211?22???x?y???x?y????4, 22??(x?y)(x?y)????

11??1， 当且仅当x??2,y?0，或x?0,y??2时 22(x?y)(x?y)11的最小值是1. ?22(x?y)(x?y)22．(本小题满分10分)如图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°. (Ⅰ)求二面角M?AC?B的的余弦值； （Ⅱ）求点C到面MAB的距离.

(Ⅰ)∵PC?AB,PC?BC,AB?BC?B∴PC?平面ABC．

在平面ABC内，过C作CD?CB，建立空间直角坐标系C?xyz（如图） 31?，设P?0,0,z??z?0?， 由题意有A?00??2,?2,0???????????????则M?0,1,z0?,AM??3,?1,z0?,CP??0,0,z0?

?2?2????????????????????0由直线AM与直线PC所成的解为60，得AM?CP?AM?CP?cos600，

即z02??2z02?3?z0，解得z0?1

????????????31?∴CM??0,0,1?,CA??，设平面MAC的一个法向量为n1?(x1,y1,z1)，

?2,?2,0?????y1?z1?0??????则?3，取x1?1，得n1?(1,3,?3)，平面ABC的法向量取为n2??0,0,1? 1y1?z1?0??22??????????n?n2?3设n1与n2所成的角为?，则cos????1??． ??7n1?n2

显然，二面角M?AC?B的平面角为锐角，故二面角M?AC?B的余弦值为

………………5分

21． 7?????????3133（Ⅱ）M(0,1,1)，A(?,?,0)，B(0,2,0)，?AM?(,,1)，MB?(0,1,?1)．

2222?33??x2?y2?z2?0?设平面MAB的一个法向量m?(x2,y2,z2)，则?2， 2?y?z?0?22????????|CB?m|2935???取z2?1，得m?(． ,?1,?1)，则点C到平面MAB的距离d?31|m|3………………10分

23．(本小题满分10分)已知二项式(5x?开式按x的降幂排列．

(Ⅰ)求m及t的值．

(Ⅱ)数列?an?中，a1?t，an?t

an?11m)的展开式中第2项为常数项t，其中m?N*，且展2x，n?N*，求证：an?3 能被4整除．

数学试卷一参考答案及评分标准：

1．答案：{x|0?x?1},解析：A?{x|2?1}?{xx?0}，所以A?B?{x|0?x?1}. 2．答案：4 解析：因原式=

x(a?2i)(1?2i)a?4?2(a?1)i，故a?4?0，a?4 ?553．答案：25 解析：从频率分布直方图可知，

月收入从1000至4000的人数依次是

1000、2000、2500、2500、1500、500，从而所求人数是100?4．答案：-1或2014

解析：根据题意可知，当x?0时，由x?2?1得x??1

当x?0时，由log2014?1得x?2014，综上所述，输入x的值为-1或2014。

2500?25。

10000x2y25x，解析：由条件得4?b?9，b?5，从而双曲线方程为??1，故5．答案： y??245

渐近线方程为y??5x。 232?(?)1232?12 6．答案： 解析：由条件得tan???，从而tan2??35251?(?)227．答案：46 3解析?该三棱柱外接球的表面积是16?，

?该球的半径R=2,又正三棱柱底面边长是2， ?底面三角形的外接圆半径r?2234?1?， 3323246)?. 33?该三棱柱的侧棱长是222?(8．答案：(?2,1) 解析：由定义可知，原不等式可化为x(x?2)?2x?x?2?0，解之得

?2?x?1。

9．答案：

12解析：由n(A)?4知,函数y?|x?ax?3|和y?1的图像有四个交点,所以3

12?a2??1, ,所以a的取值是5,6.又因为a的取值可能是6种,故概率y?x?ax?3的最小值

42是

21?。 6310．答案：8

11?2sin?t?，其 tt1中t?[?3,3]，因g(?t)??g(t)，故g(x)是奇函数，观察函数y?2sin?t与y? 在

t解析：设t?1?x，则x?1?t，原函数可化为g(t)?2sin(???t)?t?(0,3]的图象可知，共有4个不同的交点，故在t?[?3,3]时有8个不同的交点，其横坐

标之和为0，即t1?t2???t7?t8?0，从而x1?x2???x7?x8?8

111．答案：

2解析：由图可知BP?AP?AB，CQ?AQ?AC，

从而BP?CQ??1?AP?AC?AQ?AB?1，记?BAP??， 2

则BP?CQ??cos(??60?)?cos(180???)?故当??60?时，BP?CQ的最大值为12．

答案：(,11?sin(??30?)? 221。 2915) 442解析：由条件Sn?Sn?1?3n(n?2)得Sn?1?Sn?3(n?1)，

两式相减得an?1?an?6n?3，故an?2?an?1?6n?9，两式再相减得an?2?an?6， 由n?2得a1?a2?a1?12， a2?12?2a，从而a2n?6n?6?2a；

2n?3得a1?a2?a3?a1?a2?27，a3?3?2a，从而a2n?1?6n?3?2a，

?a?12?2a?915 由条件得?6n?6?2a?6n?3?2a，解之得?a?44?6n?3?2a?6(n?1)?6?2a?13．答案：[?1,2]

解析：法一：数形结合法：设P(x0,?1?x0)，由题意可得|CP|?3，即

(x0?2)2?(?1?x0)2?3，解之得?1?x0?2．

法二：设点P(x0,?x0?1)，B(2?cos?,sin?)，则由条件得A点坐标为x?x0?2?cos?，

2y?sin??x0?1x?2?cos?sin??x0?12，从而(0?2)2?()?1，

2222整理得x0?(cos??sin??1)x0?1?2cos??sin??0， 化归为(x0?2)cos??(x0?1)sin??x0?x0?1?0， 从而2x0?2x0?5sin(???)??x0?x0?1，

22于是由(2x0?2x0?5)?(?x0?x0?1)得?1?x0?2。

2222214．答案：[1,1?5) 2

?1,y?x2??1x??x?1x?解析：显然max?,,y??y，又min?,,y???，

xxyxy?????,y?x2??y?1?x?yy?22①当y?x时，t?，作出可行区域?y?x?1，因抛物线y?x与直线y?x及y?x?1在第

x?2?y?x一象限内的交点分别是（1，1）和(1?53?51?5 ,)，从而1?t?222?1?x?y?22②当y?x时，t?x，作出可行区域?y?x?1，因抛物线y?x与直线y?x及y?x?1在第

?2?y?x一象限内的交点分别是（1，1）和(1?53?51?5,)，从而1?t? 222综上所述，t的取值范围是[1,1?5)。 215．解：(1)f(x)?3sin(?x)?3cos(?x)?23sin(?x??6)，T?2????，

故??2， ………………3分

????f(x)?23sin(2x?)，由2k???2x??2k??,k?Z，

6262得：k???6?x?k???3,k?Z.

所以f(x)的单调递增区间为[k??,k??](k?Z)． ………………6分

63?1A (2)因为f()?3，所以sin(A?)?．

262??5?因为0?A??，所以??A???．所以A?． ………………9分

3666ab1因为，a?3b，所以sinB?. ………………12分 ?sinAsinB2因为a?b，所以A????3，B??6，C??2. ………………14分

16．证明：⑴在?APC中，因为E,F分别是PA,AC的中点， 所以EF∥PC， ………………3分

又PC?平面PAC，EF?平面PAC， 所以EF∥平面PBC； ………………6分

⑵ 因为AB?PB，且点E是PA的中点，所以PA⊥BE； ………………9分 又PA?PC，EF∥PC，所以PA?EF， ………………12分 因为BE?平面BEF，EF?平面BEF，BE?EF?E，PA?平面PAB，

t?所以平面PAB⊥平面BEF. ………………14分

2060?， ………………3分 t?t?t?211?4sinsint??4sint??t?1?1t?因t?(0,60)时，sin?(0,1)，故sin?4sin60?4，从而当?，即当t?10或506060sin606060602时，x有最小值5，所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是5m；……7分

17．解析：（1）当y?0时，x?（2）设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界，依题意得：()2?()2?25，（x?0,y?0）

20sinx4y2x2问题转化为在x?0,y?0，?y2?100的条件下，求S?xy的最大值。…………10分

4x2xx2x2法一：?S?xy?2??y?()?y?100，由?y和?y2?100及x?0,y?0得：

4222x?102,y?52 ?Smax?100………………13分

x2?y2?100， 法二：∵x?0,y?0，4x2x212?S?xy?x100?=x?(100?)??(x2?200)2?10000

444∴当x?200，即x?102，Smax2x2?100由?y2?100可解得：

，4y?52。 ………………13分

答：花坛的长为102m，宽为52m，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，符合要求。 ………………14分 18.：（1）依题意，得a?2，e?c3?， a2

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