算法设计与分析习题答案1-6章

习题1

1.

图论诞生于七桥问题。出生于瑞士的伟大数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）提出并解决了该问题。七桥问题是这样描述的：北区 一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现

东区 在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部岛区 的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，

南区 图1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的

图1.7 七桥问题

草图。请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。

七桥问题属于一笔画问题。 输入：一个起点 输出：相同的点 1， 一次步行

2， 经过七座桥，且每次只经历过一次 3， 回到起点

该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。另一类是只有二个奇点的图形。

2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法 1.r=m-n

2.循环直到r=0 2.1 m=n 2.2 n=r 2.3 r=m-n 3 输出m

3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。要求分别给出伪代码和C++描述。

//采用分治法

//对数组先进行快速排序 //在依次比较相邻的差 #include using namespace std;

int partions(int b[],int low,int high) {

int prvotkey=b[low]; b[0]=b[low]; while (low

while (low=prvotkey) --high;

b[low]=b[high];

while (low

b[high]=b[low]; }

b[low]=b[0]; return low; }

void qsort(int l[],int low,int high) {

int prvotloc; if(low

prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序 由low 到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序 由 prvotloc+1到 high } }

void quicksort(int l[],int n) {

qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴 ，从第一个排到第n个 }

int main() {

int a[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39}; int value=0;//将最小差的值赋值给value for (int b=1;b<11;b++) cout<

quicksort(a,11);

for(int i=0;i!=9;++i)

{

if( (a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1]) ) value=a[i+1]-a[i]; else

value=a[i+2]-a[i+1]; }

cout<

return 0; }

4． 设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。要求分别给出伪代码和C++描述。

#include using namespace std;

int main() { int a[]={1,2,3,6,4,9,0};

int mid_value=0;//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它 for(int i=0;i!=4;++i) { if(a[i+1]>a[i]&&a[i+1]a[i+2]) { mid_value=a[i+1]; cout<

5. 编写程序，求n至少为多大时，n个“1”组成的整数能被2013整除。

#include using namespace std;

int main() {

double value=0;

for(int n=1;n<=10000 ;++n) { value=value*10+1; if(value 13==0) { cout<<\至少为:\ break; } }//for

return 0; }

6. 计算π值的问题能精确求解吗？编写程序，求解满足给定精度要求的π值

#include using namespace std;

int main () {

double a,b;

double arctan(double x);//声明 a = 16.0*arctan(1/5.0); b = 4.0*arctan(1/239);

cout << \

return 0； }

double arctan(double x) {

int i=0;

double r=0,e,f,sqr;//定义四个变量初 sqr = x*x; e = x;

while (e/i>1e-15)//定义精度范围 {

f = e/i;//f是每次r需要叠加的方程

r = (i%4==1)?r+f:r-f;

e = e*sqr;//e每次乘于x的平方 i+=2;//i每次加2 }//while return r; }

7. 圣经上说：神6天创造天地万有，第7日安歇。为什么是6天呢？任何一个自然数的因数中都有1和它本身，所有小于它本身的因数称为这个数的真因数，如果一个自然数的真因数之和等于它本身，这个自然数称为完美数。例如，6=1+2+3，因此6是完美数。神6天创造世界，暗示着该创造是完美的。设计算法，判断给定的自然数是否是完美数

#include using namespace std;

int main() {

int value, k=1; cin>>value;

for (int i = 2;i!=value;++i) {

while (value % i == 0 ) {

k+=i;//k为该自然数所有因子之和 value = value/ i; }

}//for

if(k==value)

cout<<\该自然数是完美数\ else

cout<<\该自然数不是完美数\ return 0; }

8. 有4个人打算过桥，这个桥每次最多只能有两个人同时通过。他们都在桥的某一端，并且是在晚上，过桥需要一只手电筒，而他们只有一只手电筒。这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。每个人走路的速度是不同的：甲过桥要用1分钟，乙过桥要用2分钟，丙过桥要用5分钟，丁过桥要用10分钟，显然，两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度，问题是他们全部过桥最少要用多长时间？

} }

if (T[j] == '\\0') return (i - strlen(T) +1); //返回本趟匹配的开始位置 else return 0; }

int main() { char s1[]=\ char s2[]=\

cout<

return 0; }

2.分式化简。设计算法，将一个给定的真分数化简为最简分数形式。例如，将6/8化简为3/4。

#include using namespace std;

int main() {

int n;//分子 int m;//分母

int factor;//最大公因子 int factor1;

cout<<\输入一个真分数的分子与分母： \ cin>>n>>m;

int r = m % n;//因为是真分数 所以分母一定大于分子 factor1=m; factor=n; while (r != 0) {

factor1 =factor; factor = r;

r = factor1% factor; }

cout<<\输出该真分数的最简分数： \return 0; }

3. 设计算法，判断一个大整数能否被11整除。可以通过以下方法：将该数的十进制表示

从右端开始，每两位一组构成一个整数，然后将这些数相加，判断其和能否被11整除。例如，将562843748分割成5,62,84,37,48，然后判断(5+62+84+37+48)能否被11整除 //将一个大整数看成一个数组

//数组的奇数位对应数的10倍加上数组偶数对应数的本身 //验证结果能否被11整除

#include using namespace std;

int main() { int a[9]={5,6,2,8,4,3,7,4,8}; int result=0; //result为题目要求的各位之和 for(int i=0;i!=9;++i) { if(i%2==0) result+=a[i]; //i 为偶数位时，结果加上其对应数组数的本身 else result+=a[i]*10; //i 为奇数位时，结果加上对应数组数的10倍 } if(result==0) cout<<\该整数能被11整除\ else

cout<<\该整数不能被11整除\ return 0; }

4. 数字游戏。把数字 1,2,?,9这9个数字填入以下含有加、减、乘、除的四则运算式中，使得该等式成立。要求9个数字均出现一次且仅出现一次，且数字1不能出现在乘和除的一位数中（即排除运算式中一位数为1的平凡情形）。

??×?＋???÷?－?? = 0

5. 设计算法求解an mod m，其中a、n和m均为大于1的整数。（提示：为了避免an

超出int型的表示范围，应该每做一次乘法之后对n取模）

#include using namespace std;

int square(int x) {

return x*x; }

//用递归思想

int resultmod(int a, int n) {

if(n== 0) return 1; if(n%2 == 0) return square(resultmod(a, n/2));//n为偶数的时，取n的一半防止溢出 else return a*resultmod(a, n-1);//n为奇数时，取n-1； }

int main() {

int a, n, m;

cout<<\请输入a，n, m: \ cin>>a>>n>>m; cout<

int result = resultmod(a, n);

cout<<\的结果为：\ return 0; }

6. 设计算法，在数组r[n]中删除所有元素值为x的元素，要求时间复杂性为O(n)，空间复杂性为O(1)。

7. 设计算法，在数组r[n]中删除重复的元素，要求移动元素的次数较少并使剩余元素间的相对次序保持不变。 #include using namespace std;

void deletere(int a[],int N) { int b[100]={0}; int i,k; k=0; static int j=0; for(i=0;iint main() { int a[]={1,2,1,3,2,4}; deletere(a,6); return 0; }

//在数组查找相同的元素

//把其中一个相同的数值的元素位置设成一个“特殊数值” //输出所求函数

#include

using namespace std;

int main() {

int a[]={1,2,1,5,3,2,9,4,5,5,3,5}; int i,j;

for( i=0;i<12;i++) {

for(j=0;j

a[i]=64787250;//设一个数组不存在的数值 } }//for

for(i=0;i<12;i++) { if(a[i]!=64787250) cout<

8. 设表A={a1, a2, ?, an}，将A拆成B和C两个表，使A中值大于等于0的元素存入表B，值小于0的元素存入表C，要求表B和C不另外设置存储空间而利用表A的空间。

//先对A进行快排

//将大于0的元素给B，小于0的元素给C

#include using namespace std;

int partions(int l[],int low,int high) {

int prvotkey=l[low]; l[0]=l[low];

while (low

while (low=prvotkey) --high;

l[low]=l[high];

while (low

l[high]=l[low]; }

l[low]=l[0]; return low; }

void qsort(int l[],int low,int high) {

int prvotloc; if(low

prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序 由low 到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序 由 prvotloc+1到 high } }

void quicksort(int l[],int n) {

qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴 ，从第一个排到第n个 }

int main() { int a[11]={-2,2,32,43,-23,45,36,-57,14,27,-39};

quicksort(a,11);

for(int i=1;i<11;i++) { if(a[i]<0)

cout<<\ else cout<<\ }

cout<

return 0;

}

9. 荷兰国旗问题。要求重新排列一个由字符R, W, B（R代表红色，W代表白色，B代表兰色，这都是荷兰国旗的颜色）构成的数组，使得所有的R都排在最前面，W排在其次，B排在最后。为荷兰国旗问题设计一个算法，其时间性能是O(n)。

//0代表红；1代表白；2代表蓝 #include using namespace std;

const int N = 20;

void swap_ab ( int *p , int *q ) {

int tmp = *p; *p = *q; *q = tmp; }

void process ( int a[], int n ) {

int *p, *q; p = q = a;

while ( p != a+n-1 ) //p向前遍历，直到便利完毕 {

if ( *(p+1) < *p ) {

q = p+1;

while ( *q < *(q-1) ) {

swap_ab ( q, q-1 ); --q; //q指针后移 } } //if ++p; } //while }

int main()

{

int a[N] = { 0, 2, 1, 2, 0, 1, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2}; //待处理的数组

cout << \处理后的数组序列: \ process ( a, N );

for (int i=0; i< N; ++i ) cout << a[i] <<\

cout << endl; return 0; }

10. 设最近对问题以k维空间的形式出现，k维空间的两个点p1=(x1, x2, ?, xk)和p2=(y1, y2, ?, yk)的欧几里德距离定义为：d(p1,p2)??(y-x)iii?1k2。对k维空间的最近对问题设计

蛮力算法，并分析其时间性能。

11．设计蛮力算法求解小规模的线性规划问题。假设约束条件为：（1）x+y≤4；（2）x+3y≤6；（3）x≥0且y≥0；使目标函数3x+5y取得极大值。

#include using namespace std;

int main() {

int x,y,x0,y0;

int summax=0,temp=0; for(x0=0;x0<=4;++x0) {

for(y0=0;(x0+y0<=4)&&(x0+3*y0<=6);++y0)

temp=3*x0+5*y0; if(temp>=summax) { summax=temp; x=x0;//符合sum最大值的x y=y0;//符合sum最大值得y }

}//for

cout<<\

return 0; }

12．设计算法，判定一个以邻接矩阵表示的连通图是否具有欧拉回路。

算法描述：

输入：邻接矩阵(n*n)

输出：如有证明有欧拉回路，则输出该回路，否则，输出无解信息 1 对矩阵的对角线是否有>0的元素进行判断 1.1 循环变量i从1—n重复进行下述操作：

1.1.1计算矩阵i次方，如果矩阵对角线上有>0的元素，则跳转到1.2 1.1.2否则++i;

1.2 如果矩阵对角线有>0的元素，则输出该回路 2 输出无解信息；

13．找词游戏。要求游戏者从一张填满字符的正方形表中，找出包含在一个给定集合中的所有单词。这些词在正方形表中可以横着读、竖着读、或者斜着读。为这个游戏设计一个蛮力算法

14. 变位词。给定两个单词，判断这两个单词是否是变位词。如果两个单词的字母完全相同，只是位置有所不同，则这两个单词称为变位词。例如，eat和tea是变位词。

//判断qwer和rewq是否是变位词 #include #include using namespace std;

int main() {

char s[5]=\ char t[5]=\ for(int i=0;i!=4;++i) { if(s[i]!=t[3-i]) { cout<<\和rewq不是变位词\ return 0; break; } }

cout<<\和rewq是变位词\

return 0; }

15．在美国有一个连锁店叫7-11店，因为这个商店以前是早晨7点开门，晚上11点关门。有一天，一个顾客在这个店挑选了四样东西，然后到付款处去交钱。营业员拿起计算器，按了一些键，然后说：“总共是$7.11。”这个顾客开了个玩笑说：“哦？难道因为你们的店名叫7-11，所以我就要付$7.11吗？”营业员没有听出这是个玩笑，回答说：“当然不是，我已经把这四样东西的价格相乘才得出这个结果的！”顾客一听非常吃惊，“你怎么把他们相乘呢？你应该把他们相加才对！”营业员答道：“噢，对不起，我今天非常头疼，所以把键按错了。”然后，营业员将结果重算了一遍，将这四样东西的价格加在一起，然而，令他俩更为吃惊的是总和也是$7.11。设计蛮力算法找出这四样东西的价格各是多少？

该算法为：

int $7.11(float a[],float b[],float c[],float d[],int n) {

for(int i=0;i!=n;++i) for(int j=0;j!=n;++j) for(int k=0;k!=n;++k)

for(int m=0;m!=n;++m) {

if((a[i]+b[j]+c[k]+d[m])==7.11 && a [i]*b[j]*c[k]*d[m]==7.11) cout<

习题4

1. 分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关，试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。

2. 证明：如果分治法的合并可以在线性时间内完成，则当子问题的规模之和小于原问题的规模时，算法的时间复杂性可达到O(n)。

O(N)=2*O(N/2)+x

O(N)+x=2*O(N/2)+2*x

a*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a *O(N/2)+(a+1)*x 由此可知，时间复杂度可达到O(n);

3.分治策略一定导致递归吗？如果是，请解释原因。如果不是，给出一个不包含递归的分治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。

不一定导致递归。

如非递归的二叉树中序遍历。

这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：应用了栈这个数据结构。

4. 对于待排序序列(5, 3, 1, 9)，分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。

归并排序：

第一趟：（5,3）（1,9）； 第二趟：（3,5,1,9）； 第三趟：（1,3,5,9）；

快速排序：

第一趟：5（ ,3,1,9）；//5为哨兵，比较9和5 第二趟：5（1,3, ,9）；//比较1和5，将1挪到相应位置； 第三趟：5（1,3, ,9）;//比较3和5； 第四趟：（1,3,5,9）;

5. 设计分治算法求一个数组中的最大元素，并分析时间性能。

//简单的分治问题

//将数组均衡的分为“前”，“后”两部分

//分别求出这两部分最大值，然后再比较这两个最大值

#include using namespace std;

extern const int n=6;//声明 int main() { int a[n]={0,6,1,2,3,5};//初始化 int mid=n/2; int num_max1=0,num_max2=0; for(int i=0;i<=n/2;++i)//前半部分 { if(a[i]>num_max1) num_max1=a[i];

} for(int j=n/2+1;jnum_max2) num_max2=a[j]; } if(num_max1>=num_max2) cout<<\数组中的最大元素： \ else

cout<<\数组中的最大元素： \ return 0; }

时间复杂度：O（n）

6. 设计分治算法，实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置, 要求时间复杂性为O(n)，空间复杂性为O(1)。例如，对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。

//采用分治法

//将数组分为0-k-1和k-n-1两块 //将这两块分别左移 //然后再合并左移

#include using namespace std;

void LeftReverse(char *a, int begin, int end) {

for(int i=0;i<(end-begin+1)/2;i++)//交换移动 {

int temp=a[begin+i]; a[begin+i]=a[end-i]; a[end-i]=temp; } }

void Converse(char *a,int n,int k) {

LeftReverse(a, 0, k-1); LeftReverse(a, k, n-1);

LeftReverse(a, 0, n-1); for(int i=0;iint main() {

char a[7]={'a','b','c','d','e','f','g'}; Converse(a,7,3);

return 0; }

7. 设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。

#include using namespace std;

int data[100];

//在m个数中输出n个排列数（n<=m） void DPpl(int num,int m,int n,int depth) {

if(depth==n) {

for(int i=0;i

for(int j=0;j

if((num&(1<

DPpl(num+(1<

int main() {

DPpl(0,5,1,0);

DPpl(0,5,2,0); DPpl(0,5,3,0); DPpl(0,5,4,0); DPpl(0,5,5,0);

return 0; }

8. 设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。

参见4.4.1最近对问题的算法分析及算法实现

9. 在有序序列(r1, r2, ?, rn)中，存在序号i（1≤i≤n），使得ri=i。请设计一个分治算法找到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n)。

//在有序数组中

//采用二分法查找符合条件的元素

#include using namespace std;

void Findnum(int *a,int n) {

int low=0; int high=n-1;

while(low<=high) {

int mid=(low+high)/2; if(a[mid]==mid) { cout<<\这个数是： \ break; } else if(a[mid]>mid) high=mid-1; else low=mid+1; } }

int main() { int a[7]={1,0,2,5,6,7,9}; Findnum(a,7); return 0; }

时间复杂度为O(log2n)。

10. 在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。请设计算法寻找众数并分析算法的时间复杂性。

//先对序列进行快速排序 //再进行一次遍历 //输出众数的重复次数

#include using namespace std;

int partions(int b[],int low,int high) {

int prvotkey=b[low]; b[0]=b[low]; while (low

while (low=prvotkey) --high;

b[low]=b[high];

while (low

b[high]=b[low]; }

b[low]=b[0]; return low; }

void qsort(int l[],int low,int high)

{

int prvotloc; if(low

{

prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序 由low 到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序 由 prvotloc+1到 high

} }

void quicksort(int l[],int n) {

qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴 ，从第一个排到第n个 }

int main() {

int a[10]={1,2,3,5,3,3,3,2,5,1}; int i=0;

int count=0;

int max=0;//max表示出现的次数

qsort(a,0,10); while(i<10) { int j; j=i+1; if(a[i]=a[j]&&i<10) { count++; i++; } if(count>max) { max=count; count=0; } }//while

cout<<\重复次数：\

return 0;

}

时间复杂度nlog(n)

11. 设M是一个n×n的整数矩阵，其中每一行（从左到右）和每一列（从上到下）的元素都按升序排列。设计分治算法确定一个给定的整数x是否在M中，并分析算法的时间复杂性。

12. 设S是n（n为偶数）个不等的正整数的集合，要求将集合S划分为子集S1和S2，使得| S1|=| S2|=n/2，且两个子集元素之和的差达到最大。

//先用快速排序进行一趟排序

//如果s1（大的数集）的的个数大于n/2 //将（i<=n/2-low-1）个最小的数排到后面 //如果s1（大的数集）的的个数小于n/2 //将s2（小的数集）n/2-low-1排到前面 //将排好的数组的前n/2个数赋值给s1 //将排好的数组的后n/2个数赋值给s2

#include using namespace std; const int n=8;

void partions(int a[],int low,int high) { //进行一趟快排 int prvotkey=a[low]; a[0]=a[low]; while (low

while (low

a[low]=a[high];

while (low=prvotkey) ++low;

a[high]=a[low]; }

a[low]=prvotkey;

//如果s1（大的数集）的的个数大于n/2 if(low>=n/2) {

for(int i=0;i<=n/2-low-1;++i) {

for(int j=0;j

{ if(a[j]

//如果s1（大的数集）的的个数小于n/2 else

for(int i=0;i<=n/2-low-1;++i) {

for(int k=n-1;ka[k-1]) { int temp1=a[k]; a[k]=a[k-1]; a[k-1]=temp1; } }//for } }

int main() { int a[n]={1,3,5,9,6,0,-11,-8}; partions(a,0,n-1); for(int i=0;i

if(i<4) {

cout<<\属于子集s1的：\ cout<

cout<<\属于子集s2的：\ cout<

} } return 0; }

13. 设a1, a2,?, an是集合{1, 2, ?, n}的一个排列，如果iaj，则序偶(ai, aj)称为该排列的一个逆序。例如，2, 3, 1有两个逆序：(3, 1)和(2, 1)。设计算法统计给定排列中含有逆序的个数。

//用归并进行排序

//当一个子集的一个数大于第二个子集的一个数，为逆序，即a[i]>a[j] //则逆序数为end-j+1;

#include using namespace std;

int count;

void Merge(int a[],int a1[],int begin,int mid,int end)//合并子序列 {

int i=begin,j=mid+1,k=end; while(i<=mid&&j<=end) {

if(a[i]<=a[j]) a1[k++]=a[i++];//取a[i]和a[j]中较小者放入r1[k] else { a1[k++]=a[j++]; count+=(end-j+1); } }

while(i<=mid) a1[k++]=a[i++]; while(j<=end) a1[k++]=a[j++]; }

void MergeSort(int a[ ], int begin, int end) {

int mid,a1[1000]; if(begin==end) return ; else

{ mid=(begin+end)/2; MergeSort(a,begin,mid); MergeSort(a,mid+1,end); Merge(a,a1,begin,mid,end); } }

int main() { int a[6]={6,5,4,3,2,1}; count=0; MergeSort(a,0,6); cout<

14. 循环赛日程安排问题。设有n=2k个选手要进行网球循环赛，要求设计一个满足以下要求的比赛日程表：

（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次； （2）每个选手一天只能赛一次。

采用分治方法。

将2^k选手分为2^k-1两组，采用递归方法，继续进行分组，直到只剩下2个选手时，然后进行比赛，回溯就可以指定比赛日程表了

15. 格雷码是一个长度为2n的序列，序列中无相同元素，且每个元素都是长度为n的二进制位串，相邻元素恰好只有1位不同。例如长度为23的格雷码为(000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100)。设计分治算法对任意的n值构造相应的格雷码。

//构造格雷码

#include using namespace std;

int n;

char a[100]; void gelei(int k) {

if(k==n) {

cout<

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2j43.html