第04讲 整式的乘法与因式分解

第四讲 整式的乘法与因式分解

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1.了解：因式分解的定义，提公因式法. 2.掌握：幂的运算性质，整式乘法法则，乘法公式，因式分解 的方法. 3.能：运用整式乘法法则和乘法公式进行整式的乘法运算以及 用两种方法分解因式.

一、幂的运算性质

am+n 1.am·an=____(m,n都是正整数).amn 2.(am)n=___(m,n都是正整数). a nb n 3.(ab)n=____(n为正整数).

【即时应用】a7 1.计算：a4·a3=__. a6 2.计算：(a2)3=__.

-a3b6 3.计算：(-ab2)3= _____.

二、整式的乘法 相乘 相加 1.单项式与单项式相乘：把系数_____,同底数幂的指数_____. 分配律 2.单项式与多项式相乘：利用乘法对加法的_______进行计算, ma+mb+mc 即m(a+b+c)=_________. 每一项 3.多项式与多项式相乘：先用一个多项式的_______乘以另一 每一项 相加 个多项式的_______,再把所得的积_____. am bn 即(a+b)(m+n)=___+an+bm+___.

4.乘法公式 (1)平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即 a2-b2 (a+b)(a-b)=_____. (2)完全平方公式 两个数和(或差)的平方，等于它们平方和加上(或减去)它们积 a2±2ab+b2 的2倍,即：(a±b)2=__________.

【即时应用】1 a 3 b 5 c3 3 1.计算： 2a 2 b3 1 ab 2c3 _________ . 6

3x3-6x2-3x 2.计算：3x(x2-2x-1)=___________.

x2+xy-2y2 3.计算：(x-y)(x+2y)=__________.x2-4y2 4.计算：(x+2y)(x-2y)=_______. x2-4xy+4y2 5.计算：(x-2y)2=___________.

三、因式分解 因式分解的基本方法 m(a+b+c) (1)提公因式法:ma+mb+mc=_________. (2)运用公式法: (a+b)(a-b) ①平方差公式:a2-b2= ___________. (a±b)2 ②完全平方公式:a2±2ab+b2= _______.

【即时应用】1 1 (3x )(3x ) 1.因式分解： 2 1 _____________ . 9x 2 2 4

(x-2)2 2.因式分解：x2-4x+4=_______. x(x+y)2 3.因式分解：x3+2x2y+xy2=_______.

【核心点拨】

1.在运用幂的运算性质时，一定要分清属于什么运算，以便套用相应的法则，同时，幂的这三条运算性质要会逆用.

2.在因式分解时，要先考虑是否有公因式，然后根据项数选择公式，若有两项，考虑平方差公式；若有三项，则考虑完全平 方公式.

整式的乘法 ◆中考指数:★★★★★整式乘法注意的四个方面: 1.单项式相乘时,积的系数等于各因式系数的积,单项式乘 以单项式的结果仍是一个单项式. 2.单项式与多项式相乘,积的项数与所乘多项式的项数相 等. 3.同底数幂相乘和幂的乘方均是底数不变，指数分别为相 加和相乘，而积的乘方则把积的每一个因式分别乘方. 4.多项式与多项式相乘,在合并同类项之前,积的项数应等 于两个多项式项数的积.

知 识 点 睛

特 别 单项式相乘时,只在一个单项式里出现的字母,要连同它的 提 指数写在积里,一定不能把这个因式漏掉. 醒

【

例1】(2011·温州中考)化简：a(3+a)-3(a+2).

【教你解题】去括号 3a+a2-3a-6

合并同类项

(3-3)a+a2-6

结果

a2-6

【对点训练】1.(2012·安徽中考)计算(-2x2)3的结果是( (A)-2x5 (B)-8x6 (C)-2x6 (D)-8x5 )

【解析】选B.(-2x2)3=(-2)3(x2)3=-8x6.

2.(2012·郴州中考)下列计算正确的是( (A)a2·a3=a6 (C)(a2)3=a6 (B)a+a=a2 (D)a8÷a2=a4

)

【解析】选C.A选项，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴a2·a3=a5,故A选项错误；B选项，同类项合并只要系数相加 减即可，∴a+a=2a,故B选项错误；C选项，根据幂的乘方法则 有(a2)3=a2×3=a6,故C选项正确；D选项，同底数幂相除，底数不 变，指数相减，∴a8÷a2=a6,故D选项错误.

3.(2012·苏州中考)若3×9m×27m=321,则m的值是(

)

(A)3

(B)4

(C)5

(D)6

【解析】选B.3×9m×27m=3×32m×33m=31+2m+3m=31+5m,

∴1+5m=21,m=4.

4.(2012·怀化中考)当x=1,y 1 时，3x(2x+y)-2x(x-y)=_____.5

【解析】3x(2x+y)-2x(x-y)=6x2+3xy-2x2+2xy=4x2+5xy,当x=1,y 时，原式 4x 2 5xy 4 12 5 1 1 4 1 5.5

1 5

答案：5

乘法公式与化简求值 ◆中考指数:★★★★★ 1.平方差公式的两个特点 (1)左边是两个数的平方差； (2)右边是两数和乘以这两个数的差. 2.完全平方公式的两个特点 (1)左边是两数和(或差)的平方； (2)右边首平方，尾平方，乘积2倍在中央.

知 识 点 睛

特 1.有时逆向应用乘法公式,可简化运算. 别 2.有些题目不能直接利用乘法公式,需要对原题目进行适 提 当变形,使之具备公式的结构特点后,再利用公式来解. 醒

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