第6讲-偏导数与全微分

《数学分析II》第6讲教案

第6讲 多元函数的偏导数与微分

授课题目 教学内容 教学目的和要求 教学重点及难点 教学方法及教材处理提示 多元函数的偏导数与微分 1. 多元函数偏导数的定义；2. 多元函数可微性与全微分；3. 函数可微的必要条件与充分条件；4. 可微性的几何意义. 通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握多元函数偏导数、可微性与全微分的概念，熟记可微的必要条件与充分条件，了解切平面存在定理及其证明． 教学重点：多元函数偏导数、可微性与全微分的定义； 教学难点：多元函数可微的充分条件的证明. (1) 本节的重点是多元函数偏导数、可微性与全微分的定义，讲授时一方面要讲清它们与一元函数导数和微分的联系，另一方面要讲清它们与一元函数导数和微分的区别． (2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系，并通过一些例题讲授使学生加深理解． (2) 从另一个角度引入曲面S在点P0的切平面概念，强化学生数学建模能力. 作业布置 作业内容：教材 P116:1（4，6，9），2，3，6，8（2），12. 讲授内容

一、偏导数

定义 设函数z?f(x,y),(x,y)?D.若(x0,y0)?D，且f?x,y0?在x0的某一邻域内有定义，则当极?xz?xf(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x?f?x?x0,y0?限lim?x?0?lim?x?0存在时，称这个极限为函数f在点(x0,y0)关于x的偏导数，

记作fx?x0,y0? 或

.

类似有，若极限lim?yz?y?y?0?limf(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y?y?0存在时，它是关于y的一元函数f?x0,y?在

y?y0处的导数，记作fy?x0,y0? 或

?f?y?x0,y0?.

注意1 这里符号

??x?y,?专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号

ddx相仿，但又有差别．

若函数z?f?x,y?在区域D上每一点?x,y?都存在对x（或对y）的偏导数，则得到函数z?f(x,y)在区域D上对x（或对y?的偏导函数（也简称偏导数），记作

1

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fx(x,y)或

?f(x,y)?x ??fy?x,y?或???f(x,y)??f?，也可简单地写作，或fzxx??x?y???f???fz或?y,y? ?y.?? 在上一章中已指出，二元函数z?f(x,y)的几何图象通常是三维空间中的曲面．设P0?x0,y0,z0?为这曲面上一点，其中z0?f(x0,y0)，过P0作平

?y?y0,面y?y0，它与曲面的交线C:?

z?f(x,y)?是平面y?y0上的一条曲线。于是，二元函数偏导数的几何意义（如图17－1）

是：fx(x0,y0)作为一元函数f(x,y0)在x?x0的导数，就是曲线C在点P0处的切线Tx对于x轴的斜率，

即Tx与x轴正向所成倾角的正切tana。同样，fy(x0,y0)是平面x?x0与曲面z?f(x,y)的交线

?x?x0,在点P0处的切线Ty关于y轴的斜率tan?． ??z?f(x,y)由偏导数的定义还知道，函数f(x,y)对哪一个自变量求偏导数，是先把其他自变量看作常数，从而变成一元函数的求导问题。因此第五章中有关求导的一些基本法则，对多元函数求偏导数仍然适用。

例1 求函数f(x,y)?x3?2x2y?y3在点(1,3)关于x和关于y的偏导数．

解： 先求f在点(1,3)关于x的偏导数，为此，令y?3，得到以x为自变量的函数

32f(x,3)?x?6x?27，求它在x?1的导数，即fx?1,3??df(x,3)dxx?1?3x?12x|x?1?15.

23再求f在点(1,3)关于y的偏导数，先令x?1，得到以y为自变量的函数f(1,y)?1?2y?y，求它

在y?3的导数，得fy?1,3??df(1,y)dyy?3?2?3y|y?3??25.

2 例2 求函数z?x?z?xy?1y?x?0?的偏导数．

解： ?yx, ?z?y .?xlnxy2z

例3 求三元函数u?sin(x?y?e)的偏导数． 解： 把y和z看作常数，得

?u?y?u?x?cos(x?y?e).

?u?z2z把x,z看作常数，得?2ycos(x?y?e).把x,y看作常数，得

2z??ecos(x?y?e)

z2z 2

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? 0, x?0或y?0,（0，0）处显然不连续，但是偏导数存在，例4 设函数f(x,y)?? 这个函数在原点

?1, 其它且fx(0,0)?0，fy(0,0)?0.

二、全微分

定义 设函数z?f(x,y)在点P0?x0,y0?的某领域U(P0)内有定义,对于U(P0)中的点

P(x,y)?P(x0??x,y0??y),若函数f在点P0处的全增量?z可表示为:

?z?f(x0??x,y0??y)?f(x,y)?A?x?B?y?o(?), (1) 其中A,B是仅与点P0有关的常数,???x??y,o(?)是较?高阶的无穷小量,则称函数f在点P0可微,

22并称(1)式中关于?x,?y的线性函数A?x?B?y为函数f在点P0的全微分,记作

dz|P?df(x0,y0)?A?x?B?y (2)

0例5 考察函数f(x,y)?xy在点(x0,y0)处的可微性.

解： 函数f的全增量为：?f?x0,y0??(x0??x,y0??y)?x0,y0 ?y0?x?x0?y??x?y.

?x?y?x?y???0???0?, 从而函数f在x0,y0可微，且df?y0?x?x0?y.

由于

?????定理17.1 若二元函数f在其定义域内一点(x0,y0)处可微，则f在该点连续.

三、可微分与偏导数的关系

定理17.2（可微的必要条件） 若二元函数f在其定义域内一点(x0,y0)处可微，则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且(1)式中的A?fx(x0,y0),B?fy(x0,y0)

若二元函数f在点(x0,y0)可微，则f在点(x0,y0)处的全增量可由（1）式表示.现在讨论其中A、B的值与函数f的关系.为此，令?y?0??x?0?，这时得到?z关于x的偏增量?xz，且有

?xz?x ?xz?A?x???x或

?A??.

现让?x?0，由上式便得A的一个极限表示式A?lim?xz?x?x?0?limf(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x.容易看出，

?x?0右边的极限正是关于x的一元函数f?x,y0?在x?x0处的导数．类似地，令?x?0??y?0?可得到

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B?lim?yz?y?y?0?limf(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y?y?0.它是关于y的一元函数f?x0,y?在y?y0处的导数．

?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y.又若记

因此，函数f在点(x0,y0)的全微分(2)可惟一表示为df|(x0,y0)?x?dx,?y?dy,所以全微分又可写成为dz?fx(x0,y0)dx?fy(x0,y0)dy.

若函数f在区域D上每一点(x,y)都可微，则称函数f在区域D上可微，且f在D上全微分为 df(x,y)?fx(x,y)dx?fy(x,y)dy.

? 例6 考察函数f(x,y)?????xyx?y222,x?y222?0,在原点的可微性．

0,x?y?0 解：按偏导数定义fx?0,0??limf??x,0??f(0,0)?x?x?0?lim0?0?x?x?0?0.同理可得fy?0,0??0。若函数f在

原点可微，则?z?dz?f(0??x,0??y)?f(0,0)?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y??x??y?x??y22

应是较???x??y高阶的无穷小量．为此，考察极限lim22?z?dz??0??lim.??0?x?y.?x??y22,由上述极限存在，

因而函数f在原点不可微。这个例子说明，偏导数即使存在，函数也不一定可微．

定理17.3（可微的充分条件） 若函数z?f(x,y)的偏导数在点(x0,y0)的某邻域内存在，且fx(x,y)与fy(x,y)在点(x0,y0)处连续，则函数f在点(x0,y0)可微．

323 根据这个定理，例1中的函数f(x,y)?x?2xy?y在点?1,3?可微，且df|(1,3)?15dx?25dy.例2

中的函数

dz?yxy?1z?xyy在D???x,y?|x?0,???y????上可微，且

dx?xlnxdy.特别注意：偏导数连续并不是函数可微的必要条件。

四、可微性几何意义及应用

若函数f在(x0,y0)可微，则曲面z?f(x,y)在点P(x0,y0,z0)处的切平面方程为

z?z0?fx(x0,y0)(x?x0)?fy(x0,y0)(y?y0).过切点P与切平面垂直的直线称为

曲面在点P的法线．由切平面方程知道，法线的方向数是n??(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1). 所以过切点P的法线方程是

(x?x0)fx(x0,y0)?(y?y0)fy(x0,y0)?z?z0?1. 例7 试求抛物面z?ax2?by在点M(x0,y0,z0)处的

2切平面方程与法线方程.

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