高等 数学 解微分方程详细讲解

怎样解微分方程

常微分方程课件主讲：罗兆富统计与数学学院

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常微分方程课程简介

常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗

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传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛 应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会 科学的各个领域。

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教材及参考资料教 材：常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社。 参考书目： 1. 常微分方程，(第二版), 王高雄等编(中山大学), 高教 出版社。 2. 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 3. 常微分方程教程，丁同仁(北京大学), ,高教出版社。 4. 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 5. 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 6.常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。

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第一章 初等积方法 第二章 基本定理 第三章 一阶线性微分方程组 第四章 n阶线性微分方程 第五章 定性与稳定性理论简介 第六章 一阶偏微分方程初步

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第一讲第7章 初等积分法7.1 微分方程和解 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和 莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学， 是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分 的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相 关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自 于人们探求物质世界运动规律的需求.

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一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清 楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然 而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之 间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着 联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系， 用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分 方程.

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一旦求出这个方程的解，其运动规律将 一目了然.下面的例子，将会使你看到微分 方程是表达自然规律的一种最为自然的数 学语言.

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例1 物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时, 在 距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂 直地面下落，求此物体下落时距离与时 间的关系. 解: 如图建立坐标系，设x=x(t)为t时刻 物体的位置坐标.于是物体下落的速度为

dx v x dt机动 目录 上页 下页 返回 结束

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加速度为

d 2x a 2 x dt 质量为m的物体，在下落的任一时刻所 受到的外力有重力mg和空气阻力，当速 度不太大时，空气阻力可取为与速度成 正比.于是根据牛顿第二定律F = ma(力=质量×加速度)

可以列出方程

mx kx mg

(1.1)机动 目录 上页 下页 返回 结束

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其中k > 0为阻尼系数，g是重力加速度. (1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变 量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现 在，我们还不会求解方程(1.1),但是，如果 考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程 (1.1)可化为 d 2x (1.2) g 2 dt将上式对t积分两次得

1 2 x(t ) gt c1t c2 (1.3) 2 (1.1) kx mg mx机动 目录 上页 下页 返回 结束

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一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.

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例如下面的方程都是常微分方程

dy 2x dx1 y2 dy 2 dx 1 x

(1.4)

(1.5)d 2x ( 2 ) x dt

x 0 x2

(1.6)

yy y 0

(1.7)

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在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的

阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般 形式可表为

F ( x, y, y ) 0如果在(1.8)中能将

(1.8)

y 解出，则得到方程(1.9) (1.10)

y f ( x, y)或

M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0

(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.

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n 阶隐式方程的一般形式为

F ( x, y, y , , y ( n ) ) 0n 阶显式方程的一般形式为

(1.11)

y ( n ) f ( x, y, y , , y ( n 1) )

(1.12)

在方程(1.11)中，如果左端函数F 对未知函数y和它的各 阶导数y′,y″, …, y (n)的全体而言是一次的，则称为线性常微 分方程，否则称它为非线性常微分方程. 这样，一个以y为 未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：

y ( n ) P ( x) y ( n 1) Pn 1 ( x) y Pn ( x) y f ( x) 1

(1.13)

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显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一 阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程(1.7) 是二阶非线性方程.

dy 2x dx 1 y2 dy 2 dx 1 x

(1.4)

(1.5)d 2x ( 2 ) x dt

x 0 x

(1.6) (1.7)机动 目录 上页 下页 返回 结束

y 2 0 yy

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通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.

( 定义1.1 设函数 y 2 x) 在区间I上连续，且有直到n阶的 dy 1 y dy ( x)x代入方程(1.11),得到在区间I上关于x的 导数.如果把 y 2 (1.5) (1.4) 2 dx 1 x dx 恒等式，则称 y ( x)为方程(1.11)在区间I上的一个解.这样，从定义1.1可以直接验证： 1. 函数y = x2+C是方程(1.4)在区间(-∞,+∞)上的解，其中C 是任意的常数. 2. 函数y= sin(arcsinx+C) 是方程(1.5)在区间(-1,+1)上的解， 其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解y =±1,这两 个解不包含在上述解中. ( n ) (1.11) F ( x, y, y , , y ) 0机动 目录 上页 下页 返回 结束

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3. 函数 x=C1cost+C2sint 是方程 (1.6) 在区间 (-∞,+∞)上的解，其中C1, C2是独立的任意常数. 4. 函数 y2=C1x+C2是方程(1.7)在区间(-∞,+∞)上的解，其中 C1, C2和是独立的任意常数.

这里，我们仅验证3,其余留给读者完成.事实上，在(-∞,+∞)上有

x C1 sin t C2 cos t所以在(-∞,+∞)上有

C1 cos t C2 sin t x

d 2x 2 yy y 0 0 ( dt x x 从而该函数是方程(1.6)的解. 2 ) x

x 0 x

(1.7) (1.6)机动 目录

Q. E. D.上页 下页 返回 结束

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从上面的讨论中，可以看到一个重要事实， 那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其 中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等， 也可以不含任意常数. 我们把n阶常微分方程 (1.11)的含有n个独立的任意常数C1,C2,…, Cn的解 ，称为该方程的通解，如果方程(1.11) 的解不包含任意常数，则称它为特解. 由隐式 表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解 称为特积分.F ( x, y, y , , y ( n ) ) 0(1.11)

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dy 2x dx1 y2 dy dx 1 x2

(1.4) (1.5)

x 0 x

(1.6)(1.7)

yy y 2 0

由上面的定义，不难看出，函数y = x2+C、 y= sin(arcsinx+C) 和x=C1cost+C2sint分别是方程(1.4),(1.5)和(1.6)的通解，函数 y2=C1x+C2是方程(1.7)的通积分，而函数y =±1是方程(1.7)的特 解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确 定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件.

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初值问题例 1中的函数(1.3)显然是方程(1.2)的通解，由于C1 和C2是两个任意常数，

这表明方程(1.2)有无数个解， 解的图像见下面的图a和图b所示.

d x g 2 dt 1 2 x(t ) gt c1t c2 2

2

(1.2) (1.3)

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2j04.html