框剪结构结构振动分析毕业论文

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二 框剪结构结构振动分析计算模型

2.1 运动方程的建立

多自由度结构的运动方程为：

?}?[c]{x?}?[k]{??}??F(t)? （2.1） [M]{?xx式中，?M?－质量矩阵； ?c?－阻尼矩阵； ?k?－刚度矩阵；

?}-速度 {x?}-加速度 x {?对于梁，柱线刚度比值大于5的强柱弱梁多层框架结构(如图1所示)，在动力分析中采用层间剪切模型。层间剪切模型是把横梁视为刚性梁，并假定结构质量集中在各层楼面及屋面处。当横梁发生水平震动时，不考虑柱的轴向变形，横梁只产生水平位移而不产生转角。一般情况是把每层楼面积屋面简化为一个质点，将剪切型多层框架定一步简化为质点体系（如图2所示），这些质点只能有水平线位移。下图中mi为第i层集中质量，ki为第i层柱上，下端错动单位位移所需的水平力，成为第i层的层间刚度。它等于该层所有柱的侧位移刚度之和，即

ki??(i)12EIchi3 （2.2）

式中，EIc为柱的抗弯刚度；hi为第i层层高。`

图2.1 多层剪切型框架计算图示 图2.2 简化计算图示

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图 2.3 楼层变形图 图2.4 简化后计算图示

根据刚度系数的定义，容易得到剪切性框架结构的侧位移刚度为：

kii?ki?ki?1ki,i_1?ki_1,i??kiki,i?1?ki?1,i??ki?1 （2.3） kir?0 于是得到剪切型结构的刚度矩阵为

?k1?k2??k?k???2????k2k2?k3kn?1?k3kn?1?kn?kn??? （2.4） ?kn??kn?剪切型多层框架的质量矩阵式对角阵：

?m1??M??????m200m3???? （2.5） ?mn?[C]??[M]??[K]

2.2剪切多层框架结构的自振特性

考虑无阻尼系统的自由振动：

?}?[k]{??}?{0} xx [M]{?应用雅克比法，其矩阵特征值问题为：

?K???0???2?M???0? （2.6） 首先要将矩阵化为同阶对称矩阵的标准值问题。 （1）将结构质量阵[M]进行乔列斯基（Cholesky）分解

质量矩阵[M]是对称正定矩阵，根据线性代数理论，一个对称的正定实矩阵总可以分

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解为一个下三角矩阵[L]及其转置矩阵?L?的乘积，即

T [ M]= [L] ×?L?T （2.7） （2）形成对称矩阵[A]。 将上式带入上上式得，

?K???0???2?L??L?T??0? （2.8a）

?L?T?或 ?K???1?L???????L??L???? （2.8b）

T2T00?1将?L?左乘上式，并注意到?L?T??=??L??，则有

T?1?1T?L??1??L?T??0???2?L?T??0? （2.9） ?L??1?K??令 ???2 （2.10）

?X???L?T??0? （2.11）

?L??A???L??K???1?1T? （2.12）

则式（a）变为

?A??X????X? （2.13）

因为[K]为对称矩阵，由上上式可见[A]=?A?,即[A]为对称矩阵。这样就可以利用雅克

T比法求的上式中对称矩阵[A]的特征值和特征向量。

将结构质量矩阵[M]进行乔列斯基分解。 式（3.21）可以写为：

?m11?m?21 ?m31?????mn1m12m22m32?mn2????m1n??l11?lm2n???21m3n?=?l31??????mnn????ln1l22l32?ln2l33?ln3??l11??0??????????lnn????l12l22l13l23l33l1n??l2n???l3n?

????lnn??? （2.14）

根据矩阵乘法可得

2 m11?l11···，n） （2.15） ,m11?li1l11（i=2，3，

j?1 mij?li1lj1?li2lj2???lijljj??likljk?lijljj（i.j?1,2,3?） （2.16）

k?1 3

于是可得计算[L]下三角元素的公式：

l11?m11,li1?mi1li1（i=2，3，···n） （2.17） ljj?mjj??l2jk?j?2,3,?n? （2.18）

k?1j?1 lij?mij??likljkk?1j?1(i?2,3,?n)(j?2,3,?j?1) (2.19)

ljj由于现在是对角阵，处理起来比较简单。

由?K???20????M???0?可得 ?K??M??1?M??????20?M???0? 其中

?????m1?M??m20???0?? ??m?n??以

?M??1前乘（b）式的两边得

?M??1?K??M??1?M??????20?M???0? 令 ???2

?X???M???0? ?A???M??1?K??M??1 则式（d）可写成

?A??X????X?

(2.20) （b）

(2.30)

（d）

2.31） 2.32）

2.33）

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（（ （

?k1?k2?m1???k2?m1m2? [A]???k2m1m2k1?k2m1??k3m2m3??????0??? （2.34） ??k?m??mn?1mn??k?n?0?kn?mn?1mnm???

2.3剪切型多层框架的水平地震作用

单自由度体系的反应谱理论可得，但自由度体系的地震作用为：

F(t)?m?2x(t) （2.35）

根据反应谱理论，但自由度体系的最大地震作用为：

F??G（a） （2.36）

对于多自由度体系，第j振型第I质点的地震作用为：

Fji(t)?mi?2jxij(t) （2.37）

由振兴分解法可得，

xij(t)?Xjiqj(t)?Xji?j?j(t) （2.38）

将其带入式（a）的

Fji(t)??2jXjimi?j?j(t) （2.39）

利用单自由度反应谱的概念，得到第j振型第I质点的最大最大地震作用为：

Fji??jXji?jGj??j?jXjiGi （2.40）

式中，Fji(t)——j振型I质点的水平地震作用；

?j——与第j振型自振周期相应的地震影响系数；

Gi——集中于质点I的重力荷载代表值；

Xji——j振型I质点的水平相对位移；

?j——j振型的参与系数。

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由上式即可求得各阶振型下各个质点的最大水平位移，下图为一三质点体系各振型的地震水平作用示意图。

体系简图 第一振型 第二振型 第三振型

图2.5三质点体系各振型下的示意图

2.4水平地震影响系数

地震影响系数?就是单指点弹性体系在重力加速度为单位的质点最大加速度反应。同时，地震影响系数?也指作用于单质点弹性体系上的水平地震作用与质点重力荷载代表值之比。

在不同烈度下，地震系数k为一具体数值。则?曲线的形状由?谱决定。通过地震系数k与动力系数?的乘积，即可得到抗震设计反应谱?－T曲线。用某一次地震的地面运动加速度计卢梭的反应谱曲线作为依据是不准确是的。为了满足房屋抗震设计需要，应根据大量强震地面运动加速度纪录算出对应于每一条记录的反应谱曲线，按影响其形状的因素进行分类，再进行统计分析，求出最具代表性的平均曲线作为设计依据，这种曲线称为标准反应谱。规范中采用的抗震设计反应谱曲线就是有上述方法得到的标准反应谱曲线。

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图2.6 地震影响系数曲线

；?xa?为地震影响系数曲线；T为自振周期（s）m为地震影响系数最大值，按表1确定；Tg为特征周期，与场地条件和设计分组有关，按表2确定；?2为阻尼调整系数，按下式计算，当小于0.55时，取0.5；

0.05??0.06?1.7??2?1? （2.41）

式中 ?——阻尼比，一般情况下，对钢筋混凝土结构去为0.05，钢结构取0.02；当?=0.05时，?2=1.0；

?为曲线的下降段的衰减指数，按下式计算：

?=0.9+

0.05??

0.5?5? （2.42）

?1为直线下降段的下降斜率调整系数，按下式计算，小于0取0；

?1=0.02+?0.05???/8

（2.43）

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表1 水平地震影响系数最大值

地震影响 设防烈度 6度 7度 0.08（0.12） 0.50（0.72） 8度 0.16（0.24） 0.90（1.20） 9度 0.32 1.40 多遇地震 罕遇地震 0.04 — 注：括号中的数值分别用于基本地震加速度为0.15g和0。30g的地区

表2 特征周期值

设计地震分组 场地类别 1 2 0.35 0.40 0.45

3 0.45 0.55 0.65 4 0.65 0.75 0.90 第一组 第二组 第三组 0.25 0.30 0.35 注：当计算8度，9度罕遇地震时，特征周期应增加0.05s。

由上图可以看出，?曲线由4部分组成，及直线上升段?0?T?0.1?；水平段

?0.1?T?T?；曲线下降段?Tgg?T?5Tg?；直线下降段5Tg?T?6.0。同时，上图也

可以用下式表示

??0.45??10?2?4.5?T?max????2max????(TT)?2?maxg????0.2??1?T?5Tg??max2??0.1?T?T?g?0?T?0.1?

（2.44）

??(Tg?T?5T)g?5Tg?T?6.0?

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三 程序设计及工程实例

3.1程序设计

根据前面给出双排桩支护结构内力计算，采用Visual Fortrain 6.0 编制可视化的使用计算程序。计算界面如图3.1所示，该计算程序界面友好，操作灵活，便于用户修改，为工程设计人员提供了设计依据。计算结果的输出采用列表形式和文档形式两种方式出入，便于计算结果的整理。

3.1 程序总框图

3.2工程实例

计算五层混凝土框架的水平地震作用。已知：集中与各楼层出得质量为；

m1?108.6t，m2?108.6t，m3?85.4t，m4?60.5t，m5?40.2t各层柱的截面尺寸均为400mm*500mm，横梁EI=?；混凝土的弹性模量E=3.0*1010kN/m2；地震类别为小震，远

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震；设防烈度为8度；建筑场地为三类场地；拟组合前3个振型的地震作用。

图 3.1 计算图示图 3.2 计算简图

由于横梁刚度无限大，所以可以把各楼层出的质量简化为一个质点。简化以后的模型如图所示3.5。柱侧位移刚度的计算公式：

ki???i?12EIchi3可得，

12EIc12EIc12?3.0?1010?12.6?10?3==36000kN/m k1??3?335h1?1?h112EIc12EIc12?3.0?1010?12.6?10?3==36000kN/m k2??3?335hh?2?22k3???3?12EIc12EIc?33h3h312?3.0?1010?12.6?10?3==36000kN/m

5312EIc12EIc12?3.0?1010?8.4?10?3==47300kN/m k4??3?334hh?4?4412EIc12EIc12?3.0?1010?8.4?10?3==47300kN/m k5??3?334h5?5?h5应用所编制的计算程序，进行计算，计算结果见表3.1~表3.8，图3.6～3.13所示。

表3.1 改变质量时的固有频率

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2iw3.html