第一中学高三第二学期数学周日独立作业(1)

金坛市第一中学高三第二学期数学周日独立作业1

班级____________________姓名_______________________

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．已知集合P???4,?2,0,2,4?,Q??x|?1?x?3?,则P?Q? .

2．若复数z1?a?i,z2?1?i（i为虚数单位），且z1?z2为纯虚数，则实数a的值为 .

3．如图所示的流程图中，输出的结果是 .

4．在学生人数比例为2:3:5的A，B，C三所学校中，用分层抽样方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么

开始 a←5，S←1 S←S×a a←a－1 n? . a≥2 5．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．

否 输出S 结束 （第3题图）

是 ?x2?2x?1,6．设f(x)????2x?6,围是 ．

x?0，若f(t)?2，则实数t的取值范x?07．已知正方形ABCD的坐标分别是(?1,0),(0,1),(1,0)，(0,?1)，动点M满足：

1kMB?kMD?? 则MA?MC?

2?12??2?)的值为 . 8．若sin(??)?,则cos(6332??

9．已知命题p:|4x?3|≤1；命题q:x?(2a?1)x?a(a?1)≤0．若q是p的充分不

必要条件，则实数a的取值范围是 ．

10. 若函数f(x)?lg(4?k?2)在???,2?上有意义，则实数k的取值范围是 .

x?x?y?2?0?2211. 过平面区域?y?2?0内一点P作圆O:x?y?1的两条切线，切点分别为A,B，

?x?y?2?0?记?APB??，则当?最小时cos?? ．

12．已知实数a,b,c满足a?b?c?9，ab?bc?ca?24，则b的取值范围是 13. 设a?R，若x?0时，均有?(a?1)x?1?(x2?ax?1)?0，则a的值为 .

14．方程x?2x?1?0的解可视为函数y?x?2的图像与函数y?421的图像交点的横x4??（i=1,2,…，?x1?坐标。若方程x?ax?4?0的各个实根x1,x2,?xk(k?4)所对应的点??xi,??k）均在直线y?x的同侧，则实数a的取值范围是___________________. 二、解答题（本大题共6小题，计90分）

15. （本题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．

????????3 （1）若AB?BC??，且b?3，求a+c的值；

2 （2）若存在实数m，使得2sinA?sinC?m成立，求实数m的取值范围．

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD?底面ABCD，且PA?PD，E、F分别为PC、BD的中点.

P （1）求证：直线EF∥平面PAD；

E （2）求证：直线EF?平面PDC.

D

F

A B

第16题

C

17．（本小题满分14分）

某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产，已知该厂连续生产n个月的累计产量为f(n)?1n(n?1)(2n?1)吨，但如果产量超过96吨，将会2给环境造成危害.

（1）请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期；

（2）若该厂在环保部门的规定下生产，但需要每月交纳a万元的环保税，已知每吨产品售价0.6万元，第n个月的工人工资为g(n)?范围.

18.（本题满分16分）

822n?n?1万元，若每月都赢利，求出a的55x2y2212,), 记椭圆的左顶点为已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为, 且过点P(ab222A.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设垂直于y轴的直线l交椭圆于B,C两点, 试求?ABC面积的最大值； (3) 过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于D,E两点, 且k1k2?2, 求证: 直线DE恒过一个定点.

A O y P · x 第18题 19. （本题满分16分）

已知函数f(x)?x3?3ax（a?R）,g(x)?lnx. （1）当a?1时，求y?g(x)?f(x)在x?1处的切线方程；

（2）若在区间[1, 2]上f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，求a的取值范围； （3）设h(x)?|f(x)|, x∈[－1, 1]，求h(x)的最大值F(a)的解析式.

20. （本题满分16分） 已知数列?an?首项a1?133，公比为313的等比数列，又bn?15log3an?t，常数t?N?，

数列?cn?满足cn?anbn， （1）求证?bn?为等差数列；

（2）若?cn?是递减数列，求t的最小值；（参考数据：33?1.442）

（3）是否存在正整数k，使Ck,Ck?1,Ck?2重新排列后成等比数列，若存在，求k,t的值，

若不存在，说明理由。

数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在

答题纸的指定区域内. A． 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，?PAQ是直角，圆Ｏ与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C。求证：BT平分?OBA

B．（选修4—2：矩阵与变换）

Q C

O·

B

P

T

A

（第21-A题）

?1??10??12?，若矩阵AB对,B?已知矩阵A??????02?01??应的变换把直线l：x?y?2?0变为直线l'，求直线l'的方程.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，圆C的方程为??42cos(???4)，以极点为坐标原点，极轴为x轴

的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为?被圆C截得的弦AB的长度.

D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

?x?t?1（t为参数），求直线l?y?t?1已知a1,a2???an都是正数，且a1?a2???an=1，求证：(2?a1)(2?a2)???(2?an)?3

[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）

如图所示,在棱长为2的正方体AC1中,点P、Q分别在棱BC、CD上,满足

n

B1Q?D1P,且PQ?2. (1)试确定P、Q两点的位置.

(2)求二面角C1?PQ?A大小的余弦值.

B1 A1 C1 D1

A B Q P

C

第22题

D

Sn?13n?1?nq?3a?2Sa23.已知等比数列?n?的首项1，公比，n是它的前项和.求证：. Snn

参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．

1.?0,2? 2.?1 3.120 4. 30 5. 8. ?3?(3,??) 7. 22 6. (??,0）5739?1? 10． 9. 0, 11. 12.[1，5] 13. 14.???,?6???6,??? ??,1???2109?2??二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,

请把答案写在答题纸的指定区域内

15. （1）?A、B、C成等差数列，?2B?A?C,又A?B?C??,?B?由AB?BC???3，

32?3??， ?ac?3． ① 得，c?acos232222又由余弦定理得b?a?c?2accos?3,?3?a2?c2?ac，

?a2?c2?6． ② 由①、②得，a?c?23 ．

（2）2sinA?sinC=2sinA?sin(2?31?A)?2sinA?(cosA?sinA) 322=

33?sinA?cosA?3sin(A?)， 22632????,???A??,∴2sinA?sinC的取值范围为(?,3)． 36622?0?A?所以?3?m?3 216．证明：（Ⅰ）连结AC,在?CPA中,因为E,F分别为PC,AC的中点, 所以EF//PA …3分

而PA?平面PAD，EF?平面PAD,……………6分 ∴直线EF∥平面PAD……………………………7分 （Ⅱ）因为面PAD?面ABCD,面PAD?面ABCD?AD,

CD?面ABCD,且CD?AD,

所以CD?平面PAD,?CD?PA……………………………10分

PA?PD，CD?PD?D，且CD、PD?面PDC,所以PA?面PDC…12分

而EF∥PA,所以直线EF?平面PDC ………………14分 17．解：（1）第n个月的月产量=??f(1), n?1. ……………3分

?f(n)?f(n?1),n?N,n?2?f(n)?11n(n?1)(2n?1),?f(1)?1,当n?2时,f(n?1)?(n?1)n(2n?3)， 22?f(n)?f(n?1)?3n2?2n. ……………………………………………………6分

令f(n)?f(n?1)?96,即3n?2n?96?0, 解得：-216?n?6, 3?n?N,?nmax?6. …………………………………………………………………9分

（2）若每月都赢利，则(3n?2n)?a?g(n)?0,n?N,n?6恒成立.

35211(n?2)2?,n?1,2,3,4,5,6,恒成立，…………………………………………12分 551112令h(n)?(n?2)?,n?1,2,3,4,5,6,?n?2时h(n)最小，且h(2)?…………14分

5551所以0?a?.…………………………………………………………………………16分

5即a?

?c?2???a?1a2??21??12218．解:(1)由?2?2?1,解得?b?,所以椭圆C的方程为x?2y?1……4分

2b??2a24??a?b2?c22c????2?1(2)设B(m,n),C(?m,n),则S?ABC??2|m|?|n|?|m|?|n|………………6分

2又1?m2?2n2?22m2n2?22|m|?|n|, 所以|m|?|n|?当且仅当|m|?2, 42|n|时取等号……………………8分

从而S?ABC?22, 即?ABC面积的最大值为……………………… 9分 44(3)因为A(－1,0),所以AB:y?k1(x?1),AC:y?k2(x?1), 由??y?k1(x?1)2222,消去y,得(1?2k)x?4kx?2k111?1?0, 22?x?2y?11?2k121?2k122k1解得x=－1或x?, ∴点B(,)………11分 2221?2k11?2k11?2k11?2k222k2k12?84k1同理,有C(,),而k1k2?2,∴C(,)…12分 22221?2k21?2k28?k18?k1∴直线BC的方程为

4k12k1?2k18?k121?2k121?2k12y??2?(x?), 222k?81?2k1?2k11?2k111?8?k121?2k123k15k12k13k11?2k12即y?,即……14分 y?x???(x?)2(k12?2)2(k12?2)1?2k122(k12?2)1?2k12所以2yk12?(3x?5)k1?y?0,则由??y?05,得直线BC恒过定点(?,0)……16分

3?3x?5?0(注: 第(3)小题也可采用设而不求的做法,即设D(x1,y1),E(x2,y2),然后代入找关系) 19. 解：（1）

（2）?在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)图象的上方

23 ?x?3ax?lnx在[1,2]上恒成立得3a?x?lnx在[1,2]上恒成立………7分 x1?lnx2x3?lnx?1lnx? 设h(x)?x?则h?(x)?2x? 22xxx2 ?2x?1?0,lnx?0?h?(x)?0?h(x)min?h(1)?1 ……………………9分 ?a?31 ……………………………10分 33 （3）因g(x)?|fx)|?|x?3ax|在[?1,1]上是偶函数,故只要求在[0,1]上的最大值

' ①当a?0时，f(x)?0,f(x)在[0,1]上单调递增且f(0)?0,?g(x)?f(x)

F(a)?f(1)?1?3a.

②当a?0时，f'(x)?3x2?3a?3(x?a)(x?a),（ⅰ）当a?1,即a?1

,此时F(a)??f(1)?3a?1 g(x)?|f(x)|??f(x),?f(x)在[0,1]上单调递增 （ⅱ）当0?a?1,即0?a?1时，f(x)在[0,a]上单调递减, 在[a,1]单调

递增；

1°当f(1)?1?3a?0,即1?a?1时， 3 g(x)?|f(x)|??f(x),?f(x)在[0,a]上单调递增,在[a,1]上单调递减, F(a)??f(a)?2aa； 2°当f(1)?1?3a?0,即0?a?1 31时,F(a)?f(1)?1?3a 411 （ⅱ）当?f(a)?f(1)?1?3a,即?a?时,F(a)??f(a)?2aa43 （ⅰ）当?f(a)?f(1)?1?3a,即0?a?

1?1?3a,(a?)?4? 综上 F(x)??2aa,(1?a?1)………………16分

?4??3a?1,(a?1)??20.（1）?bn?为首项是b1?t?5，公差d?5的等差数列 （2）bn?t?5n，cn?(t?5n)(133)n

cn?1?cn?(5n?5?t1n5?5n?t)()?0恒成立，即t??5n?恒成立 333333?1t?6.3，故t?7

②、若ck?1是等比中项，则由ck?ck?2?1??1??ck?12得x??(x?10)??3?3?3??3?kk?2?1???x?5??3??3?22k?2化

简得x(x?10)??x?5?，显然不成立．………………13分 ③、若ck?2是等比中项，则由ck?ck?1?ck?22 ?1??1?得x?3??(x?5)?3??3??3?kk?12?1???x?10??3??3?22k?4

化简得2x2?5x?100?0，因为??52?4?2?100?25?33不是完全不方数，因而，x的值是无理数，显然不成立．……15分

综上：存在k?1,t?5适合题意。………16分

数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在

答题纸的指定区域内.

A． 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分） Q 连结OT，因为AT是切线，所以OT?AP．又因为?PAQ是直角，C

AB?OTAQ?AP即，所以，所以

?TBA??BTO．……………………………… 5分

又OT?OB，所以?OTB??OBT，

所以?OBT??TBA，

即BT平分?OBA．……………………………… 10分 B．（选修4—2：矩阵与变换）

O·

B

P

T

A

（第21-A题）

??10??1 易得AB????02??0?1??1???2??1??01?2?……3分, 在直线l上任取?2?一点P(x?,y?)，经矩阵AB变换为

1?11?????x??y???xx?x?y??x??1??????点Q(x,y)，则???，∴2??22， ???????y?02?y?????2y???y?2y?1??x?x?y??4即?……8分

y?y????2代入

x??y??2?0中得x?1yy??2?0,∴直线l?的方程为424x?y?8?0…………………10分

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

解：?C的方程化为??4cos??4sin?，两边同乘以?，得?2?4?cos??4?sin?

由

?2?x2?y2, x??cos?, y??sin?,得

x2?y2?4x?4y?0………………………………5分

其圆心C坐标为(2,2)，半径r?22,又直线l的普通方程为x?y?2?0, ∴圆心C到直线l的距离d?2?2,∴弦长AB?28?2?26…………10分 2D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

因为a1是正数，所以2?a1?1?1?a1≥33a1， ……………………………5分

同理2?aj?1?1?aj≥33aj(j?2,3,?n)，

将上述不等式两边相乘，得(2?a1)(2?a2)?(2?an)≥3n?3a1?a2???an ， 因为a1?a2???an?1，所以(2?a1)(2?a2)?(2?an)≥3n．……………………10分 [必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）

????????????解:(1)以AB, AD, AA1为正交基底建立空间直角坐标系A?xyz,设CP?a (0?a?2),

????CQ?2?a, P(2,2?a,0), Q(2?2?a,2,0),B1Q?(?2?a2,2,?2),

22?????D1P?(2,?a,?2),

?????????2∵B1Q?D1P,∴BQ，∴?22?a?2a?4?0，解得a?1……4分 ?DP?011∴PC=1,CQ=1,即P、Q分别为BC, CD中点…………………5分

??????????(2)设平面C1PQ的法向量为n?(a,b,c)，∵PQ?(?1,1,0), PC1?(0,1,2),又??????????????a?b?0c??1a?b?2，令，则,n?(2,2,?1)………8分 n?PQ?n?PC1?0，∴?b?2c?0????1∵k?(0,0,?2)为面APQ的一个法向量,∴cos?n,k??,而二面角为钝角,故余弦值为

31?……10分 3Sn是它的前n项和.求证：23.已知等比数列?an?的首项a1?2，公比q?3，

证明：由已知，得Sn?3?1，

nSn?13n?1?. Snnn?1Sn?13n?13?13n?1?等价于n，即3n?2n?1.(?)……………………………2分 ?Snn3?1n（方法一）用数学归纳法证明．

①当n?1时，左边?3，右边?3，所以（?）成立…………………………………4分 ②假设当n?k时，（?）成立，即3?2k?1

那么当n?k?1时，3k?3?3k?3(2k?1)?6k?3?2k?3?2(k?1)?1

所以当n?k?1时，（?）成立…………………………………………………………8分 综合①②，得3n?2n?1成立

kSn?13n?1?所以.…………………………………………………………………… 10分 Snn（方法二）当n?1时，左边?3，右边?3，所以（?）成立……………………4分 当n?2时，3?(1?2)?Cn?Cn?2?Cn?2???Cn?2 ?1?2n???1?2n

n20122nnSn?13n?1?所以.…………………………………………………………………… 10分 Snn

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