近世代数复习
更新时间:2024-03-16 08:27:01 阅读量: 综合文库 文档下载
第一章
集合A 的一个分类决定A的元间的一个等价关系; 集合A元间的一个等价关系~决定A的一个分类。
第二章
群的定义
a. 设G是一个非空集合,“?”是其上一个二元运算,若满足
1.“?”满足结合律;2.{G,?}中有单位元;3.{G,?}每个元都与逆元 则称{G,?}是一个群,简称G是一个群。
b. 若G是 一个有乘法的有限非空集合,且满足消去律。 群的性质
1.单位元唯一; 2.逆元唯一;
3.若G是群,则对G中的任意元a、b,方程ax = b和xa = b都有唯一的解 4.若G是群,则对任意G中的两个元素a、b, 有(ab)-1=b-1a-1
?1?1?1?1?1?a,a,...,a,?G?(aa...a)?aa...a12m12mmm?12a1 注:可以推广到无限:
5.单位元是群中唯一的等幂元素(满足x2 = x的元叫等幂元)
证:令x是等幂元,∴x=ex=(x-1x)x=x-1(xx)=x-1x=e。
6.群满足左右消去律。
推论:若G是有限群,则其运算表中的每一行(列)都是G中元的一个排列,而且不同行(列)的排列不同。
7.若群G的元a的阶是n(有限),则ak = e n|k。 8.群中的任意元素a和他的逆元a-1具有相同的阶。
9.在有限群G中,每一元素具有一有限阶,且阶数至多为|G|。
交换群:若一个群中的任意两个元a、b,都满足ab = ba,则这个群为交换群。 元素的阶:G的一个元素a,能够使am = e 的最小正整数m叫做a的阶,记为o(a)。若是这样的m不存在,则称a是无限阶的。
有限群:若一个群的元的个数是一个有限整数,则称这个群为有限群,否则为无限群。一个有限群的元的个数叫做这个群的阶。
定理:一个有乘法的有限集合G若是满足封闭性、结合律、消去律,那么,对于G的任意两个元a,b来说,方程ax = b 和 ya = b §5变换群
定理1:假定G是集合A的若干个变换所作成的集合,并且G包含恒等变换ε。若是对于上述乘法来说G做成一个群,那么G只包含A的一一变换。 定理2:一个集合A的所有一一变换做成一个变换群G。 定理3:任何一个群都同一个变换群同构。(凯莱定理) §6置换群
置换:一个有限集合的一个一一变换;
置换群:一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群; n次对称群:一个包含n个元的集合的全体置换做成的群。 定理1 :n次对称群Sn的阶是n!
k-阶循环置换可用符号(i1i2?ik)表示。
定理2:每一个n元的置换都可以写成若干个相互没有共同数字的(不相连的)
循环置换的乘积。
定理3:每一个有限群都与一个置换群同构。 §7循环群
定义:若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方,我们就把G叫做循环群;也说,G是由元a所生成的,并且用符号G=(a)表示,a叫做生成元。 定理:假定G是一个由元a所生成的循环群。那么G的构完全可以由a的阶来决定:1.a的阶若是无限,那么G与整数加群同构;2.a的阶若是一个有限整数n,那么G与模n的剩余类加群同构。 §8子群
定义:一个群G的一个子集H叫做G的一个子群,假如H对于G的乘法来说做成一个群。
定理1:一个群G的不空子集H做成G的一个子集?a,b?H?ab?H; a?H?a-1?H 推论:H?G,且H不空,eh = eg, ah= ag
定理2:一个群G的不空子集H做成G的一个子群?a,b?H?ab-1?H 定理3:一个群G的不空有限子集H做成G的一个子群的充要条件是: a,b?H?ab?H 生成子群: p64 §9子群的陪集
定义:设G为一个群,H是G的一个子群。而?a?G那么
① 形如Ha = {ha | h ?H}的子集,叫做子群H的一个右陪集,a称为Ha的代表元。
② 形如aH= {ah | h ?H}的子集,叫做子群H的一个左陪集,a称为aH的代表元。
指数:一个群G的一个子群H的右陪集(或左陪集)的个数叫做H在G里的指数,记为[G:H].
定理1:一个子群H的左右陪集个数相同,或都是无穷大、或都是一个有限相等整数。
定理2(Lagrange定理):假定H是一个有限群G的一个子群,那么H的阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N,且N = nj;
注:子群H的陪集Ha(aH)所含元素个数与H的元素个数相同
-1
-1
推论:G是有限群,?a?G,若o(a)?m,那么m必是|G|的因子 定理3:一个有限群G的任一个元a的阶都整除G的阶。 陪集的性质
定理1:设H是G的一个子群,?a,b?G,于是有a?Hb?Ha?Hb?ab-1?H
-1 推论:设H是G的一个子群,?a,b?G, 于是有a?Hb?b?Ha?Ha?Hb?ab?H?ba-1?H
定理1’设H是G的一个子群,?a,b?G,于是有:i.a?bH?aH?bH?b-
b?H 1
a?H;ii.b?aH?aH?bH?a-1
定理2:设H是G的一个子群,设a,b?G,那么
群的陪集分解
定理3:设H是G的子群,在G中定义关系“~”:?a,b?G,a~b?ab-1?H,那么“~”必是等价关系 证:
?e?H?a~a1) ?a?G,aa-1 2) 若a~b?ab-1
?H?ba-1?(ab-1
?H?b~a)-1
-1?H且bc-1?H?ac-1?H?a~c3) 若a~b且b~c?ab 由(1)、(2)、(3)知关系“~”是一个等价关系
由a~b?a-1b?H定义的关系决定的G中的分类,每个子类就 是左陪集.G表示这些左陪集的并?aH叫做G的一个左陪集分解。 a?Hb?Ha?Hb?ab-1?H a?bH?aH?bH?b-1a?H
注:若Ha = Hb ,那么代表两个集合相等,但并不代表hia = hib(i = 1, 2, 3?)
§10不变子群、商群
不变子群:N?G,对?a?G,都有Na?aN
不变子群的中心:N?G,对?a?G,n?N,有an?na,则称N为G的中心 商群:一个群G的一个不变子群N的陪集所作成的群,记为:G/N。
|G|?|G/N| |N|定理:一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件是: 1.?a?G,aNa-1?N2.a?G,n?N?ana-1?N
§11同态和不变子群
同态核:假定Φ是一个群G到另一个群G’的同态满射。G’的单位元e’在Φ之下的所有的逆象所作成G的子集叫做同态满射Φ的核,记为Ker(Φ)。 即:Ker(Φ)?{a?G|Φ(a)?e'} 定理1:一个群G同它的每一个商群|G/N|同态(自然同态)。
定理2:设Φ:G?G'是群同态映射,K,并 且 那e(么rΦ)是G的不变子群G/Ker(Φ)?G'
定理3:假定G和G’是两个群,并且G与G’同态。那么在这个同态满射之下的:1.G的一个子群H的象H’是G’的一个子群
2.G的一个不变子群N的象是G’的一个不变子群
定理4:假定G和G’是两个群,并且G与G’同态。那么在这个同态满射之下的:1.G’的一个其群H’的逆象H是G的一个子群
2.G’的一个不变子群N’的象是G的一个不变子群
第三章
§1加群、环的定义 加群:封闭、结合律
环:1.R是一个加群,换一句话说,R对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群。
2.R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的;
3.这个乘法适合结合律a(bc)?(ab)c,不管a,b,c是R的那三个元 4.两个分配率都成立:a(b?c)?ab?ac,(b?c)a?ba?ca §2交换律、单位元、零因子、整环 交换环:R为一个环,?a,b?R,ab?ba
a?0,b?0但ab?0,则称a为左零因子,b为右零因子。零因子:在一个环里, 剩余类环:R={所有模n的剩余类},乘法适合结合律,并且两个分配律都成立,
则R做成一个环,叫做模n的剩余类环。 整环:R为一个整环,若: 1.乘法适合交换律,ab?ba; 2.R有单位元1;
3.R没有零因子,即:ab?0?a?0或b?0 定理:环中无零因子?环中左右消去律都成立
推论:在一个环里若有一个消去律成立,那么另一个消去律也成立 §3除环、域
除环:R为除环,若:
1.R中至少包含一个不等于零的元; 2.R有一个单位元;
3.R的每一个不等于零的元有一个逆元; 域:交换除环。
交换环
整环
环 有单位元环 域
除环 无零因子环 §4无零因子环的特征
特征:一个无零因子环R非零元的相同的(对加法来说)阶叫做环R的特征 定理1:在一个没有零因子的环R里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。
定理2:如果无零因子环R的特征是有限整数,那么n是个素数 推论:整环、除环以及域的特征或是无限大、或是一个素数p §5.子环、环的同态 子环:一个环R的子集S叫做R的一个子环,假如S本身对于R的代数运算来说做成一个环。即:?a,b?S?a?b?S,ab?S
子除环:一个除环R的子集S叫做R的一个子除环,假如S本身对于R的代数运算来说做成一个除环。即:
1.S包含一个不等于0的元; 2.a,b?S,b?0,a?b?S,ab-1
?S
定理1:若是存在一个R到R’的满射,使得R与R’对于一对加法以及一对乘法来说都同态,那么R’也是一个环
定理2:假定R和R’是两个环,并且R与R’同态。那么,R的零元的象是R’的零元,R的元a的负元的象是a的象的负元,并且,假如R是交换环,那么R’也是交换环;假如R有单位元1,那么R’也有单位元1’,而且1’是1的象。 定理3:假定R同R’是两个环,并且R?R’。那么,若R是整环,R’也是整环;R是除环,R’也是除环;R是域,R’也是域。
定理4:假定S是环R的一个子环,S在R里的补足集合(这就是所有不属于S的R的元做成的集合)与另一个环S’没有共同元,并且S?S’。那么存在一个与R同构的环R’,而且S’是R’的子环。 即: (R?S)?S'?Φ §7理想
理想:环R的非空子集H叫做一个理想子环,简称理想,满足: 1.a,b?H?a?b?H 2.a?H,r?R?ra,ar?H
零理想:只包含零元 单位理想:该理想本身
主理想:由一个元素生成的理想
1.(x1ay1 + ? +xmaym) + sa + at + na(xi, yi, s, t?R, N是整数) 2.若R是交换环:ra?na(r?R,n是整数) 3.当R有单位元时?xiayi(xi, yi?R)4.当R既是交换环又有单位元时:ra(r?R)
定理:除环只有零理想和单位理想. §8 剩余类环、同态与理想
定理1:假定R是一个环,H是它的一个理想,R’是所有模H的剩余类做成的集合,那么R’本身也是一个环,并且R与R’同态
定理2:假定R同R’是两个环,并且R与R’同态,那么这个同态满射的核H是R的一个理想,并且R/H?R' §9极大(最大)理想
极大理想:一个环R的一个不等于R的理想H叫做一个极大理想,假如,除了R同H自己之外,没有包含H 的理想。
引理1:假定H?R是环R的理想。剩余类环R/H除了零理想和单位理想之外不再有其他理想?H是极大理想
引理2:有单位元(?0)的交换环R除了零理想同单位理想之外没有其他理想,那么R一定是一个域。
定理:假定R是一个有单位元的交换环,H是R的一个理想,R/H是一个域,当而且仅当H是一个极大理想的时候。
对于整数环R来说,由一个素数p所生成的主理想(p)是一个极大理想 §10商域
a商域:假如Q包含R,并且Q刚好是由所有元,(a,b?R,b?0)所作成的,那么
b域Q叫做环R的一个商域
定理1:每一个没有零因子的交换环R都是一个域Q的子环
aa定理2:Q刚好是由所有元,(a,b?R,b?0)所作成的,这里?ab-1=b-1a
bb定理3:假定R是一个有两个以上的元的环,F是一个包含R的域,那么F包含R的一个商域。
定理4:同构的环的商域也同构,这样,抽象的看来,一个环最多只有一个商域。
第四章
§1.素元、唯一分解
因子:整环I的一个元a可以被I 的元b整除,假如在I中找得出元c来,使得a = bc.则称b是a的因子。
单位:整环里的一个元ε叫做I的一个单位,假如ε是一个有逆元的元。即:每个可逆元称为单位。
相伴元:元b叫元a的相伴元,假如b是a 和一个单位ε的乘积b??a
平凡/真因子:单位及元的相伴元叫做该元的平凡因子,其余的因子叫做该元的真因子。
素元:整环I的一个元p叫做一个素元,假如p既不是零元,也不是单位,并且p只有平凡因子 唯一分解:一个整环I的一个元a在I里有唯一分解,假如一下条件都能被满足: 1.a?p1p2?pr(pi是I的素元)
2.若同时a?q1q2?qs(qi是I的素元),那么r = s, 并且我们可以把qi的次序调换一下,使得qi=εipi(εi是I的单位)
定理1:两个单位的乘积仍是单位,单位的逆元也是单位。 定理2:单位同素元的乘积也是一个素元
定理3:整环中一个不等于零的元a有真因子的充分而且必要条件是:a?bc,b,c都不是单位。
推论:假定a?0,且a有真因子b。即: a = bc.那么c也是a的真因子。 §2.唯一分解环
唯一分解环:假如整环I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。 公因子:元c叫做元a1,a2,?,an的公因子,假如c同时能够整除a1,a2,?,an.
最大公因子:元a1,a2,?,an的一个公因子d叫做a1,a2,?,an的最大公因子,假如d能够被a1,a2,?,an的每一个公因子c整除
互素:一个唯一分解环I的元a1,a2,?,an互素,假如它们的最大公因子是单位
定理1:一个唯一分解环有一下性质:3.若一个素元p能够整除ab,那么p能够整除a或b。
定理2:假定一个整环I有一下性质:
1.I的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解:a?p1p2?pr(pi是I的素元)
2.I的一个素元p若能整除ab,那么p能整除a或b,这则I一定是一个唯一分解环
定理3:一个唯一分解环I的两个元a和b在I里一定有最大公因子。a和b的两个最大公因子d和d’只能差一个单位因子.即:d’=εd.(ε是单位)
推论:一个唯一分解环I的n个元a1,a2,?,an在I里一定有最大公因子。a1,a2,?,an的两个最大公因子只能差一个单位因子 §3主理想环
主理想环:一个环的每一个理想都是主理想
引理1:假定I是一个主理想环,若在序列a1,a2,a3,?(ai?I)里的每一个元是前面一个的真因子,那么这个序列一定是一个有限序列
引理2:假定I是一个主理想环,那么I的每一个素元p生成一个极(最)大理想。
定理:一个主理想环I是一个唯一分解环。 §4欧式环
欧式环:一个整环I叫做一个欧式环,假如
1.有一个从I的非零元所作成的集合到>=0的整数集合的映射?存在;
b?qa?r(q,r?I)的2.给定了I的一个不等于零的元a,I的任何元b都可以写成:
形式,这里或是r=0或是?(r)??(a)
定理1:任何欧式环I一定是一个主理想环,因而一定是一个唯一分解环。
定理2:整数环是一个主理想环,因而一定是一个唯一分解环。
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