高中数学_1.4.1 正弦函数余弦函数的图象教学设计学情分析教材分

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

教学目标：

1、知识与技能：通过对“正弦曲线”的作图，能正确理解使用“几何法”和“五点法”作图从而

为进一步研究正弦型函数“ y=Asin(ωx+φ)”的图象打好基础

2、过程与方法：在画出正弦函数图象过程中，通过观察、分析，尝试等手段，培养学生主

动探索、勇于发现的求知精神, 在学习和实践过程中培养学生运用数学方法解决问题的能力。

3、情感、态度、价值观：在参与作图及问题讨论并获得解决过程中渗透由简单到复杂，由

特殊到一般化归的数学思想，由数到形、由形到数的数形结合思想，从而培养学生的数学兴趣、数学意识、数学严谨作风。

教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；

用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。

教学难点：作余弦函数的图象，确定五个关键点；

课 型：新授课

教 法：启发、探究发现教学.

教 具：沙漏摆动实验仪器、多媒体

教学过程：

一、复习回顾：

正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P

作x 轴的垂线，垂足为M ，则有

MP r y ==αsin ，OM r

x ==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．

二、创设情景

目的是激发学生求知欲、引导学生进入学习状态。所以在本节课的教学中我设计了一个问题情景。

问题有三个：

1.做函数图象的常用方法及它的步骤？

2.如何画正弦线？

3.如何画出正弦函数y=sinx 的图象？

这是一个温故知新的过程，学生通过问题的解决消除学习新知识的畏惧心态，为新知识的类比迁移作出铺垫。同时学生也体验到了学习数学新知的思维方法。

生活中有没有这样的曲线呢？演示沙漏实验，告诉学生知识是来源于生活而又高于生活，激发学生热爱生活，观察生活从而喜欢数学。目的是引导学生用描点法做出正弦函数图象。

三、讲解新课：

此时设计学生活动（一）：按照描点法做函数图象的步骤，尝试画出正弦函数图象的简图。把学生带入尝试探究环节。提出问题：根据现有的点能否作出函数图象？思考每一个小区间函数值的变化趋势。如何确定函数图象上的每一点，这就需要得到任意角三角函数值的几何表示。此时教师适当引导，学生讨论，目的是使之发现利用三角函数线直观获取点坐标，α角的正弦函数值可用MP 的数值比较直观地、精确表示。这样就得到了正弦函数图象上任意点的坐标。这就是几何法作图。

此时设置学生数学活动（二）：利用描点法及三角函数线知识画正弦函数y=sinx ，x ∈

[0，2π]图象。教师引导学生在x 轴上把区间［0，2π］12等分，同时把单位圆也进行12等分，让学生理解在x 轴上截取长为α弧度的线段长就表示正角α，也就得到了正弦函数的横坐标值。同时教师参与学生小组讨论，引导点拨、展示学生作品、分析优点及不足。并由学生总结作图步骤，教师指出坐标系单位要统一，图象要美观。另外教师用多媒体展示几何法画正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]图象。

1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：

函数y=sinx 的图象

第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.

第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2

π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表”）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.

第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.

接下来设计了这样的一个问题。函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象与函数y=sinx ，x ∈R 上的图象有什么不同？引导学生利用三角函数诱导公式发现他们只是位置不同，形状完全一样。只是把y=sinx ，x ∈[0，2π]向左或向右平移2π的整数倍。目的是通过作图由学生自主观察正弦函数的周期性。

把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象

.

（2）余弦函数y=cosx 的图象

根据诱导公式cos sin()2

x x π

=+,还可以把正弦函数x=sinx 的图象向左平移

2

π

单位即得余弦函数y=cosx 的图象.

正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

y=cosx

y=sinx

π

2π

3π

4π

5π

6π-π

-2π

-3π

-4π

-5π

-6π

-6π

-5π

-4π

-3π

-2π

-π

6π5π

4π

3π

2π

π

-1

1y x

-11o x

y

学生已经对正弦函数有了较深的印象，在大家都很高兴把正弦函数图象画出来的时候，教师在此创设认知上的矛盾，指出利用几何法作图虽然精确但不实用，在精确度要求不高时我们能否较快地作出简图？此时教师让学生观察已作出的正弦函数y=sinx x ∈[0,2 π]的图象，确定其中起关键作用的点有哪些？分别说出它们的坐标。这些点两侧图象走势如何？通过学生的准确回答，教师课件演示，掌握在五点法作图中关键的五个点坐标，为以后作图打下基础。

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是： (0,0) (

2π,1) (π,0) (2

3π

,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是

(0,1) (

2π,0) (π,-1) (2

3π

,0) (2π,1) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握． 四、例题讲解

例1． 画出下列函数的简图： （1） y ＝1＋sinx ，x ∈〔0，２π〕 （2） y ＝－cosx ，x ∈〔0，２π〕 解：（1） 按五个关键点列表：

描点、连线，画出简图。

探究1

如何利用y=sinx，x∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y ＝1＋sinx ,x∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？

小结：函数值加减，图象上下移动；自变量加减，图象左右移动。

(2)按五个关键点列表：

描点、连线，画出简图。

探究2

如何利用y=cos x，x∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，x∈〔0，２π〕的图象？

小结：这两个图象关于X轴对称。

五、练习思考：

如何利用y=sin x 、y=cos x，x∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y=-2sin x+1;y＝3cosx-2 ，x∈〔0，２π〕的图象？

六、课堂小结：

本节课学习了以下内容：

1．正弦、余弦曲线的几何画法和五点法

2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系

七、课后作业：

设计分选做题和必做题，必做题是对本节所学内容的一个反馈，选做题是本节所学的一个知识延伸，注重知识的延伸性和连贯性，设计意图为学以致用巩固提高。

八、板书设计：

设计意图力求简洁清晰，突出重点。

1、正弦函数的定义

2、正弦函数的图象

3、五点作图法

【学情分析】

本课的学习对象为高一下学期的学生，他们经过半年的高中学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。并且经过前一段函数和三角基础知识的学习，学生具备了一定的函数和三角知识的基础，较易接受新知识。

通过前面的学习，利用描点作函数图象的方法基本掌握，但程度上存在个别差异。在心理上厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行思考探索的空间，给他们发表自己见解和表现才华的机会。之前学生已经学习了函数图像的画法，还学过三角函数线，在此基础上来学习如何作出正弦函数图象既是对已学知识进一步应用，又为今后研究正弦函数、余弦函数的性质打下基础，在此起承上启下的重要作用。

课前学生需回忆物理上学习的单摆的简谐运动实验，复习诱导公式。

1、这是一节抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习，使学生由学会变成会学，乐学。根据高中学生的认知特点和情感特点，充分考虑对本课的教材处理，拟采用合作、探究的教学方法为学生创造一个良好的学习环境。同时利用多媒体技术优化课堂教学，体现辅助功能作用，展现正弦函数运动变化的美，增加课堂容量提高课堂效率。

2、本节例题用教材上的例题，但解答除“五点法”之外，又引导学生利用函数图象的平移对称变换来作图．通过一题多解，可帮助学生加深对知识的认知程度，培养灵活的思维方式．学会遇到新问题时，善于调动所学过的旧知识，运用新旧知识间的联系，增强分析问题和解决问题的能力。

3、反馈练习设计层次分明：变式训练和练习检测为巩固基础知识型，对课堂内容知识的再认识(五点作图及图象变换);思考题为提高能力型,是对正(余)弦函数图象的灵活运用，由易到难，体现因材施教重效果,循序渐进促发展的教学理念。

4、最后师生共同总结，强化数形结合的数学思想，使学生的理论达到发展和升华，能力达到提高,并为相关学科的学习做好铺垫，提高综合素质．这样设计体现了“多动手、勤

动脑、敢猜想、善发现”的学习方法，使学生真正成为教学的主体。

【教材分析】

《正弦函数余弦函数的图象》是高中新教材人教A版必修四的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正余弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数的图象的知识基础和方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。

本课主要是利用正弦线画出的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换。

［学习重点］

用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；

用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。

［学习难点］

正、余弦函数图象间的关系；作函数的图象时确定五个关键点。

［课时安排］1课时

例1、画出下列函数的简图：

(1)y＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕

(2)ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕

变式训练

画出下列函数的简图：

(1)y＝-2sinx+1 ，ｘ∈〔0，２π〕

(2)ｙ＝3cosx-2 ，ｘ∈〔0，２π〕

练习检测

画出下列函数的简图：

(1)y＝2sinx-1 ，ｘ∈〔0，２π〕

(2)ｙ＝1+3cosx ，ｘ∈〔0，２π〕

思考题：

1.的图象

=

1-

作函数x

y2

cos

2. 可用什么方法得到的图像？

3.结合图象，判断方程x

sinx=的实数解的个数.

【教学反思】

1.阅读课本，培养学生自学数学的能力，是数学教学的重要任务之一，指导学生阅读数学课本，则是培养他们自学数学能力的基本途径。指导学生阅读数学课本是一个值得重视的问题。

2.多媒体展示“简谐运动的位移和时间关系”图象，让学生经历从“生活世界”到“科学世界”，感受三角函数图像变化的特定规律，并从直观上认识正弦函数和余弦函数图象.对学习数学产生兴趣。

3.教学目标展示：因为教学目标的确立，对于任何一节课都是十分重要的，它指出了教学的主攻方向，发挥着导向功能，是教学活动的出发点和归宿，这种导向功能体现对教师的导教功能和对学生的导学功能。

4.教师课堂内容熟悉，教学思路设计清晰，以五个任务为主线各环节过渡比较自然，课堂教学设计得比较紧凑，较好的完成教学任务。

5．通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程。使原本枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣。作出y＝sinx 在[0, 2π]内的图象后，借助角的周而复始的变化，再得到正弦曲线，体会后面要学习的“周期”的性质，这样的设计由局部到整体，符合探究的一般方法。

6．在得到正弦函数的图象后，通过一个探究，引导学生利用诱导公式，结合图象变换研究余弦函数的图象，体现了新课改中倡导的“自主探究、合作交流”的教学理念，有利于培养学生主动探究的意识。

7．对于“五点法”老师让学生通过观察、学生讨论、进一步合作交流得到“五点法”作图，结合学案练习，充分体现以学生为主的教学思路。

不足的地方：

1.在复习引导学生回顾三角函数线的相关知识—如何用几何法做点的问题处理中讲的不够

细致。

2.在讲解利用单位圆中的正弦线作函数y=sinx，x∈[0，2π ]的图象时，说的有点快，语言不够干练准确。

3.要动脑筋想办法调动学生的积极性，让学生和学生、学生和老师积极互动。

学生的学习是一个积极主动的建构过程，而不是被动地接受知识的过程。由于学生已具备初等函数、三角函数线知识，为研究正弦函数图象提供了知识上的积累；因此本教学设计理念是：通过问题的提出，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，引导学生关注正弦函数的图象及其作法；并借助电脑多媒体使教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调学生“活动”的内化，以此达到使学生有效地对当前所学知识的意义建构的目的，感觉效果很好。

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

［三维目标］

1、知识与技能：通过对“正弦曲线”的作图，能正确理解使用“几何法”和“五点法”作图从而

为进一步研究正弦型函数“ y=Asin(ωx+φ)”的图象打好基础

2、过程与方法：在画出正弦函数图象过程中，通过观察、分析，尝试等手段，培养学生主

动探索、勇于发现的求知精神, 在学习和实践过程中培养学生运用数学方法解

决问题的能力。

3、情感、态度、价值观：在参与作图及问题讨论并获得解决过程中渗透由简单到复杂，由

特殊到一般化归的数学思想，由数到形、由形到数的数形结合思想，从而培养

学生的数学兴趣、数学意识、数学严谨作风。

［学习重点］

用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；

用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。

［学习难点］

正、余弦函数图象间的关系；作函数的图象时确定五个关键点。

［课时安排］1课时

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