第九章__多项式矩阵

第九章 多项式矩阵的性质定义： 定义： 已知 A ∈ Cnn ×n

多项式矩阵

和关于变量 x 的多项式n 1

f ( x ) = an x + an 1 x那么我们称n

+ L + a1 x + a0

f ( A) = an A + an 1 A为 矩阵多项式。 A 的矩阵多项式。

n 1

+ L + a1 A + a0 I

阶矩阵， 为其Jordan标准形，则 标准形， 设 A为一个 n 阶矩阵，J 为其 标准形

A = PJP = Pdiag( J 1 , J 2 ,L , J r ) P

1

1

= Pdiag( J 1 ( λ1 ), J 2 ( λ2 ),L , J r ( λr )) P于是有

1

f ( A ) = a n A + a n 1 An

n 1

+ L + a1 A + a 0 I 1

= an ( PJP = P (an Jn

1

) + a n 1 ( P J Pn 1

)

n 1

+ 1

L + a1 ( P J P = Pf (J )P 1

) + a0In 1

+ a n 1 J

+ L + a1 J + a 0 I ) P 1

= P d ia g ( f ( J 1 ) , f ( J 2 ) , L , f ( J r ) ) P

我们称上面的表达式为矩阵多项式 我们称上面的表达式为矩阵多项式 f ( A) 的 Jordan表示。其中 表示。 表示

λi J i ( λi ) =

1

λi

O (i = 1, 2,L , r ) O 1 λi di ×di

d 1 λik ck λik 1 L ck i 1λik di +1 k λi O M k Ji (λi ) = 1 k 1 O ck λi k λi di ×di

1 ( di 1) ' (λi ) f (λi ) f (λi ) L (d 1)! f i f (λi ) O M f ( Ji ) = ' O f (λi ) f (λi ) d ×d i i例 已知多项式

f ( x) = x 2 x + x 14 3

与矩阵

3 0 8 A = 3 1 6 2 0 5 求 f ( A) 。解：首先求出矩阵的 A 的Jordan标准形 J及其相 标准形 似变换矩阵 P

0 1 0 0 0 1 1 P = 1 J= 0 0 0 1 那么有

4 1 3 0 2 0

0 1 3 2 P 1 = 0 0 1 2 1 0 2

f ( A) = Pf ( J ) P 1 0 4 1 f ( 1) = 1 3 0 0 0 2 0 0 f ( 1) + 4 f ' ( 1) = 3 f ' ( 1) 2 f ' ( 1) 0 f ( 1) 0 0 f ( 1) 0 0 1 3 2 0 ' f ( 1) 0 0 1 2 f ( 1) 1 0 2 ' 6 f ( 1) ' f ( 1) 4 f ( 1) '

8 f ( 1)

35 0 72 = 27 1 54 18 0 37 定义：已知 A ∈ C n×n 和关于变量 x 的多项式 定义：

f ( x ) = an x + an 1 xn

n 1

+ L + a1 x + a0

如果 f ( x ) 满足 f ( A) = On×n ,那么称 f ( x ) 的一个零化多项式 为矩阵 A 的一个零化多项式。

定理： 定理：已知 A ∈ C 则有

n ×n

f ( A) = On×nn × n ,在

为其特征多项式, , f ( λ )为其特征多项式

我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。 定理。 我们称此定理为 定理 定义： 定义：已知

A∈C

的零化多项式中， A 的零化多项式中，

次数最低且首项系数为1的零化多项式称为 次数最低且

首项系数为1的零化多项式称为 的最小多项式，通常记为 最小多项式， A 最小多项式的性质： 最小多项式的性质：已知

m。 ) (λn ×n

A∈C

,那么

的最小多项式是唯一的。 (1)矩阵 A 的最小多项式是唯一的。 )

(2)矩阵的任何一个零化多项式均能被m( λ ) )

整除。 整除。 (3)相似矩阵有相同的最小多项式。 )相似矩阵有相同的最小多项式。 如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考 如何求一个矩阵的最小多项式 首先我们考 标准形矩阵的最小多项式。 虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。 标准形矩阵的最小多项式 已知一个Jordan块 例1 :已知一个Jordan块

λi Ji =

1

λi

O O 1 λi di ×di

求其最小多项式。 求其最小多项式。 解：注意到其特征多项式为 f ( λ ) = ( λ λi ) di 则由上面的定理可知其最小多项式 ,

一定具有如下形状 m( λ ) = ( λ λi ) k 其中 1 ≤ k ≤ d i。 但是当 k < d i 时m ( J i ) = ( J i λi I )k 0 = 0 0 L 0 0 1 O O O L O O 0 0 0 L 1 ≠ O di×di L 0 0

m( λ )

因此有 m( λ ) = ( λ λi ) .di

例2 :已知对角块矩阵 A = diag( A1 , A2 ,L , Ar ) ,而 而

m1 (λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 分别为子块 A1 , A2 ,L , Ar

的最小多项式， 的最小多项式，则 A 的最小多项式为

[m1 ( λ ), m2 (λ ),L , mr (λ )] 的最小公倍数。 即为 m1 ( λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 的最小公倍数。 3 0 8 A = 3 1 6 (2) 2 0 5

例3 :求下列矩阵的最小多项式(1)

3 2 2 B= 1 8 2 2 14 3

1 2 6 (3) C = 1 0 3 1 1 4

3 0 (4) D = 0 0

1 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 5

解： (1)首先求出其 )首先求出其Jordan标准形为 标准形为

1 J = 0 0 所以其最小多项式为

0 1 1 0 1 0

( λ + 1) 。2

(2)此矩阵的 )此矩阵的Jordan标准形为 标准形为

1 0 0 0 3 1 J= 0 0 3 从而其最小多项式为( λ 1)( λ 3) 。 (3)该矩阵的 )该矩阵的Jordan标准形为 标准形为2

1 0 0 0 1 1 J= 0 0 1

故其最小多项式为 ( λ 1) 。 标准形， (4)此矩阵本身就是一个 )此矩阵本身就是一个Jordan标准形， 标准形 2 所以其最小多项式 ( λ 5)( λ 3) 。2

矩阵函数及其计算

函数在矩阵谱上的值与矩阵函数

λ 定义： 定义：设 A ∈ C n×n , 1 , λ2 ,L , λr 为 A的 r 个互不相同的特征值， m( λ ) 为其最小多项 个互不相同的特征值， 式且有m( λ ) = ( λ λ1 ) d1 (λ λ2 ) d2 L ( λ λr

) d r

其中d i ≥ 1( i = 1, 2 L , r ) ,

∑di =1

r

i

= m

如果函数 f ( x ) 具有足够高阶的导数并且下 列 m 个值

f ( λi ), f ( λi ),L , f'

( d i 1)

( λi ), i = 1, 2,L , r

存在， 存在，则称函数 f ( x ) 在矩阵 A 的谱上有定 义。 例：设 1 f ( x) = ( x 3)( x 4)

又已知

8 3 6 3 2 0 A= 4 2 2 容易求得矩阵 A 的最小多项式为

m( λ ) = ( λ 2)(λ 1)并且

2

1 , f (1) = 1 , f ' (1) = 5 f (2) = 2 6 36

的谱上有定义。 所以 f ( x ) 在 A 的谱上有定义。但是如果取

3 1 0 0 3 0 B= 0 0 1 容易求得矩阵 B 的最小多项式为

m( λ ) = ( λ 1)(λ 3)考虑下面两个问题： 考虑下面两个问题：

2

显然 f (3) 不存在，所以在 B 的谱上无定义。 不存在， 的谱上无定义。

有定义， (1)设 A ∈ C ) ,如果 f ( A) 有定义，那 是否也有定义？ 么 f ( AT ) 是否也有定义？ 可逆， (2)设 A ∈ C ) 且 A 可逆，如果 f ( A) 有 1 定义， 是否也有定义？ 定义，那么 f ( A ) 是否也有定义？ 如果上述说法正确，请予以证明；如果上述 如果上述说法正确，请予以证明； 说法不正确，请举反例加以说明。 说法不正确，请举反例加以说明。 定义： 定义：设矩阵A ∈ C n×n 的最小多项式为n ×n

n ×n

m( λ ) = ( λ λ1 ) ( λ λ2 ) L ( λ λr )d1 d2

dr

的谱上有定义， 函数 f ( x ) 在矩阵 A 的谱上有定义，如果 存在多项式 g ( x ) 且满足

f

(k )

( λi ) = g ( λi )(k )

, i = 1, 2,L , r ; k = 1, 2,L , d i 1则定义矩阵函数为 则定义矩阵函数为 矩阵函数

f ( A) = g ( A)如何求矩阵函数？矩阵函数的Jordan表示， 如何求矩阵函数？ 表示， 多项式表示与幂级数表示定理： 定理：设 A ∈ C n×n , J 为矩阵 A 的Jordan 标准形， 标准形，P为其相似变换矩阵且使得

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