2009-2010-2线代试卷(A)参考答案与评分标

广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( A ) 课程名称: 线性代数 。 考试时间: 2010 年 6 月 25 日 (第 17 周 星期 五 ) 一、 填空题（每小题4分，共24分）： ?1-1?1?1. －3 2. ? 3. 2 4. 5. 0 6. 36 ?11?2??二、选择题（每小题4分，共24分） 1. B 2. D 3. C 4. D 5. C 6. B 三、（8分）2100012100101210r2?r1(?)2001210001220000132100000100202r?r(?)021032312100120213020000143000015400001651320000143100000102112203r4?r3(?)040013200001430000154100400r5?r4(?)5012=6. （每步2分） 0四、（10分） ?123??234?143? 1?r2?2r1?0?~-1??r3?r1?1??0?0?1?r2?2r1?-1-2-2?~20-2??23?1??0?0?1??-1-2-2? 0-4-6??23广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共4页，第1页

r2(?1)???1231?~?0122?， (4分) 1?3??r3(?)?0014?2?因为R(?1,?2,?3)?3，可知(?1,?2,?3)为R3一组基， (6分) 为求?4用这组基表示，继续化为行最简型. ???1231?r1?3r3?0122?~?3??001?r2?2r32??3232??120??010?001??-7??2?-1?3?2???r1-2r2?100?~?010?001??-3??2?-1?, (8分) 3?2???4?-?1-?2??3 (10分) 五、（10分） 证明：(1) 因为?1，所以?1，?，?n?r是对应齐次方程组的一个基础解系，?，?n?r线性无关；（2分） 假设??，?1，?，?n?r线性相关，则??一定可以用?1，?，?n?r线性表示，从而??也是齐次方程组的解，这与??是非齐次线性方程组Ax?b的一个解矛盾，矛盾说明??，?1，?，?n?r线性无关.（5分） (2)因为 A（?i???），所以 ?A?i?A???0?b?b，（i?1,2,?n?r）（7分） ??，?1???，?，?n?r???均为非齐次方程组Ax?b的解，下面证明它们是线性无关的. ci-c1（??，?1???，?，?n?r???）~ （??，?1，?，?n?r）（i?2,3,?n?r） 初等列变换不会改变矩阵的秩，所以=R（??，?1，=n-r+1， R（??，?1???，?，?n?r???）?，?n?r）得出??，?1???，?，?n?r???是非齐次方程组Ax?b的（n-r+1）个线性无关的解．（10分） 广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共4页，第2页

111?x1?x2?x3?3?六、（10分）对方程组?x1?x2?bx3?4， 11b?(a-1)(1-b)， ?x?ax?x?31a123?1 (1)当a?1且b?1时，由克拉默法则，方程组有唯一解； (3分) 13??1113?r?11????(2)当a?1且b?1时，?11b4? ~?00b?11?，方程组有无穷解， ?1113??0000??????3b?4??x1???1??b?1???????x?c1?0?2?????，(c为常数) (7分) ?x??0??1?????3???b?1??1113?r??(3)当b?1时,a任意, ?1114?~?1113???(10分) 七、（14分） 113??1??001?,出现矛盾方程，无解. ?0?0a-100???1?21??11?21?r?1????(1) 增广矩阵?1a11?~?0a?130? ?a11?2??004?2a?2?a?????因为线性方程组Ax??有解但不唯一，所以R（A）?R（A，?）?3，从而 4+2a=0,－2－a=0,推出a=－2. (4分) 1?2?1???1??(2) A??1?21?，A??E?1??211??2??1?2?2??1???(??3)(??3), 11??推出?1?0,?2??3,?3?3. (9分) ?1????1?0,.其对应的特征向量p1??1?, ?1????1????2??3,其对应的特征向量p2??-2?, ?1???广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共4页，第3页

?-1????3?3,其对应的特征向量p3??0?, (12分) ?1???p1,p2,p3线性无关，它们组成的矩阵Q可逆，且QAQ?1为对角阵 ?1?Q=?1?1??，QAQ?1?若进一步把Q化为正交矩阵也对，酌情给分. 01-21-1???1?0?????0?0?0??-30?. (14分) 03??0

广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共4页，第4页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2i08.html