高中数学常用公式法则小总结
更新时间:2023-10-25 08:02:01 阅读量: 综合文库 文档下载
袁轲教学资料(高中数学)
高中数学常用公式法则小总结
1. 元素与集合的关系
x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式
CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.
3.包含关系
A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA
?A?CUB???CUA?B?R
4.容斥原理
card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B)
card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC?card(A?B)
?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).
5.集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2n 个;真子集有2n–1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0); (2)顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0); (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0). 7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式 N?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0
?|f(x)??M?N2|?M?N2?f(x)?NM?f(x)?0
1f(x)?N?1M?N2.
8.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程axf(k1)?0且k1???bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)?0,或
b2a29.闭区间上的二次函数的最值
?k1?k2,或f(k2)?0且
k1?k22??b2a?k2.
b2a2 二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??处及区间的两端点处取得,具
体如下:
(1)当a>0时,若x??x??b2ab2a??p,q?,则f(x)min?f(?b2a),f(x)max?max?f(p),f(q)?;
??p,q?,f(x)max?maxb2a?f(p),f(q)?,f(x)min?min?f(p),f(q)?.
b2a??p,q?,则
(2)当a<0时,若x????p,q?,则f(x)min?min?f(p),f(q)?,若x??f(x)max?max?f(p),f(q)?,f(x)min?min?f(p),f(q)?.
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10.一元二次方程的实根分布
依据:若f(m)f(n)?0,则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根 . 设f(x)?x2?px?q,则
?p2?4q?0?(1)方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或?p;(2)方程f(x)?0在
?m???2?f(m)?0?f(n)?0??f(m)?0?f(n)?0?2区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)?0或?p?4q?0或?或?;
af(n)?0af(m)?0???p?m???n??2?p2?4q?0?(3)方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的充要条件为f(m)?0或?p .
???m?211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(??,??)的子区间L(形如??,??,???,??,??,???不同)上含参数的二次不等式
f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min?0(x?L).
(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)man?0(x?L).
?a?0?a?0?(3)f(x)?ax4?bx2?c?0恒成立的充要条件是?b?0或?2.
?b?4ac?0?c?0?12.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n?1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n?1)个 对所有x, 存在某x, p或q ?p且?q 成立 不成立 对任何x, 不成立
存在某x, p且q 成立 ?p或?q 2
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14.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题 若p则q 若q则p 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非p则非q 互逆 若非q则非p
15.充要条件
(1)充分条件:若p?q,则p是q充分条件.
(2)必要条件:若q?p,则p是q必要条件.
(3)充要条件:若p?q,且q?p,则p是q充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性
(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么 (x1?x2)?f(x)?1(x1?x2)?f(x)?1f(x0?)??2f(2x?)?0?f(x1)?f(x2)x1?x2f(x1)?f(x2)x1?x2?0?f(x)在?a,b?上是增函数; ?0?f(x)在?a,b?上是减函数.
(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导,如果f?(x)?0,则f(x)为增函数;如果f?(x)?0,则f(x)为减函数.
17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.
18.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
19.若函数y?f(x)是偶函数,则f(x?a)?f(?x?a);若函数y?f(x?a)是偶函数,则
f(x?a)?f(?x?a).
a?b220.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?a?b2;两
对称.
a21.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称; 若f(x)??f(x?a),则函数
2y?f(x)为周期为2a的周期函数.
nn?122.多项式函数P(x)?anx?an?1x???a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性
(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a? x). ?f(2a?x)?f(x)
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(2)函数y?f(x)的图象关于直线x??f(a?b?mx)?f(mx).
a?b2对称?f(a?mx)?f(b?mx)
24.两个函数图象的对称性
(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?a?b2m对称.
(3)函数y?f(x)和y?f?1(x)的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位,得到函数y?f(x?a)?b的图象;若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位,得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.
26.互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f?1(b)?a.
1k[f?127.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?y?[f?1(x)?b],并不是y?[f?1(kx?b),而函数
(kx?b)是y?1k[f(x)?b]的反函数.
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.
(2)指数函数f(x)?ax,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.
(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).
(4)幂函数f(x)?x?,f(xy)?f(x)f(y),f'(1)??.
(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx,f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y),
f(0)?1,limg(x)xx?0?1.
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
(1)f(x)?f(x?a),则f(x)的周期T=a; (2)f(x)?f(x?a)?0, 或f(x?a)?或f(x?a)??或
12?1f(x)1f(x)2(f(x)?0),
(f(x)?0),
f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a;
(3)f(x)?1?1f(x?a)(f(x)?0),则f(x)的周期T=3a;
(4)f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)1?f(x1)f(x2)且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a),则f(x)的周期T=4a;
(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)
?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a; (6)f(x?a)?f(x)?f(x?a),则f(x)的周期T=6a. 30.分数指数幂
m(1)an?1nam?(a?0,m,n?N,且n?1).
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(2)a?mn?1m(a?0,m,n?N?,且n?1).
an31.根式的性质
(1)(na)n?a.
(2)当n为奇数时,an?a; 当n为偶数时,a?|a|??32.有理指数幂的运算性质 (1) ar?as?ar?s(a?0,r,s?Q). (2) (ar)s?ars(a?0,r,s?Q).
(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q).
p
注: 若a>0,p是一个无理数,则a表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
bN?b?a?N(a?0,a?1,N?0). loga34.对数的换底公式
logaN?logmNlogmanmnnn?a,a?0??a,a?0.
(a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).
nmlogab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).
推论 logab?35.对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1)loga(MN)?logaM?logaN; (2) logaMNn?logaM?logaN; ?nlogaM(n?R).
(axm2(3)logaM36.设函数f(x)?log2?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为R,则a?0,且??0;
若f(x)的值域为R,则a?0,且??0.对于a?0的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广 若a?0,b?0,x?0,x?11a1,则函数y?logax(bx)
(1)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为增函数.
aa11bx(为减函数)和上y?log. )(,??), (2)当a?b时,在(0,axaa推论:设n?m?1,p?0,a?0,且a?1,则 (1)logm?p(n?p)?logmn. (2)logamlogan?loga2m?n2.
38. 平均增长率的问题
x如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有y?N(1?p). 39.数列的同项公式与前n项的和的关系
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n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an). an???sn?sn?1,n?240.等差数列的通项公式
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N);
*其前n项和公式为
sn??d2n(a1?an)2n?(a1?2?na1?d)n.
n(n?1)2d
1241.等比数列的通项公式
an?1n*an?a1q?1?q(n?N);
q其前n项的和公式为 ?a1(1?qn),q?1?sn??1?q
?na,q?1?1?a1?anq,q?1?或sn??1?q.
?na,q?1?142.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为 ?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d;
,q?1?q?1?其前n项和公式为
?nb?n(n?1)d,(q?1)?nsn??. d1?qd(b?)?n,(q?1)?1?qq?11?q?43.分期付款(按揭贷款)
每次还款x?ab(1?b)nn(1?b)?1元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).
44.常见三角不等式
?(1)若x?(0,),则sinx?x?tanx.
2(2) 若x?(0,?2(3) |sinx|?|cosx|?1.
),则1?sinx?cosx?2. 45.同角三角函数的基本关系式
sin?22sin??cos??1,tan?=,tan??cot??1.
cos?46.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
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n?2n??(?1)sin?, sin(??)??n?12?2?(?1)cos?,(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) n?2n??(?1)cos?, cos(??)??n?12?2sin?,?(?1)
47.和角与差角公式
sin?(???)s?inc?o?scos?(???)co?sc??ostan?(???)tan??1?ta?nta?n?cos; ?s?sin; ?s.
ta?n2222sin(???)sin(???)?sin??sin?(平方正弦公式); cos(???)cos(???)?cos??sin?. asin??bco?s=22??的象限决定,tana?bsin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)ba ).
48.二倍角公式
sin?2?s?incos?2?tan?2?c?o.
2co?s?2ta?n1?tan?22s?in?2c?o?s?2?1. 1?2sin2.
49. 三倍角公式
sin?3?cos?3?3s?i?n4co?s?34?s?in3?c?os3???4sin??sin(??). sin(33))???4cos??cos(??)cos(33.
tan?3?3ta?n?2ta?n31?3tan??ta?ntan?(?3?)ta?n?. (3?)50.三角函数的周期公式
函数y?sin?x∈R及函数y?cos?x∈R(A,ω,?为常数,且A≠0,ω>0)的周期T?(x??,)(x??,)函数y?tan(?x??),x?k??51.正弦定理
asinA22??;
?2,k?Z(A,ω,?为常数,且A≠0,ω>0)的周期T???.
?bsinB2?csinC?2R.
52.余弦定理
a?b?c?2bccosA; b?c?a?2cacosB; c?a?b?2abcosC.
222222253.面积定理 (1)S?(2)S?
1212aha?12bhb?1212chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高).
12casinB.
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absinC?bcsinA?袁轲教学资料(高中数学)
(3)S?OAB?12????????????????22(|OA|?|OB|)?(OA?OB). 54.三角形内角和定理
在△ABC中,有A?B?C???C???(A?B)
?C2??2?A?B2?2C?2??2(A?B).
55. 简单的三角方程的通解
sinx?a?x?k??(?1)karcsina(k?Z,|a|?1). cosx?a?x?2k??arccosa(k?Z,|a|?1).
tanx?a?x?k??arctana(k?Z,a?R).
特别地,有
sin??sin????k??(?1)?(k?Z).
k cos??cos????2k???(k?Z).
tan??tan????k???(k?Z).
56.最简单的三角不等式及其解集
sinx?a(|a|?1)?x?(2k??arcsina,2k????arcsina),k?Z.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k????arcsina,2k??arcsina),k?Z. cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??arccosa),k?Z.
cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??2??arccosa),k?Z. tanx?a(a?R)?x?(k??arctana,k??tanx?a(a?R)?x?(k???2),k?Z.
?2,k??arctana),k?Z.
57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么
(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)(?a)·b= ?(a·b)=?a·b= a·(?b); (3)(a+b)·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b?0,则a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0. 53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ. 61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 62.平面向量的坐标运算
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1?x2,y1?y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1?x2,y1?y2).
???????????? (3)设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).
(4)设a=(x,y),??R,则?a=(?x,?y).
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(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=(x1x2?y1y2). 63.两向量的夹角公式
x1x2?y1y2(a=(x1,y1),b=(x2,y2)). cos??2222x1?y1?x2?y264.平面两点间的距离公式 dA,B=|AB|??2????????????AB?AB 2(x2?x1)?(y2?y1)(A(x1,y1),B(x2,y2)).
65.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b?0,则 A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0. 66.线段的定比分公式
????????设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)是线段P1P2的分点,?是实数,且P1P??PP2,则
x1??x2?????????x??????OP1??OP2?1?? ?OP??1???y?y1??y2?1???????????????1?OP?tOP1?(1?t)OP2(t?).
1??67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是
G(x1?x2?x33,y1?y2?y33).
68.点的平移公式
''???????????????x?x?h?x?x?h''?OP?OP?PP . ???''???y?y?k?y?y?k????'注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),且PP的坐标为(h,k).
''''69.“按向量平移”的几个结论
(1)点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x?h,y?k).
(2) 函数y?f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为y?f(x?h)?k. (3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y?f(x),则C的函数解析式为y?f(x?h)?k.
(4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(x?h,y?k)?0. (5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y). 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为?ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则 (1)O为?ABC(2)O为?ABC(3)O为?ABC(4)O为?ABC????2????2????2的外心?OA?OB?OC.
?????????????的重心?OA?OB?OC?0.
????????????????????????的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.
?????????????的内心?aOA?bOB?cOC?0.
????????????的?A的旁心?aOA?bOB?cOC.
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'''''''(5)O为?ABC71.常用不等式:
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(1)a,b?R?a2?b2?2ab(当且仅当a=b时取“=”号). (2)a,b?R??a?b2?ab(当且仅当a=b时取“=”号).
(3)a3?b3?c3?3abc(a?0,b?0,c?0). (4)柯西不等式
(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?R.
22222(5)a?b?a?b?a?b. 72.极值定理
已知x,y都是正数,则有
(1)若积xy是定值p,则当x?y时和x?y有最小值2(2)若和x?y是定值s,则当x?y时积xy有最大值
142p;
s.
推广 已知x,y?R,则有(x?y)2?(x?y)2?2xy (1)若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大; 当|x?y|最小时,|x?y|最小.
(2)若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小; 当|x?y|最小时, |xy|最大.
73.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0),如果a与ax2?bx?c同号,则其解集在两根之外;如果a与ax2?bx?c异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2); x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).
74.含有绝对值的不等式 当a> 0时,有
x?a?x?a222??a?x?a.
x?a?x?a?x?a或x??a.
275.无理不等式
?f(x)?0?(1)f(x)?g(x)??g(x)?0 .
?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?(2)f(x)?g(x)??g(x)?0. 或??g(x)?0?f(x)?[g(x)]2??f(x)?0?(3)f(x)?g(x)??g(x)?0.
?f(x)?[g(x)]2?76.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);
loga?f(x)?0?f(x)?logag(x)??g(x)?0.
?f(x)?g(x)?10
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(2)当0?a?1时,
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);
?f(x)?0? logaf(x)?logag(x)??g(x)?0?f(x)?g(x)?77.斜率公式
y?y1(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)). k?2x2?x178.直线的五种方程
(1)点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k). (2)斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). (3)两点式 (4)截距式
y?y1y2?y1x?y?x?x1x2?x1(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).
ab(5)一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).
?1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b?0)
79.两条直线的平行和垂直
(1)若l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2 ①l1||l2?k1?k2,b1?b2; ②l1?l2?k1k2??1.
(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①l1||l2?A1A2?B1B2?C1C2;
②l1?l2?A1A2?B1B2?0; 80.夹角公式 (1)tan??|k2?k11?k2k1|.
(l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2,k1k2??1) (2)tan??|A1B2?A2B1A1A2?B1B2|.
(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0). 直线l1?l2时,直线l1与l2的夹角是81. l1到l2的角公式 (1)tan??k2?k11?k2k1?2.
.
(l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2,k1k2??1) (2)tan??A1B2?A2B1A1A2?B1B2.
(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0). 直线l1?l2时,直线l1到l2的角是
?2.
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82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为
(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(除l2),其中λ是待定的系数.
(3)平行直线系方程:直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程是Ax?By???0(??0),λ是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线Ax?By?C?0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx?Ay???0,λ是参变量.
83.点到直线的距离
d?|Ax0?By0?C|22A?B84. Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域
(点P(x0,y0),直线l:Ax?By?C?0).
设直线l:Ax?By?C?0,则Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域是:
若B?0,当B与Ax?By?C同号时,表示直线l的上方的区域;当B与Ax?By?C异号时,表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若B?0,当A与Ax?By?C同号时,表示直线l的右方的区域;当A与Ax?By?C异号时,表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85. (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区域
设曲线C:(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0(A1A2B1B2?0),则
(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区域是: (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面区域上下两部分; (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
(1)圆的标准方程 (x?a)2?(y?b)2?r2.
(2)圆的一般方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F>0).
?x?a?rcos?(3)圆的参数方程 ?.
y?b?rsin??(4)圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)). 87. 圆系方程
(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是
(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)]?0
?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0,其中ax?by?c?0是直线AB的方程,λ是待定的
系数.
22(2)过直线l:Ax?By?C?0与圆C:x?y?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程是
x?y?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0,λ是待定的系数.
2222(3) 过圆C1:x?y?D1x?E1y?F1?0与圆C2:x?y?D2x?E2y?F2?0的交点的圆系方程是222222x?y?D1x?E1y?F1??(x?y?D2x?E2y?F2)?0,λ是待定的系数.
88.点与圆的位置关系
点P(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种 若d?(a?x0)?(b?y0),则
22222d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在圆内.
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89.直线与圆的位置关系
直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种: d?r?相离???0; d?r?相切???0; d?r?相交???0.
Aa?Bb?C22其中d?.
A?B90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O1O2?d d?r1?r2?外离?4条公切线; d?r1?r2?外切?3条公切线;
r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线;
d?r1?r2?内切?1条公切线; 0?d?r1?r2?内含?无公切线.
91.圆的切线方程
(1)已知圆x2?y2?Dx?Ey?F?0.
①若已知切点(x0,y0)在圆上,则切线只有一条,其方程是 x0x?y0y?D(x0?x)2?E(y0?y)2?F?0.
?E(y0?y)2?F?0表示过两个切点的切点弦方程.
当(x0,y0)圆外时, x0x?y0y?D(x0?x)2②过圆外一点的切线方程可设为y?y0?k(x?x0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为y?kx?b,再利用相切条件求b,必有两条切线.
(2)已知圆x2?y2?r2.
2①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0x?y0y?r;
②斜率为k的圆的切线方程为y?kx?r1?k2. 92.椭圆93.椭圆
xaxa2222?ybyba2222?x?acos??1(a?b?0)的参数方程是?.
y?bsin????1(a?b?0)焦半径公式 ),PF2?e(22222c94.椭圆的的内外部
PF1?e(x?a2cybyb2222?x).
(1)点P(x0,y0)在椭圆(2)点P(x0,y0)在椭圆95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆
xa22xaxa???1(a?b?0)的内部??1(a?b?0)的外部?x0aax02222??y0bby0222?1. ?1.
2?yb22?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是
x0xa2?y0yb2?1.
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(2)过椭圆
x0xa2xa22?yb22?1(a?b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
?y0yb2?1.
(3)椭圆
xa22?xa22yb?a2222222?1(a?b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.
96.双曲线
yb222?1(a?0,b?0)的焦半径公式
a2)|,PF2?|e(?x)|. cc97.双曲线的内外部 PF1?|e(x?(1)点P(x0,y0)在双曲线(2)点P(x0,y0)在双曲线
xa22xax222?yby222?1(a?0,b?0)的内部?x0ax0222?y0by0222?1.
?2?1(a?0,b?0)的外部?2?2?1. 2abab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线方程为?bayb22?1?渐近线方程:
xa?ybxa22?yb22?0?y??xa22bax.
(2)若渐近线方程为y?? (3)若双曲线与
xa22x??0?双曲线可设为?yb22??.
?yb22?1有公共渐近线,可设为
xa22?yb22??(??0,焦点在x轴上,??0,焦点在
y轴上).
99. 双曲线的切线方程
(1)双曲线
xa22?xayb2222?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是yb22x0xa2?y0yb2?1.
(2)过双曲线
x0xa2??1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是
?y0yb2?1.
(3)双曲线
xa22?2yb22?1(a?0,b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.
22222100. 抛物线y?2px的焦半径公式
2抛物线y?2px(p?0)焦半径CF?x0?p2.
过焦点弦长CD?x1?2p2?x2?p2?x1?x2?p.
101.抛物线y?2px上的动点可设为P(102.二次函数y?ax?bx?c?a(x?(?b,4ac?b22y?22p2,y?)或P(2pt,2pt)或 P(x?,y?),其中 y??2px?.
22b2a,)?4ac?b4a22(1)顶点坐标为(a?0)的图象是抛物线:
4ac?b?14a22a4a103.抛物线的内外部
);(2)焦点的坐标为(?b2a4ac?b?14a);(3)准线方程是y?.
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(1)点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的内部?y2?2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的外部?y2?2px(p?0). (2)点P(x0,y0)在抛物线y2??2px(p?0)的内部?y2??2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y2??2px(p?0)的外部?y2??2px(p?0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的外部?x2?2py(p?0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x2??2py(p?0)的外部?x2??2py(p?0). 104. 抛物线的切线方程
(1)抛物线y2?2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y?p(x?x0).
(2)过抛物线y2?2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y?p(x?x0). (3)抛物线y2?2px(p?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是pB2?2AC.
105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线f1(x,y)?0,f2(x,y)?0的交点的曲线系方程是
f1(x,y)??f2(x,y)?0(?为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
x22a?k?y22b?k?1,其中k?max{a,b}.当k?min{a,b}时,表示椭
2222圆; 当min{a2,b2}?k?max{a2,b2}时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB?AB?222(x1?x2)?(y1?y2)或
222(1?k)(x2?x1)?|x1?x2|1?tan??|y1?y2|1?cot?(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),由
方程??y?kx?b?F(x,y)?0 消去y得到ax2?bx?c?0,??0,?为直线AB的倾斜角,k为直线的斜率).
107.圆锥曲线的两类对称问题
(1)曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0?y)?0. (2)曲线F(x,y)?0关于直线Ax?By?C?0成轴对称的曲线是
F(x?2A(Ax?By?C)A?B22,y?2B(Ax?By?C)A?B222)?0.
108.“四线”一方程
对于一般的二次曲线Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0,用x0x代x,用y0y代y,用用
x0?x2222x0y?xy02代xy,
代x,用
y0?y2代y即得方程
x0?x2?E?y0?y2?F?0,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是
Ax0x?B?x0y?xy02?Cy0y?D?此方程得到.
109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点;
(2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行.
110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点;
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