大学物理（交大3版）答案（16-20章）

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习题16

16-1. 直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为? 的介质中，已知：I?I0sin?t，其中I0、?是大于零的常量.求：与其共面的N匝矩形回路中的感应电动势. 解：B??I 2?x ???d?ad?Ild?a?I?ldx?ln 2?x2?d

???NN?I0?ld?ad???lnco?st dt2?d16-2. 如图所示，长直导线中通有电流I?5.0A，在与其相距

d?0.5cm处放有一矩形线圈，共1000匝，设线圈长l?4.0cm，宽a?2.0cm。不计线圈自感，若线圈以速度v?3.0cm/s沿垂直于长导线的方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？ 解：εab?NB2lv εdc?NB1lv ε?εdc?εab ?NB1lv?NB2lv??0IN1?0IalvN1(?)lv??1.92?10?4 2?dd?a2?d(d?a)16-3. 电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为

?120，几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v平行于长

直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。

解：连接AO、OB，圆弧形导线与AO、OB形成闭合回 路，闭合回路的电动势为0，所以圆弧形导线电动势与 AOB直导线的电动势相等。 εAO?v?B?dl????2RRμ0IvμIvdx??0ln2 2πx2πεOB??v?B?dl???εAB?εAO?εOB??5R22Rμ0IvμIv5dx??0ln 2πx2π4μ0Iv5ln 2π2

16-4. 电阻为R的闭合线圈折成半径分别为a和2a的两个圆，如图所示，

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将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按B?B0sin?t的规律变化。已知

a?10cm，B0?2?10?2T，??50rad/s，R?10?，求线圈中感应电流的最大值。

1d?1dB3?a2B0?cos?t22????[??a??(2a)]?? I? RRdtRdtR?3?a2B0?3??0.12?2?10?2?50??9.42?10?3A Imax?R10

dB?0的磁场，一直dt导线弯成等腰梯形的闭合回路ABCDA，总电阻为R，上底为a，下底为2a，求：（1）AD段、BC段和闭合回路中的感应电动势；（2）B、C两

16-5. 如图所示，半径为a的长直螺线管中，有点间的电势差UB?UC。

解：

?E?dl??dΦ dt E1??rdB? r?a 2dta2dB? E2?? r?a 2rdtεAD??E1?dl??Ecosθdl

??a2a?22a)2a?(rdB2dl

2dtr ?32dB?a 4dtπa2dB??E2?dl?

6dt同理 εBC整个闭合回路的电动势 ε?εBC?εADπa23a2dB?(?) 逆时针方向

64dtUB?UC??(??310)a2dB dt

16-6. 圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R，高为h，电阻率为?，如图所示。若匀强磁场以

dB?k(k?0,k为恒量)的规律变dt 259

化，求圆柱体内涡电流的热功率.

解：在圆柱体内任取一个半径为r，厚度为dr，高为h的小圆柱通壁

dΦdB?πr2 dtdt2πr 电阻 R?ρ

hdr ε?ε2hdB dP? ??rdrRρdtπhdB23πhk2R4 P?? ()?rdr?02ρdt8ρR

16-7. 将金属薄片弯成如图所示回路，两端为半径为a的圆柱面，中间是边长为l，间

隔为d的两正方形平面，且l??a，a??d.（1）试求该回路的自感系数；（2）若沿圆柱面的轴向加变化磁场

B?B0?kt，试求回路中的电流I(t).（回路中的电阻很小，

可忽略不计）

解：（1） B?μ0nI?μ0I l1B21B222??al??ld W?wV?2?2?02?0 ??0I2l?a2??0I2d

1212LI 22?0?a2 L???0d

ldIdΦ?（2）ε?L dΦ?S?dB dtdtS2?a2?ldlkt I??kdt? kt??L2?0?a2?0??0dl根据 W?

216-8. 一螺绕环，每厘米绕40匝，铁心截面积3.0cm，磁导率

（1）??200?0，绕组中通有电流5.0mA，环上绕有二匝次级线圈，求：两绕组间的互感系数；（2）若初级绕组中的电流在0.10s内由5.0A降低到0，

次级绕组中的互感电动势。

解：（1）B?μnI Φ?NBS?NμnIS

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Φ?NμnS?2?200?4π?10?7?40?102?3?10?4?6.03?10?4H IdI5?0?6.03?10?4??3.02?10?2V （2）ε?Mdt0.116-9. 如图，半径分别为b和a的两圆形线圈（b>>a），在t?0时共面放置，大圆形线圈通有稳恒电流I，小圆形线圈以角速度?绕竖直轴转动，若小圆形线圈的电阻为R，

M?求：（1）当小线圈转过90时，小线圈所受的磁力矩的大小；（2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。 解：B??μ0I2 任一时间穿过小线圈的磁通量 Φ?Bπacosωt 2bε1dΦBωπa2??sinωt 小线圈的感应电流 i?RRdtRπBωπ2a42 当 ωt?时 pm?iπa?

2R22Iωπ2a4B2ωπ2a4μ0? M?Bpm? 2R4RbB2ωπa2 W??iπaBdθ?R2?π2022Iωπ3a4B2ωπ2a4μ0sinθdθ???

R16Rb2216-10. 一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为R1和R2，导体圆柱的磁导率为?1，筒与圆柱之间充以磁导率为?2的磁介质。电流I可由中心圆柱流出，由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数。 解： B1?μ1Ir r?R1 22πR1μ2I R1?r?R2 2πrB2?B12B22B2Wm??dV??dV??dV

2?2?12?2??11?R1?1Ir2?()?2?rdr??2??02?1?2?R?1??2?2?R2R1(?2I2?)?2?rdr? 2?r??1I2?2I2R2??ln 16?4?R1Wm?LI2/2

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单位长度自感 L??1?2R2?ln 8?2?R116-11. 一电感为2.0H，电阻为10Ω的线圈突然接到电动势??100V，内阻不计的电源上，在接通0.1s时，求：（1）磁场总储存能量的增加率；（2）线圈中产生焦耳热的速率；（3）电池组放出能量的速率。

?tε解：（1）I(t)?(1?eL)?3.9A

RR W(t)?12LI 2RRR?t?t?tdW(t)dIε2LL ?LI??εIe?(1?e)eL?238Js

dtdtR （2）P?I2R?3.92?10?152Js

（3）电池组放出能量的速率 P?Iε?390Js 16-12. 在一对巨大的圆形极板（电容C?1.0?105?12F）上，加上频率为50Hz，峰值

为1.74?10V的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。 解：ID?CdU??ωCUmsinωt ω?2πf dt?5?1.754?10?5.4 6A102 IDm??CUm?2?fCU?2??5?01.?0?11?0m

思考题

16-1. 图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面积

?为A，匝数为N，电阻为R，其法向n与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时，冲击电流计测得感应电量为q，试求小线圈所在位置的磁感应强度。

1ΔΦNBAεdt?? ?R?RRRq B?

NA解：q?Idt?

16-2. 图中abcda电路有电阻R，其中bc段的一部分绕成圆形，圆形区域有一与回路平面垂直的均匀磁场B，在圆形导线的一边施加恒力F，由于a端固定，假定该圆开始的半径为r0，并维持以圆形的方式收缩，设导线非常柔软，忽略导线的质量，问需要多长的时间圆形部分完全闭合？

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2πB23r0 答：t?3RF

16-3. 在磁感应强度为B的均匀磁场内，有一面积为S的矩形线框，线框回路的电阻为R（忽略自感），线框绕其对称轴以匀角速度?旋转（如图所示）。

（1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大？

（2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少？

答：Φ?BScosφ?BScosωt

ε1?BSωsinωt RR12 pm?IS?BSωsinωt

R1222 M?Bpmsinωt?BSωsinωt

R2π11B2S2ωsin2θdθ?B2S2ωπ W??Mdθ??0RR I?16-4. 一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过

程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流，则它的方向怎样? 答：Id?CdU， dt

16-5. 图a为一量值随时间减小，方向垂直纸面向内的变化电场，均匀分布在圆柱形区域内.试在图b中画出： （1）位移电流的大致分布和方向； （2）磁场的大致分布和方向。 答： 略

16-6. 试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式： （1）电力线起始于正电荷终止于负电荷； （2）磁力线无头无尾； （3）变化的电场伴有磁场； （4）变化的磁场伴有电场。 解：（1） （2）

?D?dS??qSi

?B?dS?0

S 263

（3）H?dl?S???Ic???D?dS S?t （4）E?dl??S?D?S?t?dS

习题17

817-1. 已知电磁波在空气中的波速为3.0?10m/s，试计算下列各种频率的电磁波在空气中的波长：（1）上海人民广播电台使用的一种频率??990kHz；（2）我国第一颗人造地球卫星播放东方红乐曲使用的无线电波的频率??20.009MHz；（3）上海电视台八频道使用的图像载波频率??184.25MHz.

解：λ?c ν3?108?303m （1）λ?3990?103?108（2）???14.99m

20.009?1063?108?1.63m （3）λ?6184.25?1017-2. 一电台辐射电磁波，若电磁波的能流均匀分布在以电台为球心的球面上，功率为

105W。求离电台10km处电磁波的坡因廷矢量和电场分量的幅值。

解：S?P105??7.96?10?5Jm2?s 224?r4??10000S??2 12 Eε0E?μ0H E2?E0?2所以 Em?(2S??012 )?2.4?5?21V0m?017-3. 真空中沿x正方向传播的平面余弦波，其磁场分量的波长为?，幅值为H0.在t?0时刻的波形如图所示.（1）写出磁场分量的波动表达式；（2）写出电场分量的波动表达式，并在图中画出t?0时刻的电场分量波形；（3）计算t?0时，x?0处的坡因廷矢量.

(t?解：（1）设 H?H0cosω t?0 、x?0时 H??2πx?φ) λH0 2φ?? cos12π φ?? 23 264

根据波形曲线可以判断出 φ?2π 3Hz?H0cos(?t?2??x?2?2?2??)?H0cos?(ct?x)?

??3?3??（2）E?μ02π??2πH?μ0cH?μ0cH0cos?(ct?x)?? ε03??λ（3） t?0 、x?0时 H?H0μcH0 E?0 222μ0cH0 S?EH? 方向沿x轴正向

417-4. 氦氖激光器发出的圆柱形激光束，功率为10mW，光束截面直径为2mm.求该激光的最大电场强度和磁感应强度.

解：S?P10?10?3??3.18?103Wm2 2?6?r3.14?10 Em?(2S??012 )?1.52?931V0m?0 Hm?ε0?6 Em Bm??0Hm??0?0Hm?4.30?10Tμ0 思考题

17-1. 试述电磁波的性质.

（1）电磁波是横波 , ; （2）E和H 同相位 ;

（3）E和 H 数值成比例εE?（4）电磁波传播速度u?μH；

, 真空中波速u?1εμ1ε0μ0等于光速 。

17-2. 图a为一LC电路，C为圆形平行板电容器，L为长直螺线管，图b及图c分别表示电容器放电时平行板电容器的电场分布和螺线管内的磁场分布。 （1）在图b内画出电容器内部的磁场分布和坡因廷矢量分布。 （2）在图c内画出螺线管内部的电场分布和坡因廷矢量分布。

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答：略

17-3. 如图所示，同轴电缆内外半径分别为a和b，用来作为电源?和电阻R的传输线，电缆本身的电阻忽略不计。

（1）求电缆中任一点（a?r?b）处的坡因廷矢量S。 （2）求通过电缆横截面的能流，该结果说明什么物理图象？

解：在导 E?0，在两圆桶之间

Ubrlna 方向沿径向

H?1 方向沿圆周的切向 2πr S?EH?UIb2πr2lna 沿电缆轴线方向

表明电源向负载提供的能量是通过坡因廷矢量传递的

习题18

18-1．杨氏双缝的间距为0.2mm，距离屏幕为1m，求：（1）若第一到第四明纹距离为

7.5mm，求入射光波长。（2）若入射光的波长为6000A，求相邻两明纹的间距。

解：（1）根据条纹间距的公式：?x??k??D?1???3??0.0075m ?4d2?10所以波长为：??5000A

D?1?6000?10?10?x???3mm （2）若入射光的波长为6000A，相邻两明纹的间距：

d2?10?4?18-2．图示为用双缝干涉来测定空气折射率n的装置。实验前，在长度为l的两个相同密封玻璃管内都充以一大气压的空气。现将上管中的空气逐渐抽去，（1）则光屏上的干涉条纹将向什么方向移动；（2）当上管中空气完全抽到真空，发现屏上波长为?的干涉条纹移过N条。计算空气的折射率.

解：（1）当上面的空气被抽去，它的光程减小，所以它将通过增加路程来弥补，所以条纹向下移动。

（2）当上管中空气完全抽到真空，发现屏上波长为?的干涉条纹移过N条。

）?N? 可列出：l（n?1 266

解得： n?

N??1 l18-3．在图示的光路中，S为光源，透镜L1、L2的焦距都为f, 求（1）图中光线SaF与光线SOF的光程差为多少？。

（2）若光线SbF路径中有长为l, 折射率为n的玻璃, 那么该光线与SOF的光程差为多少？。

解：（1）图中光线SaF与光线SOF的几何路程相同，介质相同，所以SaF与光线SoF光程差为0。

（2）若光线SbF路径中有长为l, 折射率为n的玻璃, 那么光程差为几何路程差与

）介质折射率差的乘积，即 l（n?1

18-4．在玻璃板（折射率为1.50）上有一层油膜（折射率为1.30）。已知对于波长为500nm和700nm的垂直入射光都发生反射相消，而这两波长之间没有别的波长光反射相消，求此油膜的厚度。

解：油膜上、下两表面反射光的光程差为2 ne，由反射相消条件有 2ne=(2k+1)λ/2=(k+1/2)λ (k=0，1，2，…) ①

?时，有 2ne=(k1+1/2)λ1=k1λ1+2500 ② 当λ1=5000A?时，有 2ne=(k2+1/2)λ2=k2λ2+3500 ③ 当λ2=7000A因λ2＞λ1，所以k2＜k1;又因为λ1与λ2之间不存在λ3满足 2ne=(k3+1/2)λ3式

即不存在 k2＜k3＜k1的情形，所以k2、k1应为连续整数，即 k2=k1-1 ④ 由②、③、④式可得：

k1=(k2λ2+1000)/λ1=(7k2+1)/5=[7(k1-1)+1]/5 得 k1=3 k2=k1-1=2

? 可由②式求得油膜的厚度为 e=(k1λ1+2500)/(2n)=6731 A

18-5．一块厚1.2μm的折射率为1.50的透明膜片。设以波长介于400~700nm的可见光．垂直入射，求反射光中哪些波长的光最强?

解：由反射干涉相长公式有 2ne+λ/2=kλ (k=1,2,…)

? 得 λ=4ne/(2k-1)=(4×1.5×12000)/(2k-1)= 72000/(2k-1) Ak=6, λ=6550A ；k=7, λ=5540A ； k=8, λ=4800A ；k=9, λ=4240A ；

????

277

2?（ne?nO）d???（2k?1）?

?（ne?nO）d?k?

那么这样的劈尖的相邻干涉条纹的间距： ?d??（ne?nO）??12.6mm

思考题

20-1．用偏振片怎样来区分自然光、部分偏振光和线偏振光？

答:将光通过偏振片，光强无变化的为自然光；光强有变化但不会出现完全消光的为部分偏振光；光强有变化且在某个方向为零的为线偏振光。

20-2．如图所示，玻璃片堆A的折射率为n，二分之一波片C的光轴与y轴夹角为30，偏振片P的偏振化方向沿y轴方向，自然光沿水平方向入射。

（1）欲使反射光为完全偏振光，玻璃片堆A的倾角?应为多少？在图中画出反射光的偏振态；

（2）若将部分偏振光看作自然光与线偏振光两部分的叠加，则经过C后线偏振光的振动面有何变化？说明理由； （3）若透射光中自然光的光强为I，偏振光的光强为3I，计算透过P后的光强。

答：（1）根据马吕斯定律：??arctann，?? （2）椭圆偏振光

（3）可用相干叠加公式计算。（略）

20-3．在图示的装置中，P1、P2为两个正交的偏振片，C为四分之一波片，其光轴与P1的偏振化方向间夹角为60，强度为I的单色自然光垂直入射于P1。 （1）试述①、②、③各区光的偏振态； （2）计算①、②、③各区的光强。

00?2??。

答：（1）①区：为线偏振光；②区为椭圆偏振光；③区为椭圆偏振光。 （2）①区光强：

1I0 2②区的光强：O光的光强：IO?13I0sin2??I0 2811e光的光强：Ie?I0cos2??I0

28 278

12313sin?cos2??I0 Ie?sin2?cos2??I0 2322323I0 两者发生干涉现象，并且干涉加强：I?IO?Ie?16③区的光强：IO?

20-4．如图所示的偏振光干涉装置中，C是劈尖角很小的双折射晶片，折射率ne?n0，

0P1、P2的偏振化方向相互正交，与光轴方向皆成45角。若以波长为?的单色自然光垂直

照射，试讨论：

（1）通过晶片C不同厚度处出射光的偏振态；

（2）经过偏振片P2的出射光干涉相长及相消位置与劈尖厚度d之间的关系，并求干涉相长的光强与入射光光强之比；

（3）若转动P2到与P1平行时，干涉条纹如何变化？为什么？

答：（1）通过晶片C不同厚度处出射光的偏振态为圆偏振光。

（2）这是一个劈尖干涉的情况，所以列式：

?2?（ne?nO）d???（2k?1）? （暗条纹） ?干涉相长时的光强：I?IO?Ie?2?（ne?nO）d???2k? （明条纹）

1211sin?cos2??sin2?cos2??I0 224干涉相长的光强与入射光光强之比为： 1：4

（3）若转动P2到与P1平行时，相位差中的π就没有了，所以干涉条纹中明暗条纹互换位置。

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