质点动力学-非物理类试题（附解析）-中国科技大学-02

第二章 牛顿运动定律

2—1质量m=10k的物体，放在 水平地面上，静摩擦系数??O．40，今要 拉动或推动这物体(图2—1(a))。(1)求 出所需要的最小的力；该力是拉力还是推 力?它的方向如何?(2)如果该物体放 在倾斜面上，静摩擦系数?也为O．40，设 斜面的倾角为?，而tana=0．10，现仍要 拉动或推动该物体，求所需最小的力的大 小和方向。

解(1)在水平地面上，物体受力情 况如图2—1(b)所示。设物体的加速度 为a，则Fcos??ma， (1) Fsin??N?mg?0， (2) 刚好可以运动时，a?0，摩擦力为最大静 摩擦力 fmax??N

?3?，

拉动或推动物体时所需的最小力满足条件 Fcos??fmax?0由(1)，(2)，(3)式代入(4)式得 F??4?

?mg?sin??cos??5?

若?角为负角，相应的F力则为推力，由(5)式可以看出所需的推力值

比拉力大(?角的绝对值相等)。要求得拉力(?≥O)F的最小值，可令

?sin??cos?取得最大值。由

得到 tan???d??sin??cos???0， d?

??arctan??21.80于是 Fmin?36.4N 所以，拉动物体所需的最小拉力为36．4N，方向与水平成角21.80。

(2)在斜面上往上拉物体的情况 设外力F与斜面夹角仍为?，物 体受力情况如图2—1(c)所示。取坐 标轴如图，则

Fcos??f?mgsin??maFsin??N?mgcos??0

刚好可以往上运动时，fmax??N 拉动物体时所需的最小力满足条件 Fcos??fmax?mgsin??0

或

F?mgsin???mgcos?cos???sin?0

同上，当??arctan??21.8时，F达到最小值，即 Fmin?45.3N

(3)在斜面上往下拉物体的情况 设外力F与斜面的夹角为?，物 体受力情况如图2—1(d)所示，取坐 标系如图，则

Fcos??mgsin??maFsin??N?mgcos??0

刚好可以往下运动时， fmax??N 当Fcos??mgsin??f?0时

F

0?mgsin???mgcos?cos???sin?同上，F的最小值对应??arctan??21.8，而F?27.0N

但由上式可知，当?mgcos??mgsin?≤O，即当 ??arctan?时，

即使不施拉力F，物体也将自行下滑。

2—2．如图(a)所示，设m1?500g,m2?200g,m3?300g，滑轮和绳子的质量可略去不计，试问m1是否有加速度?如果有加速度，向m1以多大加速度、什么方向运动?(滑轮轴承处都是光滑的，绳子不会伸长)．

解：(1)以地面为参照系．

m1一定有加速度，因为m2和m3相对动滑轮有加速运动，所以吊系动滑轮

m1和m2 m3不可能静止平衡．绳子上的张力 不等于m2和m3重力之和，如图

(b)所示，设仇，以加速度a1向下运动，m2m3的加速度分别为a2和a3，列出运动方程为

m1g?T1?m1a1， ① T2?m2g?m2a2， ② m3g?T2?m3a3， ③ T1?2T2． ④ 各物体的加速度间有如下关系：

?对1?a1，a3＝a3?对1?a1 a2?a2 化为标量式：

a2?a??a1 ⑤ ?a3??a??a1． ⑥ 解①～⑥式，得 a1???????m1m2?m1m3?4m2m31g?g?0.2m?s?2

m1m2?m1m3?4m2m349?? a1为正，说明m1向下运动的假设正确．

(2)以动滑轮为非惯性参照系，对m3和m2作受力图(图(b))，这里的力除了真实力以外 还要画出惯性力．设a?为m2和m3相对于动滑轮的加速度的大小，按图列出运动方程：

m1g?T1?m1a1， ①

m3g?T2?m3a1?m3a?， ② T2?m2g?m2a1?m2a?， ③ T1?2T2

解之，亦得 a1?m1m2?m1m3?4m2m31g?g?0.2m?s?2

m1m2?m1m3?4m2m349??

2—3．如上图(a)所示，质量为M，半径为R的四分之一圆弧形滑槽原来静止于光滑水

平地面上，质量为m的小物体由静止开始沿滑槽从槽顶滑到槽底．求这段时间内滑槽移动的距离l．

解：选地面为参照系，坐标轴如图所示，小物体滑下这段时间内，小物体和滑槽组成的体系水平方向不受外力作用，该方向动量 守恒，以v?和V分别表示小物体滑下过程中任一时刻小物体相对于滑槽的速率和滑槽对地面的速率，则有

m?v?sin??V??MV?0， ①

式中v?sin?是小物体相对于槽的水平方向速度分量，v?sin??V是其相对地面速

度的水平分量，小物体从槽顶滑到下端的时间内，相对于滑槽移动的水平距离为

滑槽对地移动距离为

将①式对时间积分，并利用②、③两式可得 l??v?sin?dt?R ②

0t?Vdt?l ③

0tmR

M?m 解法二：用质心概念和质心运动定律求解· 选地面坐标系如图(b)

所示，小物体滑下过程中，小球和滑槽 体系水平方向不受外力，质点系质心加速度的水平分量为零，又 因开始时体系静止，质心位置的水平分量xc始终不变．

设刚开始滑动时小物体和滑槽质心的x坐标分别为x10和x20，小物体滑到槽底时两坐标分别为x1和x2，那么，质点系质心的x坐标为 xc?mx10?Mx20mx1?Mx2 ?M?mM?m设槽的质心向左移动的距离为l

l?x20?x2． 小物体向右移动的水平距离为

x1?x10?R?l

?

l?mR

m?M

2-4 离心机常用来分离不同密度的各种物质，如油脂、生物制品和各种同

位素(图2—17(a))。设离心机的转速n?100r/s，求距离转轴的距离r=lOcm处的颗粒在使用离心机时与未使用时沉降加速度之比值。

解 在未使用离心机时，试管处于铅直方向，液体中的颗粒受到重力G和浮力F，的作用 (图2—17(b))，忽略颗粒运动时所受的液体阻力。此时颗粒运动的加速度为口。，根 据牛顿运动定律得

mg?F1?ma1

如颗粒的体积为V，密度为?，而液体的密度为??，则 ?Vg???Vg??Va1,

a1?????g ?使离心机旋转时，试管处于水平位置。这时液体中的颗

粒受到周围液体对它的作用力F2(图2—1’(c))，此力的大小可 以通过颗粒所在处、形状与大小雨颗粒完全相同的液滴所受的向 心力来计算。因为此液滴与其他部分的液体一起作匀速圆周运动 而不会向试管底部运动，即周围液体对该液滴的作用力，等于液滴 作匀速圆周运动所需的向心力，因而

2 F2???Vr?

如取离心机为参考系，则颗粒还受到惯性离心力F?作用，其 大小为

22 F??mr???Vr?

在非惯性系中，颗粒的运动方程F??F2?ma2 或 ?Vr????Vr??Va2，

22????2r? 即 a2??

a2r?2?因而 a1ga0.1??2??100?4028 以数值代入得 2?a19.82

这就大大加快了沉淀或分离速度。现代超离心机可使此值高达10，在小范围内甚至可 达108，从而使原子量仅相差1％的同位素的分离成为可能。

2—5 潮汐主要是海水受月亮(和太阳)的引力造成的，同时又在作公 转的地球这一非惯性系中受惯性力作用的结果。试推导地一月系统中引潮力的关 系式。

解 忽略地球自转对海水的粘滞力。以地球中心为原点，取地球和月球的 质心连线为x轴，y轴与之垂直，如图2—32(a)所示。P是某一块质量为△m的海水， 这块海水受月球的吸引力

6??mM月??mM月?? F引＝Gr0?Gr? 23r?r?

因为任何质点在地心参考系内所受的惯性力，等于把它放在地心处时所受引力的 负值，所以

??mM月??mM月?r0??Gr F惯??Gr2r3

引潮力即为F引与F惯的合力，即

???r??r? F潮＝F引?F惯??G?mM月?3?3?

r??r??????r??r?R?r2?R2?2rRcos? 由图可以看出 r??r?R??????r?Rr故 F潮＝G?mM???，

?r2?R2?2rRcos?32r3?????现在考虑地球上A，B，C，D四点海水受力情况(图2—32(b))。在A点，海水受 月球的引力F引和惯性力F惯的方向相反，由于A点离月球比地球中心离月球近(相差

???一个地球半径的距离)，所以F引>F惯，A点的引潮力F潮指向月球。

．。．．．．．．???c点的情况正与A点相反，F引

??B点的海水所受的引力与惯性力大小几乎相等(F引略小于F惯)，但方向略有差异，故?引潮力F潮方向指向地球中心，但其大小比A点和C点小。

? D点的情况与B点相仿，引潮力F潮方向也是指向地球中心。

下面作定量计算。因

?? r?Rx?r?Rcos?,

??R??1－cos??G?mM月?2G?mM月r?F潮?x＝2??1??Rcos?33r2R2???2RR? 故 ??1－cos?????rr2?????G?mM月RG?mM月?F潮?y??2?sin???3Rsin?rrr 在?＝0和?处(即离月球最近和最远处)，引潮力是背离地心的，在这些地方形成海水的高峰；在?＝一昼夜之间有两个高峰和两个低谷扫过每个地方，形成两次高潮和两次低潮。昼涨称潮，夜涨称汐。

上面的讨论没有涉及太阳的引力作用。但是上面导出的引潮力公式也适用于太阳，

只是把其中的M月和r月分别代之以太阳的质量M日和日地距离r日。此公式表明引潮力与质量成正比，与距离的立方成反比,因此

?F?

?F?潮潮可见月球的引潮力是太阳的2倍多。事实上，潮汐是日、月引潮力线性叠加的结果，而合成的结果又与日、月的相对方位有关。在朔日和望日，太阳和地球几乎在同一直线上，两引潮力彼此相加，形成每月的两次大潮。

????r??R?y??Rsin?

?3?2、处，引潮力指向地心，形成海水的低谷。随着地球的自转，

2M月?r日?月??＝2。＝18 ?r?M日?月?日3

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