2011年高数（上）期末试题

2011-2012学年秋季学期期末

一、 填空题（每题4分） 1.

x?2a?若lim????8，则_______.?3ln2 x???x?a?3sinx?x2cosx1x?____.3 2.limx?0(1?cosx)ln(1?x)23.设函数y?y(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y?y(x)在(1,1)处的切线方程为________.x?y

2?(n?1)?2??sin)?______.

nnn?15.y??y?e?x的通解是____.y?Cex?e?x

2(sin4.limn??1n?sin?二、选择题（每题4分）

1.设函数f(x)在(a,b)内连续且可导，并有f(a)?f(b)，则（D） A．一定存在??(a,b)，使f?(?)?0. B.一定不存在??(a,b)，使f?(?)?0. C.存在唯一??(a,b)，使f?(?)?0. D.A、B、C均不对. 2.

设

函

数

y?f(x)二阶可导，且

f?(x)?0,f??(x)?0,?y?f(x??x)?f(x),dy?f?(x)?x,，当?x?0,时，有（A）

A.?y?dy?0,B.?y?dy?0,C.dy??y?0,D.dy??y?0. 3.??2(|x|?x)e|x|dx?(C)A.0,B.2,C.2e2?2,D.

26 2e4.f(x)?x(x?1)(x?3)与x轴所围图形的面积是（B）

A.?0f(x)dxB.?0f(x)dx??1f(x)dxC.??0f(x)dxD.??0f(x)dx??1f(x)dx

3133135.函数y?x3?Cx，（其中C为任意常数）是微分方程y???x的（C） A． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解 二、 计算题（每题8分）

32161.求数列极限limn??nsinn!. 0 2.求极限x?01?nlim?2x0etsintdtx22.2

三、计算题（每题9分）

1.?xf(x)dx?arcsinx?C（其中C为任意常数），求?-13（1?x2）?C 311x2ln22?1?xf(x)dxf(x)dx，求. 2??004??1?x1dx. f(x)2.设函数f(x)连续，且f(x)?四、10分

设二阶常系数线性微分方程y???ay??by?cex的一个解为

y?e2x?ex?xex，求常数a,b,c的值.a??3,b?2,c?-1

五、证明题（8分）

设函数f(x)在[a,b]上可导，且f(a)?f(b)?0，并存在一点c?(a,b)，使得f(c)?0，证明至少存在一点??(a,b)，使得f?(?)?0.

证明：函数f(x)在[c,b]上应用拉格朗日中值定理，则存在??(c,b) 使得f?(?)?f(b)?f(c)?f(c)??0.

b?cb?c六、应用题（8分）

设有长为l，质量为M的均匀直细棒AB，在AB的延长线上与其近端点相距r处有一质量为m的质点，求细棒对质点的引力.

F??GMmGMm dx??l(r?x)2r(r?l)0

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