光学2-衍射

第二章 光的衍射 （Diffraction of light）

§1 衍射现象、惠更斯─菲涅耳原理 一. 光的衍射 1. 装置

衍射屏

观察屏

S? *a 衍射屏

L?

a S ? 衍射 条纹

观察屏 L 衍射 条纹

*

1

一般地说，上面装置中波长λ～10-3a或更大时，就能用肉眼观察到明显的衍射条纹。透过手指缝看灯，也能看到衍射条纹。 2. 定义：光在传播过程中能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象叫光的衍射。 3. 分类：

(1)菲涅耳衍射（Fresnel diffraction） ──光源和观察屏（或二者之一）离衍射屏的距离有限时的衍射。它也称近场衍射，其衍射图形会随观察屏到衍射屏的距离而变，情况较复杂。

(2)夫琅禾费衍射(Fraunhofer diffraction)──光源和观察屏都离衍射屏无限远时的衍射。它也称远场衍射，这种衍射实际上是菲涅耳衍射的极限情形。

2

我们仅讨论夫琅禾费衍射

二. 惠更斯─菲涅耳原理

（Huygens─Fresnel principle）

惠更斯─菲涅耳原理：波传到的任何一点都是子波的波源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。

3

更斯─菲涅耳原理的数学表达式

n dS ·

设初相为零 Q S(波前 ) ? r dE(p)

·

p

a(Q)K(?)dE(P)?dS

r

a(Q)取决于波前上Q点处的强度

????0，K?Kmax ????K(?)??K(?)方向因子 ?? ???，K?0?2

a(Q)?K(?)2? rdE(P)?dS?cos(?t?)

r?

a(Q)?K(?)2? rE(P)???S?cos(?t?)?dS

r?

4

令 E?P??E0?P??co??st???P?? P处波的强度 IP?E20(P)

1882年以后，基尔霍夫（Kirchhoff）解电磁波的波动方程，也得到了E(p) 的表示式，这使得惠更斯─菲涅耳原理有了波动理论的根据。E(p) 的计算相当复杂，下节将介绍菲涅耳提出的一种简便的分析方法─波带法，它在处理一些有对称性的问题时，既方便，物理图象又清晰。

§2 单缝的夫琅禾费衍射、半波带法 一. 装置 缝平面

B ? 透镜L 观察屏 透镜L? S a * f ?

p· ? 0 A δ f 5

S：单色光源 ， 光线正入射

?：衍射角 , 缝宽 AB?a

(演示实验：单缝衍射) （演示CAI：夫琅禾费单缝衍射) 二. 半波带法

A→P和B→P 的光程差：

??asi?n

▲??0，??0 ─中央明纹(中心)

??时，可将缝分为两个“半

?????；

▲当asin?波带”： λ B 半波带 a 半波带

θ 1 2 1′ 2′ 1 2 1′ 2′ 半波带 半波带

A ? ? 226

光线1与1＇在P点的相位差为?， 光线2与2＇在P点的相位差亦为?,? 所以两个“半波带”上发的光在P处干涉相消形成暗纹；

3???时， ▲当asin可将缝分成三个“半

2波带”，其中两个相邻的半波带发的光在P处干涉相消，剩一个“半波带”发的光在P处不被抵消，P处基本上是明纹中心；

λ a

▲当 a sin?B θ a λ B θ A ? 2A ? 2?2?时，可将缝分成四个“半波带”，它们发的光在P处两两相消，形成暗纹。

7

??

一般情况：

a sin???k?，k?1,2,3? ─暗纹

?a sin???(2k? ?1)， k? ?1,2,3?─明纹(中心)

2a sin??0 ─中央明纹(中心)

? 暗纹和中央明纹（中心）位置是准确的，．

其余明纹中心的位置较上稍有偏离。因为当

?增加而由偶数向奇数半波带过渡时，每个．．

波带的面积在缩小，所以正好为奇数半波带．．．．．．．．．．．．．．．．．．．时，P处的强度不一定最大。 ．．．．．．．．．．．．．

?越大，缝被分的半波带数越多，半波带?

面积越小，明纹的光强也越小。

? 半波带法虽然简便，但只能给出衍射光强分布的定性结果。下面将介绍的振幅矢量法，则可得到单缝衍射强度的定量结果。

8

三. 振幅矢量法、单缝衍射的光强公式

缝平面 缝宽a B 透镜 x 观测屏 p ? C ? 0 f A a sin?/N

将波阵面AB（宽为a）分成N（很大）个等宽的波带。每个波带发的子波在P点振幅都近似相等, 设为?E0，相邻两波带发的子波到P点的相位差??为

a?sin?2?????N?

∵N很大 ∴??<<1

P点的光振动：N个波带发的子波在P点的矢量合成。N个同方向、同频率、同振幅、初相依次差一个恒量△?的简谐振动的

9

合成，合成的结果仍为简谐振动。 对于O点: ? = 0 ， ?? = 0 ， ?E0

E0?N?E0?? E 2I0?E00

对于其他点P： EP < E0

当N ? ?时，矢量图 的N个相接的折线

? E 0 将变为一个圆弧。 ? ?

屏上不同的P点

△Φ E P 对应的? 不同，?? 亦不同，圆弧卷曲情 E 0 况也不同，但圆弧长 △Φ 均为E0 。

R

EP 10

Δ??NΔ??asin??2?

E0?RΔ?，

Δ? EP?2Rsin2E0E0Δ?Δ?sin?sin ， ?2Δ?2Δ?22Δ??asin?sin?令??, 有EP?E0, ?2??22又 I?EP ，I0?E0，

由此可给出P点的光强为：

2?sin??I?I0?? ???其中 I0为中央明纹中心处的光强。 (1)主极大（中央明纹中心）位置

sin? ??0处，??0??1?I?I0?Imax，

?所有子波的振幅矢量同相叠加(???0)。 (2)极小（暗纹）位置

11

当???k?，k?1,2,3?时，sin??0?I?0， 此时由??? asin???k? ，得asin???k? ，

?这与半波带法结果一致。

也可以这样分析：此时所有子波的振幅矢量应构成闭合的多边形。若转k圈闭合，则N????2k??asin???k?。 (3) 次极大位置

dI?0?tg??? d?作图解方程

y y1 = tg? · · -2? -? y2 = ?

o ? 2? ? · · -2.46π -1.43π 12

+1.43π +2.46π ? = ?1.43?, ?2.46?, ?3.47?, … a sin? = ?1.43?, ?2.46?, ?3.47?, …

半波带法的近似结果与此十分接近! (4)光强分布

?sin?? I?I0?? ???I / I0

1

相对光强曲线

0.047 0.047 0.017 0.017

?/a 2(?/a) -2(?/a) -(?/a) 0

I次极大 << I主极大

13

2sin?

四. 条纹宽度

衍射屏

λ

观测屏 透镜 x2 ?? x1 Δx ?1 0 ?x0 I ??0 f 角宽度: 一个完整条纹两侧对透镜光心的张角。 1. 中央明纹

a???时，sin?1??1， 中央明纹角宽度： ??0?2?1?2中央明纹线宽度：

?x0?2f?tg?1?2f?1?2f?a ?a??a

── 衍射反比定律 2.其他明纹(次极大)

14

在sin???时，其余明纹线宽度：

f?1??x0 ?x?a2其他明纹的宽度是中央明纹宽度的一半，这

是单缝衍射明纹宽度的特征。

3.波长对条纹宽度的影响 由于?x??，所以波长越长，条纹宽度越宽。当白光入射时，除中央明纹中心外，其余各级明纹将形成彩带，且不同级亮纹间有重叠。

4.缝宽变化对条纹的影响

1? 由?x??x?f 知：缝宽越小，条纹

2a宽度越宽。 当

?a屏幕是一片亮。

??时，光强曲线变为水平直线，

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当

I 0

sin?

?a?0 时，?x?0，各级明纹向中

央靠拢，密集得无法分辨，只显出单一的明条纹，这就是单缝的几何光学像。此时光线遵从直线传播规律。

几何光学是波动光学在 ? /a?0 时的极限

五.干涉和衍射的联系与区别

本质上，干涉和衍射都是波的相干叠加。只是干涉指的是有限多个分立光束的相干叠加，衍射指的是无限多个子波的相干叠加，而二者又常常同时出现在同一现象中。

六.应用举例

已知：一雷达位于路边d =15m处，射束

16

与公路成15 角，天线宽度a = 0.20m，射束波长?=30mm。

求：在该雷达监视范围内公路长L = ?

d L ? a θ1 15 0β 解：

“将雷达波束看成是单缝衍射的0级明纹”

a?sin?1?? ?30mmsin?1???0.15

a0.20m ?1?8.63° ??15°??1?23.63° ??15°??1?6.37°

? L?d(ct?g?ctg?)

?15(ctg6.37°?ctg23.63°)

?100m

17

§3 光栅衍射(grating diffraction) 一. 衍射对双缝干涉的影响

?3? ?? ??

d2d2dI I0 0

?2d

?d

3? 2dsin?不考虑衍射时双缝干涉的光强分布

透镜 θ a 衍射光相干叠加 λ d θ θ I

f 不考虑干涉，每个缝的衍射图样位置相重叠

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I 0级 4I0 d?2a -1级 1级 单缝衍射光强 缺-2级 缺2级 I0 -3级 3级 ?2?3????3?2? ? ? ? ?

adad0

dadasin?实际的强度分布

衍射的影响：两束衍射光相干叠加，双缝干涉条纹各级主极大的强度不再相等，而是受到了衍射的调制。不过主极大的位置仍由双缝缝间距d决定，而没有变化。 分析：

① d/a的大小决定了衍射中央明纹范围内干涉条纹的多少。当d??a、且a很小时，衍射中央明纹范围宽，其间干涉条纹数

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多，相邻明纹强度最大值变化不大，这就过渡到了不考虑衍射时的双缝干涉情形。 ②出现了明纹缺级现象

干涉明纹位置：dsin???k?，k?0,1,2,? 衍射暗纹位置：asin?? ??k? ?，k? ?1,2,3,?

dk 当 ? 时 ???? ，出现缺级。

ak? d干涉明纹缺级级次： k?k? a例如d?2a时，缺±2，±4，±6?级。

干涉明纹中心强度称为干涉“主极大”。在双缝干涉的主极大两侧附近，光强变化较缓慢，因而主极大的位置很难测准。为使光强更集中在主极大处，可考虑多缝干涉，这就涉及到了光栅。

二.光栅（grating）

1.光栅—大量等宽等间距的平行狭缝（或

20

反射面）构成的光学元件。广义上说，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光栅。 2.种类：可分透射、反射两大类

透射光栅

反射光栅 d

d 只讨论透射光栅。 3. 光栅常数

透光（或反光）部分的宽度用a表示 不透光（或不反光）部分的宽度用b表示

光栅常数 d?a?b

普通光栅刻线为数十条─ 数千条/mm 用电子束刻制可达数万条/mm，(d?10μ m) 光栅是现代科技中常用的重要光学元件

21

?1三. 光栅衍射

1. 多光束干涉(multiple-beam interference) 多光束干涉：多个等光强的光束的干涉，即先不考虑衍射对每个光束的影响，来看多束光的相干叠加。

实验装置：

缝平面G 透镜L ? 观察屏 ? d P ?

f

o

d sin? 光栅常数: d , 单色光正入射

明纹（主极大）条件

dsin???k?

k = 0 ，1 ，2 ，3 ? 上式称作正入射时的“光栅方程”。

22

设有N个缝、每个缝发的光在对应衍射角?方向的P点的光振动的振幅为EP。则P点为主极大时，各相邻光相位差????2k?。

EP

NEP IP?NE22P

暗纹条件：各振幅矢量构成闭合多边形 N????2k? ?k? ?1,2,…,?Nk 注意到

d?sin?????2?

?得暗纹条件：

??

?? EP???k? d?sin??? k? ?1,2,…,?Nk

N注意主极大条件:

dsin???k? k = 0 ，1 ，2 ，3 ? 主极大间距显然: 暗纹间距 =

N

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所以相邻主极大间有N-1个暗纹。而在两相邻暗纹间还应有一个次极大，故相邻主极大间有N-2个次极大。

如N = 4，在零级和一级亮纹之间， k? 可取 1、2、3， 有三个极小，分别在

1?2?3???? , ? , ? 处 sin4d4d4d ?k??1? ,? k??2? ,? k??3? 对应的相位差为：

3π??? , ? , ，

24?相应的矢量图为：

2 4

4 1 3 1 ?? ??

?? ? 3? /2 ?? ?? /2

4

24

3 1 2 光强曲线 I I0 N = 4 -2(?/d)

-(?/d) 0 -(?/4d) ?/4d

?/d 2?/d sin?

由光栅方程知，在d和?一定时，主极大的角位置就确定了，与N的大小无关。但N大时强度向主极大集中，使条纹亮而窄，便于观测。这正是多光束干涉较双缝干涉之优越处。

2.光栅衍射 (grating diffraction)

与双缝情形类似，对于光栅（多缝），考虑到衍射影响，条纹应有以下特点： (1)各主极大受到单缝衍射的调制，衍射光强大的方向主极大的光强也大； (2) d/a为整数比时，会出现缺级；

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d 下图为N = 4，= 4的单缝衍射和光栅衍射的

a光强分布曲线，这里主极大缺±4,±8?级。

I单 I0单 -2 光栅衍射 光强曲线 -1 I 0 N2I0单 1 N = 4 d = 4a 单缝衍射 轮廓线 2 sin? (? /a) -8 -4

0

4

sin? 8

(? /d )

(3) d、a对条纹的影响

▲a

不变?单缝衍射的轮廓线不变；

d减小?主极大间距变稀，单缝衍射中央亮

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纹范围内的主极大个数减少，缺级的级次变低。

▲d不变?各主极大位置不变；

a减小?单缝衍射的轮廓线变宽，单缝衍射中央明纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。极端情形: 当a ? 0时单缝衍射的轮廓线变为水平直线，第一暗纹在??处，各主极大光强相同

多缝衍射图样 ? 多光束干涉图样

3. 光栅夫琅禾费衍射的光强公式 ? 考虑单缝衍射:光栅的每个单缝在P点（衍射角?）引起的光振动振幅近似相等，均为：

EP?E0单sin?? asin? , ?????d?sin?。 N个同方向、

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? 考虑多缝干涉: 光栅相邻缝在P的光振动的相位差为???

2??同频率、振幅均为EP、相位依次差??的光振动的合成。设合振幅为AP

NΔ?AP?2Rsin 2 Δ? Ep?2Rsin2sinNAP?EP?sino· ?? R N?? ??2AP ??2∴sin?sinN??E0单???sin? EP ?? 式中 ????d???sin?2?

2?sin??P点总光强： IP?I0单?????

2?sinN????? ?sin??2 I0单 ──单缝中央主极大光强

sin?? ──单缝衍射因子 ???????sinN??──多光束干涉因子 ???sin??2

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N?4,d?4a 的各种光强分布

I单 I0单 单缝衍射光强曲线 -2 -1 sin2N?/sin2? 0 1 2 sin? (?/a) N2 多光束干涉光强曲线 -8 -4 0

4

N2I0单 单缝衍射 轮廓线 I 8 sin?

(?/d)

光栅衍射光强曲线 -8 -4

0

4

8

sin? (?/d)

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四. 斜入射的光栅方程、*相控阵雷达 1.光线斜入射时的光栅方程

光栅 L 观察屏 d sin i i ? f P o λ

d sin? 相邻两缝的入射光束在斜入射时已有光程差，衍射后又有光程差，总光程差为：

??d(sin??sini) 斜入射的光栅方程: d(sin??sini)??k?

光栅 （+） 衍射光 入射光 i和?的符号规定： 由光前进的方向顺

i < 0 ? > 0 n (法线)

（-）

时针转到光栅法线方向(向前)为正。

30

光线斜入射可以获得更高级次的条纹（高级次条纹分辨率高）。

由斜入射的光栅方程知：k确定时，调节

i，则?相应改变。

例如,令k?0 ，则 d?sin??d?sini， 相邻入射光的相位差 ???d?sini?? sin?????

2? d??2??d?sin???2?

上式表明：改变相邻入射光的相位差Δ?，或波长?，可改变0级衍射光的方向，此结论正是“相控阵雷达”扫描的基本原理。

2.相控阵雷达

31

一维阵列的相控阵雷达 d 移

?

相 微波源 器

辐射单元

(1)扫描方式

靶目标 ? n ▲相位控制扫描：用电子学方法周期性地连续改变相邻辐射单元的相位差??，则0级主极大的衍射角? 也连续变化，实现扫描。 ▲频率控制扫描：固定相邻辐射单元的相位差??，连续改变入射波长?来改变主极大的衍射角? ，从而实现扫描。 (2)回波接收

靶目标反射的回波也可通过同样的天线阵列接收。改变??就能接收来自不同方位的波

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束。然后用计算机处理，提供靶目标的多种信息──目大标小、速度、方位?

实际的相控阵雷达是由多个辐射单元组成的平面阵列，以扩展扫描范围和提高雷 达束强度。

投影片 相控阵雷达阵列照片

(3)相控阵雷达的优点

▲无机械惯性，可高速扫描，一次全程扫描仅需几微秒。

▲由计算机控制可形成多种波束，同时搜索、跟踪多个目标。

▲不转动、天线孔径可做得很大，从而有效地提高辐射功率、作用距离、分辨率?

我国和世界上的许多大国都拥有相控阵雷达，它除军事应用（如“爱国者”导弹的雷达）

33

外，还可民用，如地形测绘、气象监测、导航、测速（反射波的多普勒频移）?

§4 光学仪器的分辨本领 一. 透镜的分辨本领

透镜有一定孔径，光通过它要发生衍射。 1. 圆孔的夫琅禾费衍射

观察屏 衍射屏 透镜L

? ?1 中央亮斑 (爱里斑)

f 圆孔孔径为 D

D?sin?1?1.22?

（演示CAI：夫琅禾费圆孔衍射）

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I / I0 1 相对光强曲线 0 1.22(?/D) sin? 爱里斑 中央亮斑─爱里斑（Airy disk）集中了约84%的衍射光能。 D?

爱里斑变小

??

2. 透镜的分辩本领

光的衍射限制了透镜的分辨能力。

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几何光学: （经透镜） 物点 ? 象点 物(物点集合) ? 象(象点集合)

波动光学: （经透镜） 物点 ? 象斑 物(物点集合) ? 象(象斑集合) 距离近的象斑有可能重叠，从而分辨不清。

刚可分辨

不可分辨 非相干叠加 瑞利判据(Rayleigh criterion):对于两个等光强的非相干物点，如果其一个象斑的中心恰

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好落在另一象斑的边缘（第一暗纹处），则此两物点被认为是刚刚可以分辨。

S1 D * * ?? 0 I S2 ????1时，刚刚能分辨S1和S2

最小分辨角(angle of minimum resolution)： ??? ?1 ?1.22?D 分辨本领 (resolving power)：

D? R? ??1.22?D?? ? ?R?

???1 ▲望远镜：?不可选择，但 D??R? ▲显微镜：D不会很大，但 ???R?

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电子?：0.1A ?1 A ，电子显微镜分辨本

领很高，可观察物质结构。

▲ 人眼对?o o

的光, ???1? ，在约 ?5500A

o

9m远处可分辨相距约2mm的两个点。

▲ 夜间观看汽车灯，远看是一个亮点，逐渐

移近才看出是两个灯。

（演示CAI：光学仪器的分辨本领）

二.光栅光谱，光栅的色散本领、分辨本领

1.光栅光谱

光栅是分光元件，光栅光谱有多级，且是正比光谱 （i和 ?不大时， ????）。

-3级 (白) 3级 -2级 -1级 0级 1级 2级

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白光(400?760nm)的光栅光谱(连续) 2.光栅的色散本领

色散本领:把不同波长的光在谱线上分开的 能力。

设: 波长?的谱线, 衍射角?，位置x； 波长?+??的谱线,衍射角?+??, 位置x??x。

? ? 角色散本领 D??

? ?? x 线色散本领 Dl?

? ?

Dl?f?D? ，f─光栅后的透镜焦距，

由光栅方程 sin??sini?k ，

d?s????k 两边微分有：co???d ,

kk于是得到 D?? ，D??

d?co?sd

39

k?fk?f Dl? ，Dl?

d?cos?dD?和Dl均与光栅的总缝数N 无关。

减小d可增大色散本领，对于级次k更高的光谱，色散本领还可进一步增大。为了增大线色散本领，还可增大透镜焦距f（常可达数米）。

若在?不大处观察光栅光谱，co?s几乎不随?而变，所以D?和Dl差不多是个常数。此时的光谱称匀排光谱（棱镜光谱为非匀排光谱）。根据拍好的匀排光谱谱片来测量未知波长时，可采用线性内插法。 3.光栅的色分辨本领

色散本领只反映谱线主极大中心的分离程度，但不能说明谱线是否重叠，因为谱线本身是有宽度的，为此引入色分辨本领。

40

设入射波长为?和????时，二者的谱线刚刚能分辨, 定义：

光栅分辨本领(resolving power of grating )： R?????Nk ???R?? ?N???k

按瑞利判据，?和????的第k级谱线刚刚能分辨时，?的第k级主极大，应与????的第k级谱线的内边缘重合。如图：

λ的k级主极大 k?sin??dλ+δλ的k级主极大

sin?对应k??Nk?1的??????的暗纹, sin??k??????? NdkNk?1?(????) 由图：???dNd

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??Nk?1?Nk，(k?0) 得： R???(N >>1)

例如对Na双线：

?1?5890A，?2??????5896A ?5890R???982?Nk

??6若 k?2 则 N?491 ?? 都可分辨开Na双线

若 k?3 则 N?327?

§5 X射线的衍射( diffraction of X-rays ) 一. X射线的产生

1895年伦琴（R?ntgen，1845-1923，德国人，1901年获诺贝尔物理奖）发现了高速电子撞击固体可产生一种能使胶片感光、空气电离、荧光质发光?的中性射线 ─ X射线。

X射线的?： 10?1oo

~10A

2o

-

射线管 X K A 42 +

X射线

K─ 阴极，A─ 阳极(钼、钨、铜等金属)， A─ K间加几万伏高压，以加速阴极发射 的热电子。

劳厄（Laue）实验（1912）

准直缝 X射线 晶体 · · · · 劳厄斑 晶体相当于三维光栅，衍射图样（劳厄斑）证实了X射线的波动性。

二. X射线在晶体上的衍射

43

1 晶面 d ? ? ? ? ? d? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? d?? A ? B dsin? C ? ? ? ? ?：掠射角 d：晶面间距（晶格常数）

对NaCl d = 2.8A

1. 衍射中心: X射线照射晶体时，每个（表层、内层的）原子都是散射子波的子波源（相当于一维光栅的“缝”）。

2. 点间散射光的干涉：同一层晶面上各原子散射的光相干涉，反射光的方向即散射光

44

o

干涉后零级主极大的方向（相邻两束光的光程差为零）。

? ? ? ? ? ? ? ?

3. 面间散射光的干涉：不同晶面沿反射方向的散射光还要干涉，相邻晶面散射光1和2的光程差：

??AC?CB?2d?sin?

散射光干涉加强条件（乌利夫─布喇格公式）：

2d?sin??k?

k = 1，2 ，3 ?

三. 应用

(1)已知?、?可测d —X射线晶体结构 分析

(2)已知?、d可测? —X射线光谱分析

45

四. 实际观察X射线衍射的作法

同时限定?和?要满足布喇格公式较困难，实际观察X射线衍射的作法如下： 1. 劳厄法：使用?连续的X射线照射晶体，得到所有晶面族反射的主极大。每个主极大对应一个亮斑（劳厄斑）。此法可定晶轴方向。

? ?

? ? ? ?

?

劳厄相 德拜相

2. 粉末法：用确定?的X射线入射到多晶 粉末上。大量无规的晶面取向，总可使布喇格条件满足。这样得到的衍射图叫德拜 (Dedye)相。此法可定晶格常数。

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★X射线衍射与普通光栅衍射的区别： 1. 晶体内有许多晶面族，入射方向和?一定时，对第i个晶面族有： 2di?sin?i?ki?，i?1,2,3? ∴X射线衍射有一系列的布喇格条件。 而一维光栅只有一个干涉加强条件─光栅方程。

2. 晶体在di、?i、?都确定时，不一定能满足2di?sin?i?ki? 的关系。而一维光栅在

?和入射方向确定后，总能有衍射角满足光

栅方程 d(sin??sini)??k? 。

第二章结束

（本章编者：崔砚生）

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