2015中考数学压轴题汇编及答案

2015年中考数学压轴题汇编（1）

一．解答题（共30小题） 1．（2016?贵阳模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

2．（2015?枣庄）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

2

3．（2015?酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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4．（2015?阜新）如图，抛物线y=﹣x+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

2

5．（2015?济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B． （1）求抛物线的解析式；

（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．

6．（2015?荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；

（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；

（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

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7．（2015?盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F． （1）求抛物线解析式；

（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长； （3）在（2）的条件下：

①连接DF，求tan∠FDE的值；

②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2

8．（2015?益阳）已知抛物线E1：y=x经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．

（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；

（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．

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9．（2015?徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．

（1）∠OBA= °． （2）求抛物线的函数表达式．

（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？

10．（2015?乌鲁木齐）抛物线y=x﹣x+2与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）． ①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，

+

的值最小，求出这个最小值

2

并写出此时点E，P的坐标；

②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

2

11．（2015?佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标； （2）小球的落点是A，求点A的坐标；

（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积； （4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

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12．（2015?天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣x+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限． （1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．

（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

2

13．（2015?常德）如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：y1=

（x﹣2x﹣3）（x≤3）曲线y2与曲线y1

2

关于直线x=3对称．

（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；

（2）过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；

（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

14．（2015?自贡）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

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4．（2015?阜新）如图，抛物线y=﹣x+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值． 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；

2

（2）设P点坐标为（x，﹣x﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标

2

为（x，x+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．

2

【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x+bx+c，得：

2

，解得．

2

故该抛物线的解析式为：y=﹣x﹣2x+3． （2）由（1）知，该抛物线的解析式

2

为y=﹣x﹣2x+3，则易得B（1，0）． ∵S△AOP=4S△BOC，

∴×3×|﹣x﹣2x+3|=4××1×3．

整理，得（x+1）=0或x+2x﹣7=0， 解得x=﹣1或x=﹣1±2． 则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得

，解得

．即直线AC的解析式为y=x+3．

2

2

2

2

，﹣4）；

设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x﹣2x+3）， QD=（﹣x﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x﹣3x=﹣（x+）+， ∴当x=﹣时，QD有最大值．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．

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2

2

2

5．（2015?济宁）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B． （1）求抛物线的解析式；

（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离． 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的长，结合垂径定理求出OC的长，从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；

（2）求出点D的坐标为（﹣，0），根据△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判断出直线l与⊙E相切与A．

（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．设M（m，m+4），P（m，﹣

m+m﹣4），得到PM=m+4﹣（﹣

2

m+m﹣4）=

2

m﹣m+8=

2

（m﹣2）+

2

，根据△PQM

的三个内角固定不变，得到PQ最小=PM最小?sin∠QMP=PM最小?sin∠AEO=【解答】解：（1）如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA===4， ∵OC⊥AB，∴由垂径定理得，OB=OA=4， OC=OE+CE=3+5=8， ∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），

2

∵抛物线的定点为C，∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣8）， 将点B的坐标代入上解析的式，得64a=﹣4，故a=﹣∴y=﹣∴y=﹣

（x﹣8），

x+x﹣4为所求抛物线的解析式，

，

2

2

×=，从而得到最小距离．

，

（2）在直线l的解析式y=x+4中，令y=0，得x+4=0，解得x=﹣∴点D的坐标为（﹣

，0），当x=0时，y=4，

∴点A在直线l上，在Rt△AOE和Rt△DOA中， ∵

=，

=，∴

=

，

∵∠AOE=∠DOA=90°，

∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO=∠DAO， ∵∠AEO+∠EAO=90°，

∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直线l与⊙E相切与A．

（3）如图2，过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M． 设M（m，m+4），P（m，﹣当m=2时，PM取得最小值

m+m﹣4），则PM=m+4﹣（﹣，此时，P（2，﹣），

2

m+m﹣4）=

2

m﹣m+8=

2

（m﹣2）+

2

，

对于△PQM，∵PM⊥x轴，∴∠QMP=∠DAO=∠AEO， 又∠PQM=90°，∴△PQM的三个内角固定不变，

∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变， ∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值， PQ最小=PM最小?sin∠QMP=PM最小?sin∠AEO=

×=

，

．

∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，﹣）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为

【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及勾股定理、待定系数法求二次函数解析式、切线的判定和性质、二次函数的最值等知识，在解答（3）时要注意点P、点M坐标的设法，以便利用二次函数的最值求解．

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6．（2015?荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；

（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；

（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；

（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标． 【解答】解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4， ∴在Rt△COE中，OE===3，

设AD=m，则DE=BD=4﹣m，∵OE=3，∴AE=5﹣3=2，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD+AE=DE，即m+2=（4﹣m），解得m=， ∴D（﹣，﹣5），∵C（﹣4，0），O（0，0）， ∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4）， ∴﹣5=﹣a（﹣+4），解得a=， ∴抛物线解析式为y=x（x+4）=x+

22

2

2

2

2

2

x；

（2）∵CP=2t，∴BP=5﹣2t，在Rt△DBP和Rt△DEQ中，

，∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），∴BP=EQ，∴5﹣2t=t，

∴t=；

（3）∵抛物线的对称为直线x=﹣2，∴设N（﹣2，n）， 又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），设M（m，y）， ①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时， 则线段EN的中点横坐标为∵EN，CM互相平分，∴∴y=×2+

2

=﹣1，线段CM中点横坐标为=﹣1，解得m=2，又M点在抛物线上，

，

×2=16，∴M（2，16）；

②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时， 则线段EM的中点横坐标为

，线段CN中点横坐标为

=﹣3，

2

∵EN，CM互相平分，∴=﹣3，解得m=﹣6，又∵M点在抛物线上，∴y=×（﹣6）+∴M（﹣6，16）；

③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时， 则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣

）．

）．

×（﹣6）=16，

综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣

【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四

边形的性质等知识点．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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7．（2015?盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F． （1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长； （3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；

②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的长；（3）①先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF=∠EDF，由

2

于tan∠ECF===，即可求得tan∠FDE=；②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，

过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直线CE的解析式为y=﹣x+3，即可设出直线DG1的解析式为y=﹣x+m，直线DG2的解析式为y=2x+n，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．

2

【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y=ax+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点， ∴

，解得

．∴抛物线解析式为y=﹣x+

2

x+3；

（2）如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），∴F的纵坐标为3， 把y=3代入y=﹣x+

2

x+3得，3=﹣x+

2

x+3；

解得x=0或x=4，∴F（4，3），∴OH=4，

∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠EDH=90°，∴∠OCD=∠EDH， 在△OCD和△HDE中，

，∴△OCD≌△HDE（AAS），∴DH=OC=3，

∴OD=4﹣3=1；

（3）①如图3，连接CE，∵△OCD≌△HDE， ∴HE=OD=1，∵BF=OC=3，∴EF=3﹣1=2，

∵∠CDE=∠CFE=90°，∴C、D、E、F四点共圆， ∴∠ECF=∠EDF，在RT△CEF中，∵CF=OH=4， ∴tan∠ECF=

==，∴tan∠FDE=；

②如图4，连接CE，∵CD=DE，∠CDE=90°，

∴∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE， 交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45° ∵EH=1，OH=4，∴E（4，1），∵C（0，3）， ∴直线CE的解析式为y=﹣x+3，设直线DG1的解析式为y=﹣x+m， ∵D（1，0），∴0=﹣×1+m，解得m=，∴直线DG1的解析式为y=﹣x+， 当x=4时，y=﹣

+=﹣，∴G1（4，﹣）；

设直线DG2的解析式为y=2x+n，∵D（1，0），∴0=2×1+n，解得n=﹣2， ∴直线DG2的解析式为y=2x﹣2， 当x=4时，y=2×4﹣2=6， ∴G2（4，6）；

综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°，点G的坐标为（4，﹣）或（4，6）．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题的关键．

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8．（2015?益阳）已知抛物线E1：y=x经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．

（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；

（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．

【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）直接将（2，2）代入函数解析式进而求出a的值；

（2）由题意可得，在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得△QBB′为直角三角形，由图象可知直角顶点只能为点B或点Q，分别利用当点B为直角顶点时以及当点Q为直角顶点时求出Q点坐标即可；

2

（3）首先设P（c，c）、P′（d，

2

），进而得出c与d的关系，再表示出△PAA′与△P′BB′的面积进而得出答

案．

【解答】解：（1）∵抛物线E1经过点A（1，m），

22

∴m=1=1．∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为y=ax（a≠0），

2

又∵点B（2，2）在抛物线E2上，∴2=a×2，

解得：a=，∴抛物线E2所对应的二次函数表达式为y=x．

（2）如图1，假设在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得△QBB′为直角三角形， 由图象可知直角顶点只能为点B或点Q．

①当点B为直角顶点时，过B作QB⊥BB′交抛物线E1于Q，

2

则点Q与B的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x得y=4， ∴点Q的坐标为（2，4）．

222

②当点Q为直角顶点时，则有QB′+QB=B′B，过点Q作GQ⊥BB′于G，

2

设点Q的坐标为（t，t）（t＞0），

222222

则有（t+2）+（t﹣2）+（2﹣t）+（t﹣2）=4，

42

整理得：t﹣3t=0，

2

∵t＞0，∴t﹣3=0，解得t1=，t2=﹣（舍去）， ∴点Q的坐标为（，3），

综合①②，存在符合条件的点Q坐标为（2，4）与（，3）；

（3）如图2，过点P作PC⊥x轴，垂足为点C，PC交直线AA′于点E， 过点P′作P′D⊥x轴，垂足为点D，P′D交直线BB′于点F， 依题意可设P（c，c）、P′（d，

2

2

） （c＞0，c≠q），

∵tan∠POC=tan∠P′OD，∴∵AA′=2，BB′=4， ∴

=

=

=，∴d=2c．

==．

【点评】此题主要考查了二次函数综合以及直角三角形的性质和三角形面积求法，根据题意利用分类讨论得出是解题关键．

第15页（共27页）

14．（2015?自贡）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；

（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；

222222

（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC=18，PB=（﹣1+3）+t=4+t，PC=（﹣1）222

+（t﹣3）=t﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．

2

【解答】解：（1）依题意得：

2

，解之得：，

∴抛物线解析式为y=﹣x﹣2x+3

∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0）， ∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n， 得

，解之得：

，

∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；

（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小． 把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2， ∴M（﹣1，2），

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；

（3）设P（﹣1，t）， 又∵B（﹣3，0），C（0，3），

222222222

∴BC=18，PB=（﹣1+3）+t=4+t，PC=（﹣1）+（t﹣3）=t﹣6t+10，

222

①若点B为直角顶点，则BC+PB=PC 22

即：18+4+t=t﹣6t+10解之得：t=﹣2；

222

②若点C为直角顶点，则BC+PC=PB 22

即：18+t﹣6t+10=4+t解之得：t=4，

222

③若点P为直角顶点，则PB+PC=BC

即：4+t+t﹣6t+10=18解之得：t1=

22

，t2=

；

） 或（﹣1，

）．

综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，

【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．

第21页（共27页）

15．（2015?凉山州）如图，已知抛物线y=x﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点． （1）求m的值．

（2）求A、B两点的坐标． （3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．

【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）抛物线的顶点在x轴的正半轴上可知其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式等于0可求得m的值；

（2）由（1）可求得抛物线解析式，联立一次函数和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；

（3）分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，可先求得△ABC的面积，再利用a、b表示出△PAB的面积，根据面积之间的关系可得到a、b之间的关系，再结合P点在抛物线上，可得到关于a、b的两个方程，可求得a、b的值． 【解答】解：

2

（1）∵抛物线y=x﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，

2

∴方程x﹣（m+3）x+9=0有两个相等的实数根，

2

∴（m+3）﹣4×9=0，解得m=3或m=﹣9， 又抛物线对称轴大于0，即m+3＞0，∴m=3；

2

（2）由（1）可知抛物线解析式为y=x﹣6x+9，联立一次函数y=x+3，

2

可得，解得或，

∴A（1，4），B（6，9）；

（3）如图，分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T， ∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b），

∴AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b，RT=1﹣a，ST=6﹣a， ∴S△ABC=S梯形ABSR﹣S△ARC﹣S△BCS=×（4+9）×5﹣×2×4﹣×3×9=15， S△PAB=S梯形PBST﹣S梯形ABSR﹣S梯形ARTP

=

（9+b）（6﹣a）﹣（b+4）（1﹣a）﹣×（4+9）×5=（5b﹣5a﹣15），

又S△PAB=2S△ABC，

∴（5b﹣5a﹣15）=30，即b﹣a=15， ∴b=15+a，

∵P点在抛物线上，

2

∴b=a﹣6a+9，

∴15+a=a﹣6a+9，解得a=∵﹣3＜a＜1， ∴a=∴b=15+

，

=

．

2

，

【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数与一元二次方程的关系、函数图象的交点及三角形的面积等知识点．在（1）中由顶点在x轴的正半轴上把问题转化为二元一次方程根的问题是解题的关键，在（2）中注意函数图象交点的求法，在（3）中用P点坐标表示出△PAB的面积是解题的关键．本题涉及知识点较多，计算量较大，有一定的难度．

第22页（共27页）

16．（2015?铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；

（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；

2

（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，

∴二次函数的表达式为：y=x﹣4x+3；

2

（2）令y=0，则x﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3， ∴B（3，0），∴BC=3，

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB时，PC=3，

∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当PB=PC时，OP=OB=3， ∴P3（0，﹣3）； ③当BP=BC时， ∵OC=OB=3

∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）；

综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3） 或（0，﹣3）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t， ∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t+2t=﹣（t﹣1）+1，

即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．

【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

第23页（共27页）

2

2

2

2

2

17．（2015?资阳）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x相交于B、C两点．

（1）如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；

（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设B（m．n）（m＜0），过点E（0．﹣1）的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．

【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）首先求出C的坐标，然后由C、F两点用待定系数法求解析式即可；

2

（2）因为DM∥OF，要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则DM=OF，设M（x，﹣x+1），则D（x，x），表示出DM，分类讨论列方程求解；

（3）根据勾股定理求出BR=BF，再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，所以∠RFS=∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形． 【解答】解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，）， 又∵直线BC过C、F两点，故得方程组：所以直线BC的解析式为：y=﹣x+1；

（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示， 设M（x，﹣x+1），则D（x，x）， ∵MD∥y轴，∴MD=﹣x+1﹣x， 由MD=OF，可得|﹣x+1﹣x|=1，

①当﹣x+1﹣x=1时，解得x1=0（舍）或x1=﹣3，所以M（﹣3，②当﹣x+1﹣x，=﹣1时，解得，x=所以M（

，

）或M（

22

2

22

2

解之，得，

），

， ，

），

综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形， M点坐标为（﹣3，

）或（

，

）或（

，

）；

（3）过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示，

2

∵点B（m，n）在抛物线上，∴m=4n， 在Rt△BTF中，BF== =

，

=

∵n＞0，∴BF=n+1，

又∵BR=n+1，∴BF=BR．

∴∠BRF=∠BFR，又∵BR⊥l，EF⊥l， ∴BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE， ∴∠RFE=∠BFR，

同理可得∠EFS=∠CFS， ∴∠RFS=∠BFC=90°，

∴△RFS是直角三角形．

【点评】本题主要考查了待定系数法求解析式，平行四边形的判定，平行线的性质，勾股定理以及分类讨论和数形结合等数学思想．

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18．（2015?苏州）如图，已知二次函数y=x+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC （1）∠ABC的度数为 45° ；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）首先求出B点坐标，进而得出OB=OC=m，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；

2222

（2）作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，利用勾股定理AE+PE=CD+PD，得出P点坐标即可； （3）根据题意得出△QBC是等腰直角三角形，可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），进而分别分析求出符合题意的答案． 【解答】解：（1）令x=0，则y=﹣m，C点坐标为：（0，﹣m），

2

令y=0，则x+（1﹣m）x﹣m=0，解得：x1=﹣1，x2=m， ∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为：（m，0）， ∴OB=OC=m，∵∠BOC=90°，

∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；故答案为：45°； （2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，

2

由题意得，抛物线的对称轴为：x=

2

2

2

2

，设点P坐标为：（

2

2

，n），

∵PA=PC，∴PA=PC，即AE+PE=CD+PD， ∴（

+1）+n=（n+m）+（

，

）；

，

2

2

2

2

2

），解得：n=

2

，

∴P点的坐标为：（

（3）存在点Q满足题意，∵P点的坐标为：（∴PA+PC=AE+PE+CD+PD=（

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

）， ）+（

+m）+（

2

+1）+（）=1+m，

22

∵AC=1+m，∴PA+PC=AC，∴∠APC=90°，∴△PAC是等腰直角三角形，

∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形， ∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m）， ①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时，若PQ与x轴垂直， 则

=﹣m，解得：m=，PQ=，

2

2

2

若PQ与x轴不垂直，则PQ=PE+EQ=（

2

）+（

2

2

+m）

2

=m﹣2m+=（m﹣）+

2

∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ取得最小值∵

，PQ取得最小值，

＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小，

=m，解得：m=，PQ=，

2

2

2

②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时，若PQ与y轴垂直，则若PQ与y轴不垂直，则PQ=PD+DQ=（∵0＜m＜1，∴当m=时，PQ取得最小值∵

22

2

2

）+（m﹣，PQ取得最小值

2

）=m﹣2m+=（m﹣）+，

，

＜，∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，

综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小． 【点评】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值 求法等知识，利用分类讨论得出Q点坐标是解题关键．

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19．（2015?临沂）在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q． ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标； ②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由． 【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）联立两直线解析式可求得B点坐标，由关于原点对称可求得C点坐标，由直线y=﹣2x﹣1可求得A点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①当四边形PBQC为菱形时，可知PQ⊥BC，则可求得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标；②过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，由∠PED=∠AOC，可知当PE最大时，PD也最大，用t可表示出PE的长，可求得取最大值时的t的值． 【解答】解：

（1）联立两直线解析式可得，解得，

∴B点坐标为（﹣1，1），又C点为B点关于原点的对称点， ∴C点坐标为（1，﹣1），∵直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，

2

∴A点坐标为（0，﹣1），设抛物线解析式为y=ax+bx+c， 把A、B、C三点坐标代入可得

2

，解得，

∴抛物线解析式为y=x﹣x﹣1；

（2）①当四边形PBQC为菱形时，则PQ⊥BC，

∵直线BC解析式为y=﹣x，∴直线PQ解析式为y=x， 联立抛物线解析式可得

，解得

或

，

∴P点坐标为（1﹣，1﹣）或（1+，1+）； ②当t=0时，四边形PBQC的面积最大．理由如下：

如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E， 则S四边形PBQC=2S△PBC=2×BC?PD=BC?PD，

∵线段BC长固定不变，

∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大， 又∠PED=∠AOC（固定不变）， ∴当PE最大时，PD也最大，

∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，

2

∴P点坐标为（t，t﹣t﹣1），E点坐标为（t，﹣t），

22

∴PE=﹣t﹣（t﹣t﹣1）=﹣t+1，

∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．

【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、点的对称、菱形的判定和性质、三角形的面积和二次函数的最值等知识点．在（1）中求得A、B、C三点的坐标是解题的关键，在（2）①中得出直线PQ的解析式是解题的关键，在②中确定出四边形PBQC面积最大的条件是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，其中第（2）②小题是难点．

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20．（2015?巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；

（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题． 【分析】（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；

2

（2）先求得直线BC的解析式为y=x﹣4，则可设E（m，m﹣4），然后分三种情况讨论即可求得； （3）利用△PBD的面积S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD即可求得．

2

【解答】解：（1）∵二次函数y=ax+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点， ∴

，解得

2

，

∴该二次函数的解析式为y=x﹣x﹣4； （2）由二次函数y=x﹣x﹣4可知对称轴x=3，

∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数y=x﹣x﹣4可知B（0，﹣4），

2

2

设直线BC的解析式为y=kx+b，∴

2

，解得

2

，∴直线BC的解析式为y=x﹣4，

2

2

设E（m，m﹣4），当DC=CE时，EC=（m﹣8）+（m﹣4）=CD， 即（m﹣8）+（m﹣4）=5，解得m1=8﹣2

2

2

2

2

2

2

，m2=8+2

2

（舍去），∴E（8﹣2

2

2

2

，﹣）；

当DC=DE时，ED=（m﹣3）+（m﹣4）=CD，即（m﹣3）+（m﹣4）=5，解得m3=0，m4=8（舍去）， ∴E（0，﹣4）；当EC=DE时，（m﹣8）+（m﹣4）=（m﹣3）+（m﹣4）解得m5=5.5， ∴E（

，﹣）．综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的

，﹣

）、（0，﹣4）、（

，﹣）．

2

2

2

2

2

点E的坐标为（8﹣2

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为m﹣m﹣4，

∵△PBD的面积S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD=m[4﹣（m﹣m﹣4）]﹣（m﹣3）[﹣（m﹣m﹣4）]﹣×3×4 =﹣m+∴当m=

2

2

2

m=﹣（m﹣）+

2

，

时，△PBD的最大面积为

，﹣

）．

∴点P的坐标为（

【点评】此题考查了学生的综合应用能力，要注意数形结合，认真分析，仔细识图．注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求法，注意三角形面积的求法．

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