2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案

2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案

一、填空

?1?esinx,x?0??x1. 若f?x???arctan是???,???上的连续函数,则a??1

2?2x??ae?1,x?02. 函数y?x?2sinx在区间

?3.

2???,??上的最大值为32????3

??x?22?x?e?xdx?2?6e?2

?3x2?2y2?124. 由曲线?绕y轴旋转一周得到的旋转面在点0,3,z?0??2处的指向外侧的

?单位法向量为

15?0,2,3

?5. 设函数z?z?x,y?由方程z?y?x?xez?y?x?1??x?1?e1?xez?y?x2所确定,则

dz?z?y?xdx?dy

二、选择题

1.设函数f?x?可导,并且f??x0??5,则当?x?0时,该函数在点x0处微分dy是?y的( A ) (A)等价无穷小 (B)同阶但不等价无穷小 (C)高阶无穷小 (D)低阶无穷小 2.设函数f?x?在点x?a处可导,则f?x?在点x?a处不可导的充要条件是( C ) (A) f?a??0,且f??a??0 (B) f?a??0,但f??a??0 (C) f?a??0,且f??a??0 (D) f?a??0,且f??a??0 3.曲线y?x?x?x?1 ( B )

2(A)没有渐近线 (B)有一条水平渐进线和一条斜渐近线 (C)有一条铅直渐近线 (D)有两条水平渐近线

?x,y??0.已知?x0,y0?是f?x,y?在约束条件4.设f?x,y?与??x,y?均为可微函数,且??y??x,y?=0下的一个极值点,下列选项中的正确者为( D )

(A)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0; (B)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0; (C)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0; (D)若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0;

5.设曲面??(A)

??x,y,z?|x?2222?y?z?k,z?0 的上侧,则下述曲面积分不为零的是( B)

????xdydz (B)

2??xdydz (C)

??zdzdx? (D)

??ydxdy?

1三、设函数f?x?具有连续的二阶导数，且limf?x?x2x?0f?x??x? ?0,f???0??4,求lim1??x?0?x???limf??x?2xx?0解：由题设可推知f?0??0,f??0??0于是有limf?x?1f?x?xx?0?limf???x?2xx?0?2

f?x??x?lim1?故

x?0?x????f?x?????lim??1??x?0x?????f?x?????xx2?f?x???f?x???limexp?2ln?1??x?0xx????f?x???2??e ???x?1?2t2,2dy?u1?2lnte?t?1?所确定，求2四、设函数y?y?x?由参数方程?y??dudx?1u?dydte1?2lnt

x?9解：由?1?2lnt?2t?2et1?2lnt,dxdt?4t，得到

dydx?e2?1?2lnt?,所以

dydx22e?1d?dy?1d?e1et ?????????????22??2dt?dx?dxdt?2?1?2lnt??4t4t2?1?2lnt?4t?1?2lnt?dt2而当x?9时，由x?1?2t2及t?1,得t?2,故 dydx2x?92??e4t?1?2lnt?22t?2??e16?1?2ln2??2

五、设n为自然数，计算积分In??2sin?2n?1?xsinx0dx

解：注意到：对于每个固定的n，总有limsin?2n?1?xsinxx?0?2n?1,所以被积函数在x?0点处

有界（x?0不是被积函数的奇点）。又sin?2n?1?x?sin?2n?1?x?2cos2nxsinx

?于是有In?In?1??2sin?2n?1?x?sin?2n?1?xsinx?0dx?2?cos2nxdx?201n?sin2nx20?0

上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故In?In?1???I1。所以

?In?I1??2sin3xsinx?0dx??2cos2xsinx?sin2xcosxsinx0dx

????20cos2xdx?2?2cosxdx?02?2

xx?0为其第一类跳跃间断点，六、设f?x?是除x?0点外处处连续的奇函数，证明?f?t?dt0是连续的偶函数，但在x?0点处不可导。

证明：因为x?0是f?x?的第一类跳跃间断点，所以limf?x?存在，设为A，则A?0;又

x?0?f?x?为奇函数，所以lim?f?x???A。

x?0?f?x??A,x?0?0,x?0命：??x??? 则??x?在x?0点处连续，从而??x?在???,???上处处连?f?x??Ax,x?0?续，且??x?是奇函数；

当x?0，则?x?0，???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x? 当x?0，则?x?0，???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x? 即??x?是连续的奇函数，于是???t?dt是连续的偶函数，且在x?0点处可导。又

0x???t?dt??f?t?dt?Ax00xx 即?f?t?dt=???t?dt?Ax

00xx所以?f?t?dt是连续的偶函数，但在x?0点处不可导。

0x七 、设f?u,v?有一阶连续偏导数，z?f?x?y,cos?xy??,x?rcos?,y?rsin?

22证明：

?z?rcos??21?zr??2sin??2x?z?u?y?z?vsin?xy?

解：设：u?x?y,v?cos?xy? 则

?z?r?2??z?x?z?y?x??z?u?z?v??y??z?u?z?v?????????????????? ?x?r?y?r?r??u?x?v?x??r??u?y?v?y??z?u?xcos??z???ysin????z?z?vsin?xy???ycos??xcos?? ?ycos???1?zr???z?vrsin?xy???ysin??xcos??

类似可得??2r代入原式左边，得到

?2cos???z?u?u?z?r?xsin?cos??sin? ?z?v?sin?xy??ycos??xsin????xcos??ysin???cos??2?z?u?sin??xsin??ycos????z?vsin?xy??ysin??xcos???2x?z?u?y?z?vsin?xy?

八、设函数f?u?连续，在点u?0处可导，且f?0??0，f??0???3求: lim1t?0?t42???2f2?2x?y?z222?dxdydz2.

x?y?z?t解：记G?t??1?t42???2f2?2x?y?z22?dxdydz?0，应用球坐标，并同时注意到积分区域与

x?y?z?t被积函数的对称性，有G?t??t8?4?t2?20d??2sin?d??f?r?rdr?20t4?f?r?rdr20tt4

于是有limG?t??limt?04?f?r?rdr0t?0t4?lim4f?t?t4t32t?0?limf?t??f?0?tt?0?f??0???3

九、计算I???ydx?xdyx?x?yL,其中L为x?x?y=1正向一周。

解：因为L为x?x?y=1，故I??L?ydx?xdy格林公式???1???1??d?D?2??d?

D其中D为L所围区域，故??d?为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。

D当x?0且x?y?0时，x?x?y?1?2x?y?1?0 当x?0且x?y?0时，x?x?y?1??y?1?0 当x?0且x?y?0时，x?x?y?1?y?1?0 当x?0且x?y?0时，x?x?y?1??2x?y?1?0

?ydx?xdyx?x?y故D的面积为2?1?2.从而I??L?4

224十、（1）证明：当x充分小时，不等式0?tanx?x?x成立

n（2）设xn??k?1tan21n?k,求limxn

n??证明：（1）因为limtan2x?xx42x?0?limtanx?xx3x?0?limtanx?xxx?0?2limsecx?13x22x?0

?23limtanx22xx?0?23，又注意到当x充分小时，tanx?x,所以成立不等式

0?tan224x?x?x

（2）由（1）知，当n充分大时有，

1n?kn2?tan21n?k?1n?k?1?n?k??1n2,故

n?n?kk?11n?xn??n?k??n?k??k?1k?11n1??n?kk?11?1nn 而?k?11n?k?n11?kn,

k?1n于是limn???k?11n?k?lim1nnn???k?111?kn??1?xdx011?ln2，由夹逼定理知

limxn=ln2

n??十一、设常数k?ln2?1,证明：当x?0且x?1时，?x?1??x?ln2x?2klnx?1??0 证明：设函数f?x??x?ln2x?2klnx?1?x?0?

故要证?x?1??x?ln2x?2klnx?1??0，只需证：当0?x?1时，f?x??0; 当1?x时，f?x??0 显然：f??x??1?命：??x??x?2lnx?2k,则???x??1?2lnxx2x??2kx?1x?x?2lnx?2k?

x?2x

2x2当x?2时，???x?=0，x?2为唯一驻点，又????x??,????2??12?0,所以为??x?的唯

一极小值点，故??2??2?1?ln2??2k?2?k??ln2?1???0为??x?的最小值?x?0?，即当

x?0时f??x??0，从而f?x?严格单调递增。

又因f?1??0，所以当0?x?1时，f?x??0；当x?1时,f?x??0

十二、设匀质半球壳的半径为R，密度为?，在球壳的对称轴上，有一条长为l的均匀细棒，其密度为?。若棒的近壳一端与球心的距离为a，a?R，求此半球壳对棒的引力。 解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z轴上，则由于对称性，所求引力在x轴与y轴上的投影Fx及Fy均为零。

设k为引力常数，则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为：

Fz?k?????ds?a?lz?z1a?x2?y??z?z1?22?32dz1

?k??????222?x?y??z?a?l??????x212?y??z?a?22??12??ds ?记M1?2?R2?,M2?l?。在球坐标下计算Fz，得到 Fz?2?k??R????2???02?22?R??a?l??2R?a?l?cos??2???R212?a?2acos?2?12?sin??d?

??kM1MRl2R?a?Ra?R??a?l??R??

a?l??22若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z轴上，则

Fz?GM1MRl2????R??a?l??R22a?R?a2?R??。

a?l??2

?k??????222?x?y??z?a?l??????x212?y??z?a?22??12??ds ?记M1?2?R2?,M2?l?。在球坐标下计算Fz，得到 Fz?2?k??R????2???02?22?R??a?l??2R?a?l?cos??2???R212?a?2acos?2?12?sin??d?

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a?l??22若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z轴上，则

Fz?GM1MRl2????R??a?l??R22a?R?a2?R??。

a?l??2

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