第5章 用样本推断总体

第5章 用样本推断总体

新城学校 曹双飞

5.1总体平均数与方差的估计

学习目标：

1、理解总体与样本的关系，认识并体会统计估计的意义，实施办法及在实际问题中的应用。

2、理解用样本平均数、方差推断总体平均数与方差。 重点、难点

体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差。 教学过程： 一、旧知回顾：

1、在调查研究过程中，总体是 ，个体是 ，样本是 ，样本容量是 2、平均数的计算公式是 3、方差的计算公式是

二快乐自学：

阅读教材P140-144 完成下列练习。

1、在总体中抽取样本，通过对样本的分析，去推断总体的情况，这就是 思想。 2、用样本平均数、方差去估计总体的 然后再对事件发展做出决断、预测。

3、在“说一说”及“动脑筋”中，分别是可以用样本的 去估计总体的 、

4、例题是通过计算零件直径的方差来得到机器两个时段的运作性能是否稳定正常的。

三、巩固练习: 1、P144 练习T1-- 2

2.为估计一个月家中使用管道煤气的开支情况，小强从15日起，连续八天每天晚上记录了家的煤气表显示的读数，如下表(注：煤气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用煤气的数量．单位：m3)

如果每立方煤气2.2元，请你估计小强家一个月(按30天计)使用管道煤气的费用是_____元(精确到0.1元)．

3.农科院对甲,乙两种甜玉米各用10块试验田进行试验,得到两个品种每公顷产量的两种数据: 根据这些数据，应为农科院选择甜玉米种子提出怎样的建议？ 解：用计算器算得样本数据的平均数是： X甲≈7.54 X乙≈7.52 说明在试验田中,甲,乙两种甜玉米的平均产量相差不大,由此估计在这个地区种植这两种甜玉米,它们的平均产量相差不大. 用计算器算得样本数据的方差是： S2甲≈0.01, S2乙≈0.002 得出 S2甲＞S2乙 说明在试验田中,乙种甜玉米的产量比较稳定,进而可以推测要这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲的稳定. 综合考虑甲乙两个品种的产量和产量的稳定性,可以推测这个地区更适合种植乙种甜玉米. 四、归纳小结 本节课你有什么收获？还有什么问题？ 五、达标检测 1. 为了让人们感受丢塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）33，25，28，26，25，31．如果该班有45名学生，那么根据提供的数据，估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量约（ ）

A．900个 B．1080个 C．1260个 D．1800个

2. 某食品店购进2000箱苹果，从中任选10箱，称得重量分别为（单位：千克）： 16，16.5，14.5，13.5，15，16.5，15.5，14，14，14.5

若每千克苹果售价为2.8元，则利用样本平均数估计这批苹果的销售额是元________．

3．从总体中抽取一个样本，计算出样本方差为2，可以估计总体方差（ ） A．一定大于2 B．约等于2 C．一定等于2 D．与样本方差无关

4.为了了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如下（单位：秒）

（1）计算甲、乙两种手表日走时误差的平均数；

（2）你认为甲、乙两种手表中哪种手表走时稳定性好？说说你的理由．

日期

类型

一 二 三 四 五 六 七 八 九 十

甲种手表 -3 4 2 -1 -2 -2 1 -2 2 1

乙种手表 -4

1 -2 1 4 1 -2 -1 2 -2

（2）

由

可知：甲种手表走时稳定性好。

5.2 统计的简单应用

第一课时

学习目标：

1. 了解通过样本的频数频率分布推断总体的频数频率分布 2. 能解释统计结果，根据结果对总体作出推断 重点、难点：

1. 加深对统计思想的认识，体验统计方法在实际问题中的应用。 2. 灵活运用统计方法，解决实际问题。 学习过程： 一、快乐自学：

阅读教材 P146-148 思考下列问题：

1、例1中1000件产品的次品率为什么作为了整批次品的次品率？

2、“动脑筋”中，怎样求出：该地120万用户中约有多少户能够全部享受基本价格？先求什么，再求什么？ 3、例2中：（1）分组里是如何各组如何去上限和下限的？（2）身高小于134 cm的包括哪几组？

4、动完成教材练习 P148

二、合作交流，展示学习成果

三、巩固练习

1 .一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25，则n =________.

2. 从某校2100名学生随机抽取一个30名学生的样本，样本中每个学生用于课外作业的时间（单位:min）依次为:75，80，85，65，95，100，70，55，65，75， 85，110，120，80，85，80，75，90，90，95，70，60，60，75，90，95，65，75，80，80.该校的学生中作业时间超过一个半小时（含一个半小时）的学生有____________人.

3 .对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下. 寿命（h） 个 数 100～200 20 200～300 30 300～400 80 400～500 40 500～600 30 （1）列出频率分布表； （2）画出频率分布直方图；

（3）估计元件寿命在100～400 h以内的在总体中占的比例； （4）估计电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例.

四、课堂小结 本结课有什么收获？还有什么疑问？ 四、达标检测： 1.为了解某区八年级学生课外体育活动的情况，从该年级学生中随机抽取了部分学生，对其参加的体育活动项目进行了调查，将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图，请根据图中信息，回答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名学生； (2)在图①中，乒乓球项目所对应的扇形的圆心角是______度，参加篮球项目的人数在所调查的所有人数中所占的百分比是______%； (3)请将图②补充完整； (4)该区共有4600名八年级学生，估计参加篮球项目的学生有______名． 2. 某中学学生会为考察该校学生参加课外体育活动的情况，采取抽样调查的方法从篮球、排球、乒乓球、足球及其他等五个方面调查了若干名学生的兴趣爱好(每人只能选其中一项)，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次考察中一共调查了多少名学生？ (2)在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角是多少度？ (3)补全条形统计图； (4)若全校有1800名学生，试估计该校喜欢篮球的学生约有多少人？

3.为了培养学生勤俭节约的意识，从小养成良好的生活习惯．某校随机抽查部分初中生对勤俭节约的态度(态度分为：赞成、无所谓、反对)，并对抽查对象的态度绘制成了图1和图2两个统计图(统计图不完整)，请根据图中的信息解答下列问题： (1)此次共抽查_____名学生； (2)持反对意见的学生人数占整体的_____%，无所谓意见的学生人数占整体的_____%； (3)估计该校1200名初中生中，大约有_____名学生持反对态度． 4.某中学的地理兴趣小组在本校学生中开展主题为“地震知识知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，划分等级后的数据整理如下表： 等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 频数 40 120 n 4 频率 0.2 m 0.18 0.02

(1)表中的m的值为_____，n的值为_____

(2)根据表中的数据，请你计算“非常了解”的频率在下图中所对应的扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．

(3)若该校有1500名学生，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”的人数约为多少？

第二课时

学习目标：

1. 体验统计思想方法在各类实际问题中的简单应用。 2. 培养运用统计思想和方法解决实际问题的意识和能力。 难点、重点;

1. 用样本的频数频率分布推断总体的频数频率分布。 2. 统计结果的解释和统计方法的应用。 学习过程 一、快乐自学

阅读教材P149--151,思考下列问题： 1.调查统计的一般过程是什么？ 2.分析数据的方法有哪些？

3.在分析数据后，作决策时，精确程度要根据实际需要而定，本题中是如何取的？

4.用样本推断总体的过程是什么？

5.用坐标法分析数据的方法其实质是什么统计图，它的特点是什么？ 二、典例分析

问题1 2001年“五·一”前夕，小明一家准备购买一台彩电．是买国产的还是进口的？是考虑价格便宜还是追求功能全面？最后决定在甲、乙、丙三个国产品牌中选择一个最畅销的品牌．小明上网查得截至2001年第一季度的最新数据，如表28.1.1所示．

如果你是小明，会怎样取舍呢？

分析 把这三个品牌彩电自1999年以来截至2001年第一季度的总销量和平均月销售量用图形表示．

图1

1999年以来彩电销售总量比较

图2

1999年以来彩电历年月平均销量比较

思 考

（1）以2001年第一季度三个品牌销量的4倍分别作为2001年它们全年的估计销量，这样比较年销售量合适吗？

（2）为了进一步了解这三个品牌的销售情况，小明与他的爸爸特地在一家电器商场观察了一个小时，在这一小时中，他们发现甲与丙各卖出了两台，而乙一台也没有卖出．为什么他们在商场观察的结果与小明在媒体上查到的数据不成比例？这是否意味着网上公布的数据不可靠？为什么？

解：（１）不合适，因为不同季节对不同产品的需求不一定一样，同一品牌在不同季节的销售量也不一定相同，第一季度是销售的淡季,因次它不具有代表性，不能用它的4倍作为全年的估计销量，可以每个季度取一个月或一个月中随机抽取几天来比较年销售量． （２）小明和他爸只在一个商店里统计了一个小时的销售情况，因此他选择的样本既没有随机性也没有代表性，样本的容量有太小，而媒体上公布的数据是作了大量的调查得出的结果，因此网上的数据依然可靠．

三、巩固练习 P152的练习 四、合作交流，展示自学成果 五、课堂小结：

本结课有什么收获？还有什么疑问？ 六、达标检测

1.“抛1枚硬币”游戏中，抛5次出现2次正面；抛50次出现28次正面；抛500次出现260次正面；抛5000次出现2475次正面．试问：四次抛硬币，出现正面的频率分别是 ， ， ， ．用一句话概括出游戏中的规律是 ．

2．如下表八年级某班20名男生100m跑成绩（精确到0.1秒）的频数分布

表：

八年级某班20名男生100m跑

成绩的频数分布表 组别（秒） 频数 频率 12.55～13.55 2 13.55～14.55 5 14.55～15.55 7 15.55～16.55 16.55～17.55 2 （1）求第四组频数各组频率，并填入上表； （2）求其中100m跑的成绩不低于15.6秒的人数和所占的比例．

3.某市工商局决定对全市各种品牌的矿泉水进行一次检测，检测后得出各种矿泉水的pH值为如图4所示，请观察下图，并回答下面的问题： (1)被检测的矿泉水总数有多少种? (2)被检测矿泉水的最低pH为多少?

(3)组界为6.9～7.3这一组的频数、频率分别是多少(每一组包括前一个边界值，不包括后一个边界值)?

(4)根据我国2001年公布的生活饮用水卫生规范，饮用水的pH应在6.5-8.5的范围内．被检测的矿泉水不符合这一标准的有多少种?占总数的百分之几?

4.：爸爸妈妈计划在周末带小明去旅游．首先，希望天气适宜；其次，游览的地方最好离居住地近一些．下图是小明在报纸上查询到的周末部分旅游区天气预报．

此外，小明还通过上网查询列车时刻表，获得了各旅游区与自己居住地之间的里程如下（单位：m）．

大连2 255，青岛1 359，泰山890，洛阳1 122，黄山674，杭州201，武夷山631，厦门1 395，桂林1 645，湛江2 280． （1）请你帮小明分析一下，哪个旅游景点是最佳选择？

（2）如果你要在本周末旅行，那么基于路程和天气两方面的原因，你将怎样查询数据做出决策呢？把你的决策过程和同学们进行交流． 答：

（１）天气适宜的有湛江、青岛、泰山、洛阳、黄山、桂林、五夷山，在这些天气适宜的旅游区中，五夷山离居住地最近、所以五夷山是最佳选择。

（２）可以先查询天气、及各景点的路程，以天气适宜且路程近者为目标。 媒体中的数据很多，只要我们留心，会从其中获得许多有用的信息．但出现在媒体中的信息不一定都是可靠的，我们在获取信息的同时，需要进行全面的分析．

小结与复习

学习目标

1通过小结与复习，梳理本章知识内容，强化知识间的内在联系，提高综合

运用知识解决问题的能力．

2．通过例题的讲解、讨论和进一步的训练，提高学生灵活运用本章知识解

决问题的能力

学习重点：统计知识的梳理和知识之间的内在联系； 教学难点：用知识解决实际问题 学习过程 一、快乐自学

阅读教材P154，思考下列问题：

1.举例说明如何用样本平均数、总体方差去估计总体平均数、总体方差。 2. .用样本推断总体的过程是怎样的？

3.举例说明如何通过样本来预测总体在未来一段时间内的发展趋势

二 、构建知识结构

三．典例分析

1.某同学为了了解本市火车站2014年春运期间每天的乘车的人数,随机

抽查了其中5天的乘车人数.所抽查的这5天中每天的乘车人数是这个问题的 ( )

A.总体 B.个体 C.样本 D.样本容量

2.某校九年级共有600名学生,要了解这些学生每天上网的时间,现采用抽样调查的方式.按下列数量抽取的样本中,既可靠又省时,省力的是 ( )

A.选取10名学生 B.选取100名学生 C.选取20名学生 D.选取300名学生

3.某市大约有100万人口,在一次对城市标志性建筑方案的民意调查中,随机抽查了1万人,其中有6400人同意甲方案,则由此可估计该城市中,同意甲方案的大约有（ ）万人.

4.在某班的一次数学成绩进行统计分析中,各分数段的人数如图所示(分数取正整数,满分100分)请观察图形,并回答下列问题:

(1)该班有（ ）名学生；

(2)69.5～79.5这一组的频数是（ ）,频率是（ ） (3)成绩的中位数在_____________小组内.

(4)能否确定成绩的众数在哪一小组内____.（填“能”或“不能”)

(5)若全年级共有10个班,且各班人数相同成绩在60分以上为及格(含分)80分以上为优秀(含80分)则全年级及格人数:______；及格率:_____ ；优秀人数:_____优秀率:____

10 9 5、射击集训队在一个月的集训中，

8 对甲乙两名运动员进行了 10 次测试，成绩 7 6 如右图所示。

5 （1）根据图中所提供的信息填写下表： 4 3

2 （2）如果你是教练，会选择哪位运动员参加 1 甲： 乙：

比赛？请说明理由。

四、合作交流，展示学习成果 五、归纳小结，学习反思

乙 甲 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 乙 平均数 7 众数 8 方差 本结课有什么收获？还有什么疑问？ 六、达标检测

1．为了了解湖南省的环境污染情况，选取长沙市的环境污染情况作为样本，你认为这样做 ．（填“合适”或“不合适”）

2．某地举行一次数学竞赛，为了估计平均成绩，在抽取的部分试卷中，有2人得10分，3人得9分，7人得8分，12人得7分，9人得6分，7人得5分，则样本容量是 ，样本平均数是 ． 3．如果对八年级某班50名学生体重抽测数据整理后，得到样本数据落在41~44kg之间的频率是0.26，这说明在50名学生中，应有 名学生体重在41~44kg之间，由此可以估计出在这个年级400名学生中，体重在41~44kg的学生约占全体的 ，大约有 人． 4．某市移动公司为了调查手机发送短信息的情况，在本区域的1000位用户中抽取了10位用户统计他们某月份发送短信息的条数，结果如下表所示： 手机用户序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

发送短信息条85 78 83 79 84 85 86 88 80 85 数 则本次调查中抽取的样本容量是 ，中位数是 ，众数是 ． 5．甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400克的茶叶．从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，测得它们的实际质量的方差如下表所示： 甲包装机 乙包装机 丙包装机 方差（克2） 31.96 7.96 16.32 根据表中数据，可以认为三台包装机中， 包装机包装的茶叶质量最稳定．

6.某水果公司以2元/千克的进价新进了10000千克柑橘，为了合理定出销售价格，水果公司在出售前要估算出在运输中可能损坏的水果总质量，以便将损坏的水果成本折算到没有损坏的水果售价中.销售人员首先要从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘进行“柑橘损坏率”统计，获得的数据记录如下表（单位：千克）： 抽取柑橘的质量（n） 100 200 300 400 500 损坏柑橘的质量（m） 10.16 19.96 30.93 41.24 19.95 柑橘损坏的频率（m/n） 0.1016 0.0998 0.1031 0.1031 0.0999

如果公司希望售完这些柑橘并获利5000元，则出售这些柑橘时，每千克大约定

价为多少元比较合适？（精确到0.1）(10分)

7.某中学学生为了解该校学生喜欢球类活动的情况，随机抽取了若干名学生进行

问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类），并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：

（1）参加调查的学生共有 人，在扇形图中，表示“其他球类”的扇形的圆心角为 度；

（2）将条形图补充完整；

（3）若该校有2000名学生，则估计喜欢“篮球”的学生共有 人．

综合实践

池塘里有多少条鱼

学习目标：

1.进一步体会用样本去估计总体的统计思想. 2.初步感受统计推断的合理性. 教学重点、难点：

结合具体情境，初步感受统计推断的合理性. 学习过程：

创设问题情景，引入新课：

李大爷承包了村里的池塘，辛苦了一年李大爷家今年的收成如何？你能帮助李大爷估计池塘中有多少条鱼吗？

自主探究

一个口袋中有8个黑球和若干个白球，如果不许将球倒出来数，那么你能估计其中的白球数吗？ 第一种方案：

从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，我共摸了200次，其中有57次摸到黑球，因此我估计口袋中大约有20个白球.

假设口袋中有x个白球，通过多次试验，可以得出摸出黑球的频率，依此，

857?8?x200解得：x≈20

思考：“ 为什么要把球再把它放回口袋中，如果不放回可以吗？”引起学生对问题中细节的关注。 第二种方案：

利用抽样调查的方法，从口袋中一次摸出10个球，求出其中黑球数与10的比值，再把球放回口袋中。不断重复上述过程。我总共摸了20次,黑球数与10的比值的平均数为0.25，能不能求出口袋中的白球呢？

假设口袋中有x个白球，通过多次抽样调查，求出样本中黑球数与总球数比值的“平均水平” ，这个“平均水平”应近似等于口袋中黑球的频率.得：

8?0.258?x解得：x ≈24

在学生得到上述两种方案后，引导学生讨论： 1．这两种方案合理吗?两种方案的依据有什么不同？

（第一种方案是利用偶然事件的频率估计总体的频率,第二种方案是利用样本的频率估计总体频率.）

2. 这两种方案计算的结果一样吗？（两种方案的计算结果都是近似值，都有误差.）

3．怎样才能获得较为精确的估计值呢？

（保证摸球的随机性,使试验次数尽可能的多,进而求“平均值”,是减小误差的有效方法. 当总数较小时,用第一种的方法比较精确；当总数较大时,用第二种的方法具有现实意义.）

实验操作（多媒体演示）

活动内容：分组活动进行摸球试验收集数据.

活动目的：通过对数据的收集整理寻找尽可能减少误差的方法.渗透知识来源于实践的辩证唯物主义思想.

活动过程：分组进行下面的活动：

在每个小组的口袋中放入已知个数的黑球和若干个白球. (1)分别利用上述两种方法估计口袋中所放的白球数. （课堂上学生动手做，老师巡回指导） 组 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 估计值 实际值 差别

第八组 第九组 [师]把你们的结果报一下，让同学们分享你们的结果。（老师把同学的数据填在表格里，然后，老师用幻灯继续展示下列问题）

(2)打开口袋，数数口袋中白球的数，你们的估计值与实际结果一致吗？为什么？

（学生议论计算结果的精确情况）

(3)全班交流，看看各组的估计结果是否一致.各组的结果与实际情况的差别有多大？

（4）怎样可以使估计结果较为准确？

教师在实际的上课过程中，有一位学生提出了一个新的问题：“如果口袋中只有白球，没有其它颜色的球，而且不允许将球倒出来，那么你如何估计白球数呢？” 学生们经过讨论，有人提出了方案：“受刚才的问题的启发，我们可以把这个问题转化为刚才的问题，我向口袋中另放几个黑球，或者从口袋中抽出几个球并把它们染成黑色或做上标记.这样我就利用上面的答案把问题解决.”

活动过程：通过“摸球”的探讨，将学生引回上课之初的“鱼塘”问题，请同学帮助李大爷设计一个方案估计李大爷的鱼塘里有多少条鱼？

此时，通过类比和引导，学生会得到如下方案：可以先捞出若干条鱼将它们做上标记，然后再放回鱼塘.经过一段时间后，再随机捕捞出若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个有标记的鱼的比例，据此估计整个鱼塘的鱼的数量.

例1.樱桃小丸子想知道自家鱼塘中鱼的数量，她先从鱼塘中捞出100条鱼分别作上记号，再放回鱼塘，等鱼完全混合后，第一次捞出100条鱼，其中有4条带标记的鱼，放回会后，第二次又捞出100条鱼，其中有6条带标记的鱼，请你帮她估计鱼塘中鱼的数量是多少.

分析：引导学生利用样本估计总体的思想解决实际问题.同时加深对第二种方案的理解.

解：设鱼塘中鱼的数量有x条，依题意得，解得x=2000.

100x4?6100?100

所以估计鱼塘中鱼的数量大约有2000条.

例2.一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中搅匀，不断重复上述过程，试验中共摸了200次，其中50次摸到红球.求口袋中有多少个白球？

分析：引导学生利用频率估计概率解决实际问题，同时加深对第一种方案的理解.

解：设口袋中有白球x个，则有

105010?x=200.

解得：x=30.

所以口袋中大约有白球30个. 活学活用，发展思维（多媒体演示）

1.某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上记号然后放还，带有标记的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中有2只有标记.从而估计这个地区有黄羊 只.（答案：400只）

2. 李大爷的鱼塘今年放养鱼苗10万条，根据这几年的统计分析，鱼苗成活率约为95%，现准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重2.5千克，第二网捞出25条，称得平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称得平均每条鱼重2.8千克，请你帮助李大爷估算今年鱼塘中鱼的总重量.如果每千克售价为4元,那么，李大爷今年的收入如何？

解：李大爷的鱼塘有鱼≈100000×95%=95000（条）

李大爷的鱼塘鱼的总重量≈[（40×2.5+25×2.2+35×2.8）÷(40+25+35)]

×95000=240350(千克)

李大爷今年的收入≈240350×4=961400(元)

答：李大爷估算今年鱼塘中鱼的总重量估计有240350千克，如果每千克售价为4元, 李大爷大约今年的收入有961400元. 归纳小结，感悟收获

活动过程：先让几位同学说出收获，而后总结得出通过试验方法求频率,并估计相关情境中的某个未知量的步骤：

1.设计并做某个试验得出相关事件发生的频率； 2、计算某个事件发生的理论频率；

3、(在一定合理性条件下)假设试验频率=理论频率,列出方程求解,得要求的未知数值；

（学生归纳总结老师归纳升华）

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