2.1 圆周角定理 课件(人教A选修4-1)(2)

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[读教材·填要点] 1.圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半.

2.圆心角定理 圆心角的度数 等于 它所对弧的度数.

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3.圆周角定理的推论(1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；同圆或等 圆中，相等的圆周角所对的弧 也相等 . (2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90° 直径 的圆周角所对的弦是 .

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[小问题·大思维] 1.圆心角的大小与圆的半径有关系吗？ 提示：圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径 没有关系. 2.相等的圆周角所对的弧也相等吗？ 提示：不一定.只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所

对的弧才相等.

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[研一题]

[例1]

锐角三角形ABC内接于⊙O,∠ABC=60°,

∠BAC=40°,作OE⊥AB交劣弧 于点E,连接EC, AB 求∠OEC. 分析：本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用. 解决本题需要先求∠OEC所对的弧的度数，然后根据圆心

角定理得∠OEC的度数.返回

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解：连接 OC. ∵∠ABC=60° ,∠BAC=40° , ∴∠ACB=80° . ∵OE⊥AB,∴E 为 的中点. AB ∴ BE 和 BC 的度数均为 80° .

∴∠EOC=80° +80° =160° . ∴∠OEC=10° .

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[悟一法] 圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所 对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数 的一半.

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[通一类] 1.已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径， 求证：∠BAE=∠DAC. 证明：连接BE,因为AE为直径，

所以∠ABE=90°.因为AD是△ABC的高， 所以∠ADC=90°. 所以∠ADC=∠ABE. 因为∠E=∠C,

所以∠BAE=180°-∠ABE-∠E,∠DAC=180°-∠ADC-∠C. 所以∠BAE=∠DAC. 返回

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[研一题] [例2] 已知三角形ABC是圆内接正三角形，M是

B上的一点.求证：MA=MB+MC. 分析：本题考查圆周角定理及全等三角形的应用. 解答本题可先将MA分成MD和AD两段，然后证明MB

=AD,DM=MC即可.返回

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证明：在 MA 上取点 D,使 MD=MC. ∵△ABC 为正三角形， ∴∠1=∠2=60° . ∴△MDC 是等边三角形. ∴CD=MC. 在△ADC 与△BMC 中

∠3=∠4, AC=BC, ∠ADC=∠BMC=120° , ∴△ADC≌△BMC. ∴AD=BM. ∴MA=MD+DA=MC+MB.

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[悟一法](1)在圆中，只要有弧，就存在着所对的圆周

角.同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推理提供了条件，要注意此种意识的应用. (2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为 两段，其中一段等于已知线段，再去证明另一段也等于 已知线段.

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[通一类] 2.如图，G是以BC为直径的圆上一点， A是劣弧BG 的中点，AD⊥BC,D为

垂 足，连接AC、BG,其中BG交AD

、

AC于点E、F.求证：BE=EF.

证明：连接 AB, ∵BC 为直径， ∴∠BAC=90° . ∴∠2+∠DAC=90° .返回

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∵∠C+∠DAC=90° , ∴∠2=∠C. ∵ BA = ,∴∠1=∠C. AG

∴∠1=∠2.∴AE=BE. 又∵∠1+∠BFA=90° , ∠2+∠DAF=90° , ∴∠BFA=∠DAF, ∴AE=EF,∴BE=EF.

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[研一题][例3] 如图，AB是⊙O的直径，

AB=2 cm,点C在圆周上，且∠BAC=30°,∠ABD=120°,CD⊥BD于

D.求BD的长.分析：本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应 用.解答本题可连接BC,然后利用直角三角形的有关知识 解决. 返回

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解：连接 BC,∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90° . ∵∠BAC=30° ,AB=2 cm, AB ∴BC= =1 (cm). 2 ∵∠ABD=120° , ∴∠DBC=120° -60° =60° . ∵CD⊥BD, ∴∠BCD=90° -60° =30° . BC ∴BD= =0.5 (cm). 2

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[悟一法] 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是 直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角、线

段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等.

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[通一类] 3.如图，△ABC中，∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径的圆与斜边 交于点P,求BP长.解：连接 CP,∵AC 为圆的直径， ∴∠CPA=90° ,即 CP⊥AB. 又∵∠ACB=90° , ∴由射影定理可知 AC2=AP· AB. AC2 36 ∴AP= = =3.6. AB 10 ∴BP=AB-AP=10-3.6=6.4.

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