ch3 力学基本定律与守恒律 习题及答案毛峰

第3章 力学基本定律与守恒律 习题及答案

??1．作用在质量为10 kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s.(1)求4s后，这物体动

量和速度的变化;(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久.试就一原来静止

?-1

的物体和一个具有初速度?6jm·s的物体,回答这两个问题．

解: (1)若物体原来静止，则由动量定理

??t?4??1?p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?si,方向沿x轴正向。

00所以

??v1??5.6m?s?1i m???I1??p1?56kg?m?s?1i?若物体原来具有?6m?s初速，则

?1??p1p0??mv0,p?m(?v0?????F?dt)??mv0??0mt??Fdt于是

0t?t??????p2?p?p0??Fdt??p1,

0????同理， ?v2??v1,I2?I1

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即

I??(10?2t)dt?10t?t2

0t亦即 t?10t?200?0 解得t?10s，(t??20s舍去)

2．一颗子弹由枪口射出时速率为v0m?s?1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

2F?(a?bt)?0,得t?a b(2) 由动量定理，子弹所受的冲量

1

1I??(a?bt)dt?at?bt2

02a将t?代入，得

bta2I?

2b(3)由动量定理可求得子弹的质量

Ia2 m??v02bv0

3．如图所示，一质量为m的球，在质量为M，半径为R的1/4圆弧形滑槽中从静止滑下。圆弧形滑槽放在光滑水平面上，初始时刻也处于静止状态。求当小球m滑到槽底脱离槽时的速度。

解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有

11mv2?MV2 22又下滑过程，水平方向动量守恒。以m,M为系统，则在m脱离M瞬间，水平方向有

mv?MV?0

mgR?联立以上两式，得

v?2MgR

?m?M?

4．如图所示，质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为l＝1.25 m的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m＝10 g的子弹以v0＝500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s，设穿透时间极短．求：

(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．

解 （1） 由于穿透时间极短,可认为穿透过程在瞬间完成。此过 l 程系统在水平方向满足动量守恒。

mv0?MV?mv

v m(v0?v)10?10?3(500?30)V???3.13m/s 0M1.5m 对M进行受力分析有

? ?v M V23.132?1.5?9.8?1.5??26.5N T?Mg?Ml1.25(2) 子弹在穿透过程中所受的冲量：

I??p?mv?mv0?10?10?3(30?500)??4.7Ns

?上式中负号表示冲量方向与v0方向相反。

5．质量为1 kg的物体，它与水平桌面间的摩擦系数? = 0.1 ．现对物体施以F = 10t+10 (SI)的力，（t表示时刻），力的方向保持一定，如图所示．如t = 0时物体静止，则t = 3 s时

2

它的速度大小v 为多少?(取重力加速度g?10ms?2)

解:对物体在水平方向应用动量定理

330°F (Fcos300??(mg?Fsin300)dt?mv?0

?0由于m?1kg，F = 10t+10，故有

3 v?[(10t?10)cos300??(mg?(10t?10)sin300]dt

?03033??[(10t?10)cos30dt???mgdt???(10t?10)sin300dt000 ?3?(5?9?10?3)?0.1?1?10?3?0.1?0.5?(5?9?10?3) 2?64.95?3?3.75?58.2m/s

6．静水中停着两条质量均为M的小船，当第一条船中的一个质量为m的人以水平速度v（相对于地面）跳上第二条船后，两船运动的速度各多大？（忽略水对船的阻力）．

解:该过程满足水平方向的动量守恒：

对第一条船： 0?mv?MV1 V1??mv M上式中负号表示对第一条船运动方向与v方向相反； 对第二条船： mv?(m?M)V2 V2??mv

m?M

7．一质量为m的质点在Oxy平面上运动，其位置矢量为 r?acos?ti?bsin?tj(SI)

式中a、b、?是正值常量，且a＞b． (1)求质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能；

(2)求质点所受的合外力F以及当质点从A点运动到B点的过程中F的分力Fx和Fy分别作的功．

解: (1)质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能 由题意：r?acos?ti?bsin?tj?xi?yj

3

dra?b???a?sin?ti?b?cos?tj??yi?xj dtbaa2?22b2?222y?2x v(x,y)?b2a1a2?22b2?22122 所以 EA(a,0)?m(2?0?2a)?m?b

2ba21a2?22b2?22122 EA(0,b)?m(2?b?2?0)?m?a

2ba2 (2) 质点所受的合外力F

??dv??a?2cos?ti?b?2sin?tj a?dt?? F?ma??ma?2cos?ti?mb?2sin?tj??m?2xi?m?2yj?Fxi?Fyj

v?? 当质点从A点运动到B点的过程中F的分力Fx分别作的功

1m?2a2 2aa当质点从A点运动到B点的过程中F的分力Fy分别作的功

02?Fxdx???m?xdx?0 ?Fydy??m?ydy?00bb21m?2b2 2

8．一人从10 m深的井中提水．起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．

解:设桶的质量为m0，起始时桶中装满水的质量为M0，以起始点为坐标原点，坐标轴方向竖直向上，则水桶匀速地从井中提到井口过程的任意位置，人的拉力为 F(x)?(M0?0.2x)g?mg

10100所以 A??F(x)dx??[(M00?0.2x)g?mg]dx

102?(M0?m)g(10?0)?0.2g??980J

2

9一个质点在几个力同时作用下位移为?r?4i?5j?6k?SI?，其中一个力为

F??3i?4j?5k?SI?，求此力在该位移过程中所作的功。

解:此为恒力做功，故有

A?F??r?(?3i?4j?5k)(4i?5j?6k)??12?20?30?38J

10 设F合?7i?6jN．(1) 当一质点从原点运动到r??3i?4j?16km时，求F所作的功．(2)

4

如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化． 解: (1) 此为恒力做功，故有

A?(7i?6j)[(?3i?4j?16k)?0]??21?24??45J (2) 如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率： P??P?45???75W ?t0.6(3)由动能定理，质点动能的变化为： ?Ek?A??45J

11．如图所示，一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之

比．

解: 弹簧A、B及重物C受力如题5图所示，平衡时，有

FA?FB?Mg

又 FA?k1?x1

FB?k2?x2

所以静止时两弹簧伸长量之比为

?x1k2 ??x2k1弹性势能之比为

Ep1Ep21k1?x12k?2?2 1k12k2?x22

12．某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F，相应伸长为x，力与伸长的关系为 F＝52.8x＋38.4x2（SI）求：

(1)将弹簧从伸长x1＝0.50 m拉伸到伸长x2＝1.00 m时，外力所需做的功．

(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00 m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1＝0.50 m时，物体的速率．

(3)此弹簧的弹力是保守力吗？ 解:（1）有功的定义：

38.43A??(52.8x?38.4x)dx?(26.4x?x)?31J

30.50.52211(2) 由动能定理：

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