第2节 函数的单调性、奇偶性、周期性（2课时）

第2节 函数的单调性、奇偶性、周期性

基础过关

函数的基本性质： 1、单调性：（注意定义是相对于某个具体的区间而言。）

① 定义：Ⅰ如果对于属于定义域Ⅰ内某个区间上的任意两个变量x1、x2，

当x1?x2时，都有f?x1??f?x2?，则称f?x?在这个区间上是增函数。 Ⅱ如果对于属于定义域Ⅰ内某个区间上的任意两个变量x1、x2， 当x1?x2时，都有f?x1??f?x2?，则称f?x?在这个区间上是减函数。

② 函数f?x?在区间[m,n]上是单调递增函数，且f(b)?f(a)，则m?b?a?n 函数f?x?在区间[m,n]上是单调递减函数，且f(b)?f(a)，则m?a?b?n ③ 判定方法有：

（ⅰ）定义法（作差比较和作商比较）

步骤：取值——作差——变形——定号——判断 例1：证明f?x??x2?2x在区间(1,??)内是增函数 （ⅱ）导数法

例2：试讨论函数f?x??ax?b (a?0、b?0)的单调性 x（ⅲ）复合函数法（同增异减）

例3：求函数f(x)?lg(x2?2x?8)的单调减区间

（ⅳ） 对于函数F(x)?f?x??g(x)的单调性：增+增=增，减+减=减 （ⅴ） 图像法。

例4：已知函数f(x)?? ((a?0,x?0).

（1）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；

（2）若f(x)?2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；

（3）若f(x)在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求a的取值范围. 解：（1）证明 任取x1?x2?0

111111x?xf(x1)?f(x2)?(?)?(?)???12

ax1ax2x2x1x1x21a1x∵x1?x2?0，∴x1?x2?0，x1?x2?0，

∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数. （2）解： ∵??2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,

1a1x 1

∴

a?12x?1在（0，+∞）上恒成立， x令

g(x)?112x?1x?122x?1x?212时取等号 4，当且仅当2x?(x?0)即x=

x22要使

a?1在(0,+∞)上恒成立，则a? 2x?4x故a的取值范围是［

2,+∞)． 4（3）解： 由（1）f(x)在定义域上是增函数. ∴m?f(m),n?f(n)，即m2?m?1?0，n2?n?1?0

故方程x2?x?1?0有两个不相等的正根m，n，注意到m?n?1，m?n?故只需要(??()2?4?0,由于a?0，则0?a? ．

2、奇偶性：（注意先判别定义域是否关于原点对称，后再考察f?x?与f(?x)的关系。）

① 定义：

Ⅰ如果对于函数f?x?的定义域内任意一个x，都有f??x??f?x?，则函数f?x?就叫偶函数。（图象关于y轴对称）

Ⅱ如果对于函数f?x?的定义域内任意一个x，都有f??x???f?x?，则函数f?x?就叫奇函数。（图象关于原点对称）

② f?x?为偶函数，则f?x??f(?x)?0 ；函数f?x?为奇函数，则f?x??f(?x)?0 ③ 奇函数在关于原点对称的两区间(?b,?a)和(a,b)上的单调性相同，（图象关于原点对称）；偶函数在关于原点对称的两区间(?b,?a)和(a,b)上的单调性相反（图象关于y轴对称）

④ 如果奇函数在x?0处有定义，则f?0??0

⑤ 奇函数+奇函数仍是奇函数，奇函数╳奇函数是偶函数，偶函数+偶函数是偶函数、偶函数╳偶函数是偶函数 ⑥ 判别方法：

（ⅰ）定义法：步骤：先考查定义域是否关于原点对称，后判断f??x??f?x?

2

1a1a1a1?0 a1a12或f??x???f?x?是否成立。 （ⅱ）图像法 （ⅲ）复合函数法 3、周期性：

① 定义：若函数f?x?对定义域内的任意x满足：f(x?T)?f(x),则T为函数

f?x?的周期。

② 若函数f?x?对定义域内的任意x满足：f(x?a)?f(x?b),则a?b为函数

f?x?的周期。

（区分：函数对定义域内的任意x满足f(x?a)?f(b?x)，则其图象关于直线

x?a?b对称） 2③ 若函数f?x?在定义域内对任意x满足：f(x?a)?且2a为函数f?x?的周期

1,则f?x?是周期函数，f(x)④ 若函数f?x?(x?R)满足f(x?a)??f(x)(a?0)，则f?x?是周期函数，且2a是它的一个周期

⑤ 若函数f?x?(x?R)的图象关于直线x?a、x?b都对称，则f?x?是周期函数，且2|b?a|是它的一个周期

特例：偶函数f?x?(x?R)的图象关于直线x?a对称，则f?x?是周期函数，且2a是它的一个周期

⑥ 若函数f?x?(x?R)的图象既关于x?a，又关于点(b,c)对称，则f?x?是周期函数，且4|a?b|是它的一个周期

特例：奇函数f?x?(x?R)的图象关于直线x?a对称，则f?x?是周期函数，且4a是它的一个周期

⑦ 若函数f?x?(x?R)满足f(x)?f(x?a)?f(x?a)(a?0)，则f?x?是周期函数，且6a是它的一个周期

例5：设函数f(x)对x?R都满足f(3?x)?f(3?x),且方程f(x)?0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）

3

A．0 B．9 C．12 D．18

解：由f(3?x)?f(3?x)知f(x)的图象有对称轴x?3，方程f(x)?0的6个根在x 轴上对应的点关于直线x?3对称，依次设为3?t1,3?t2,3?t3,3?t1,3?t2,3?t3，故6个根的和为18，答案为D． 例6： 已知函数y?f(x)(x?R)满足f(x?3)?f(x?1)，且x∈[－1,1]时，f(x)?|x| 则y?f(x)与y?log5x的图象交点的个数是( )

A．3 B．4 C． D．6

解：由f(x?3)?f(x?1)知f(x?2)?f(x)故f(x)是周期为2的函数，在同一坐标系中作出y?f(x)与y?log5x的图象，可以看出，交点个数为4． 4、抽象函数的单调性和奇偶性、周期性问题。

例7：已知二次函数f(x)?ax2?bx(a,b为常数，且a?0) 满足条件：

f(x?1)?f(3?x)，且方程f(x)?2x有等根.

（1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在实数m、n(m?n)，使f(x)定义域和值域分别为［m，n］和 ［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由. 解：（1）∵方程ax2?bx?2x有等根，∴??(b?2)2?0，得b=2 ．

b由f(x?1)?f(3?x)知此函数图象的对称轴方程为x???1，得a??1，

2a故f(x)??x?2x ．

（2）f(x)??(x?1)2?1?1，∴4n?1，即n? 而抛物线y??x2?2x的对称轴为x?1

1∴n?时，f(x)在［m，n］上为增函数.

4142?f(m)?4m若满足题设条件的m，n存在，则?，

f(n)?4n?2???m?2m?4m?m?0或m??2即?2??

n?0或n??2??n?2n?4n??又m?n?， ∴m??2,n?0，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］. 由以上知满足条件的m、n存在， m??2,n?0．

4

14 巩固训练 一、选择题：

1．在区间(??,0)上为增函数的是

A．y?1

B．y?（ ）

x?2 1?xC．y??x2?2x?1 D．y?1?x2

（ ） D．b?0

2．函数y?(2k?1)x?b在实数集上是增函数，则

11A．k?? B．k??

22C．b?0

3．函数f(x)在区间[?2,3]是增函数，则y?f(x?5)的递增区间是（ ）

A．[3,8]

B． [?7,?2]

C．[0,5]

D．[?2,3]

4. 已知函数y?f(x?1)定义域是[?2，3]，则y?f(2x?1)的定义域是（ ） 5A.[0，] B.[?1，4] C.[?5，5] D.[?3，7]

25．函数y?x|x|?px，x?R是 A．偶函数

B．奇函数

（ ）

D．与p有关

C．不具有奇偶函数

6. 函数y?2??x2?4x的值域是 （ ） A.[?2,2] B. [1,2] C.[0,2] D. 7．函数f(x)?|x|和g(x)?x(2?x)的递增区间依次是

（ ）

A．(??,0],(??,1] B．(??,0],[1,??) C．[0,??),(??,1] D. [0,??),[1,??) 8. 已知函数f?x??ax5?bx3?cx?3，f??3??7，则f?3?的值为 （ ) A. 13 B.?13 C.7 D. ?7 9. 若函数y?x2?(2a?1)x?1在区间（－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．[－3，+∞） B．（－∞，－3] C．[2232，+∞） D．（－∞，3]

210．函数y?x2?bx?c(x?(??,1))是单调函数时，b的取值范围 （ ） B．b??2 C ．b??2 D． b??2

1?x.若f(a)?b.则f(?a)? 11. 已知函数f(x)?lg（ ） 1?x

5

A．b??2

A．b B．－b C．

11 D．－ bb12. 函数y?x2?4x?c，则 （ ）

Af(1)?c?f(?2) Bf(1)?c?f(?2)

C c?f(1)?f(?2) D c?f(?2)?f(1)

13．设f(x)是定义在R上的一个增函数，F(x)?f(x)?f(?x)，那么F(x)为 A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数

14. 如果奇函数f(x)在区间[a,b]（b?a?0）上是增函数，且最小值为m，那么f(x)在区间[?b,?a]上是（ ）

A. 增函数且最小值为?m B. 增函数且最大值为?m

C. 减函数且最小值为?m D. 减函数且最大值为?m

15．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x???2,???时是增函数，当x????,?2?时是减函数，则f(1)等于 （ ） A．-3 B．13 C．7 D．含有m的变量

16．11.若函数f(x)?(m?1)x2?(m?2)x?(m2?7m?12)为偶函数，则m的值是 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17． 如果奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7,-3]上（ ）

A．增函数且有最小值-5 B． 增函数且有最大值-5 C．减函数且有最小值-5 D．减函数且有最大值-5

18．已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x?0时，f(x)=x2-2x,则f(x)在x?0时的解析式是（ ） A． f(x)=x2-2x B． f(x)=x2+2x C． f(x)= -x2+2x D． f(x)= -x2-2x 19. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)?f(x)?f(x)的图象关于

A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．以上均不对 20. 若f(x)(x?R)是奇函数，则下列各点中，在曲线y?f(x)上的点是（ ）

1A．(a,f(?a)) B．(?sin?,?f(?sin?)) C．(?lga,?f(lg)) D．(?a,?f(a))

a21．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?4)??f(x)，且在区间[0,4]上是减 函数则 （ ）

6

A．f(10)?f(13)?f(15) B．f(13)?f(10)?f(15) C．f(15)?f(10)?f(13) D．f(15)?f(13)?f(10)

22. 若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)?g(x)?2x，则有（ ）

A．f(2)?f(3)?g(0) C．f(2)?g(0)?f(3)

B．g(0)?f(3)?f(2)

D．g(0)?f(2)?f(3)

23. 已知f(x?y)?f(x)?f(y)对任意实数x,y都成立，则函数f(x)是（ ）

A．奇函数 B．偶函数 C．可以是奇函数也可以是偶函数 D．不能判定奇偶性

24. f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)?0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A．5 B．4 C．3 D．2

25.已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是 （）

A．f(－1)＜f(9)＜f(13) C．f(9)＜f(－1)＜f(13)

B．f(13)＜f(9)＜f(－1) D．f(13)＜f(－1)＜f(9)

26. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，

T则f(?)?

2A．0 B．

TT C．T D．?

2227．函数f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若x1?(a,b),x2?(c,d)，且x1?x2那么（ ）

A．f(x1)?f(x2) C．f(x1)?f(x2)

B．f(x1)?f(x2) D．无法确定

28．定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x?1)??f(x)，且在区间[?1,0]上为递增，则（ ）

A．f(3)?f(2)?f(2) B．f(2)?f(3)?f(2) C．f(3)?f(2)?f(2) D．f(2)?f(2)?f(3)

7

29．已知f(x)在实数集上是减函数，若a?b?0，则下列正确的是( ) A．f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)] C．f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]

B． f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b) D．f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)

30. 设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则f(47.5)等于 ( )

A．0.5 B．?0.5 C．1.5 D．?1.5 二、填空题：

11、以下五个函数：（1）y?(x?0)；（2）y?x4?1；（3）y?2x；（4）y?log2x；

x （5）y?log2(x?x2?1)，其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是 _________

变题：已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x?y)?f(x)?f(y)，则f(x)的奇偶 性如何？

2. 函数y?ax2?bx?c是偶函数的充要条件是___________ 3. 如果定义在区间[3?a,5]上的函数f(x)为奇函数，则a=_____ 4．定义域为[a?3a?2,4]上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 5. 已知f(x)?ax7?bx5?cx3?dx?5，其中a,b,c,d为常数，若f(?7)??7，

f(7)?_______

26. 若f(x)?2x?2?xlga为奇函数，则实数a?_____

7. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那么当x?(??,0)时，f(x)=_______

8. 若函数f(x)?x2?2(a?1)x?2在(??,4)上是减函数，则实数a的取值范围是____ 9. 若f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)?10. 定义在(?1,1)上的奇函数f(x)?11．已知函数f(x)?

1，则f(1)x?12＝ ．

x?m，则常数m?____,n?_____

x2?nx?11123x221?x，则f(1)?f(2)?f(3)?f()?f()? ．

8

12. 设定义在R上的函数f?x?满足f?x??f?x?2??13，若f?1??2，则

f?2009?? __________ 三、解答题：

1、判断下列函数的奇偶性

11?x1?x2（1）f(x)?； （2）f(x)?lgx2?lg2； （3）f(x)?(1?x)

|x?2|?2x

2、求证：函数f(x)?x?1x在（0，1）上是减函数。

3、已知函数f(x)?log1?xa1?x(a?0且a?1)（8分） （1）求f(x)的定义域；

（2）判断f(x)的奇偶性并证明；

4、已知f(x)?x(12x?1?12)，（1）判断f(x)的奇偶性；（2）证明：

9

1?xf(x)?0 ，1]上的函数y?f(x)是减函数，且是奇函数，若 5、定义在[?1f(a2?a?1)?f(4a?5)?0，求实数a的范围。

变式：已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数，且在区间(??,0)上单调递减， 求满足f(x2?2x?3)?f(?x2?4x?5)的x的集合．

6、已知：函数f(x)?ax?b?c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足x517f(1)?,f(2)?，

24?1?求a、b、c的值；

?2?试判断函数f(x)在区间(0,2)上的单调性并证明；

7、定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y),且f(x)是区间?0,???上的增函数 ：?1?求f(1),f(?1)的值； ?2?求证：f(?x)?f(x)；

)?0. ?3?解不等式f(2)?f(x?121

10

8、已知函数f(x)?x2?ax?b，且对任意的实数x都有f(1?x)?f(1?x) 成立. （1）求实数 a的值； （2）利用单调性的定义证明函数f(x)在区间[1,??)上是增函数.

9、函数f(x),g(x)在区间[a,b]上都有意义，且在此区间上

①f(x)为增函数，f(x)?0； ②g(x)为减函数，g(x)?0.

判断f(x)g(x)在[a,b]的单调性，并给出证明.

10、设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x?2)?f(x?1)?f(x)，如果

3f(1)?lg，f(2)?lg15，求f(2001)

2

11

11、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x?1对称，对任意

111x1,x2?[0,]，都有f(x1?x2)?f(x1)f(x2). (I)设f(1)?2，求f(),f()；

224(II)证明f(x)是周期函数。

12、设函数y?f(x)定义在R上，对任意实数m、n，恒有f(m?n)?f(m)f(n)且当x?0,0?f(x)?1

（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1； （2）求证：f（x）在R上递减；

（3）设集合A={（x，y）|f（x2）·f（y2）＞f（1）}，

B={（x，y）|f（ax－y+2）=1，a∈R}，若A∩B=?，求a的取值范围.

12

例8：定义在R上的函数f?x?，对任意的a、b?R，有f(a?b)?f(a)?f(b)，且f?0??0，当x?0时，f(x)?1， （Ⅰ） 证明：f(0)?1

（Ⅱ） 证明：对任意的x?R，恒有f(x)?0 （Ⅲ） 证明：y?f?x?是R上的增函数

（Ⅳ） 若f(x)?f(2x?x2)?1，求x的取值范围。

例9：定义在实数集上的函数f?x?，对任意a、b?R，有

f(a?b)?f(a?b)?2f(a)?f(b)，且f(0)?0。

（1）求证：f(0)?1 ；（2）求证：y?f(x)是偶函数

例10：设f?x?是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x?1对称，对任意

111x1、x2?[0,]都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，且f(1)?a?0，（1）求f()、f()；

224（2）证明f?x?是周期函数，并求出它的一个周期。

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